Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В четырехугольнике АВСР независимые и равноточ- пые измерения углов АВР, РВС, АВС, ВСР, СРВ, ВРА, СОА, РАВ (в градусах) дали результаты 50.78, 30.25, 78.29, 99.57, 50.42, 40.59, 88.87, 89.86 соответственно. Считая, что ошибки измерений распределены нормально Л'(О, а'), найти н.о.р.м.д. углов р! АВО, р2=0ВС, рз=СРВ, ро=ВОА и неизвестной дис- персии а'. 2.65. ПУсть Х1=6!+82/1+во+а!+ +аь 1=0, 1,,п, /о, 71,..., 1„— заданные числа, ео, 81,..., е„независимы и имеют общее нормальное распределение Л (О, ао) (предполагается, ' что ошибки наблюдений накапливаются), величины а)0, 81 н ро неизвестны. Найти н.о.р.м.д.
для р1, 62 и а2. 2.66. В таблице указаны различные количества фосфора (у!), внесенные в почву девяти опытных участков, и количест- ва фосфора в кукурузе (Х,), выросшей на различных участках через 38 дней. 28 28 28 !8 77 81 95 75 93 109 Х1 84 71 54 Предполагая, что зависимость между Х и у приближенно ли-1 пейна, рассмотреть линейную модель Х,=а(уо — у)+Ь+есь 1 о =1,...,9, где у=Я у,/9, параметры а и Ь неизвестны, слу1=1 чайные ошибки е1,..., 88 некоррелированы, имеют нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии ао.
Найти ' м.н.к.-оценки д и 6 для а и Ь и несмещенную оценку для а'. Точки (Х1, у1) и оценку й(у — у)+6 прямой линии регрессии' нанести на график в системе координат хОу. 38 2.67. Рассматривается линейная модель Хм=1!+ а;+0!+ ец, ;=1,...,1, 1=1,...,У, (ец) независимы и имеют общее нормальт иое распределение Фе(0, ое), Я а,= ~~ р!=О, 0=юг, а„...,а! !, 1=1 ! 1 ()„...,р! — !„о~), и'- 0 (аддитивная модель двухфакторного дисперсионного анализа). Обозначим l з Х..=~ ~ Хц1(УУ), Хе=У ХцУУ, $=! ! ! l Х.!=~ Хц11, а,=Хе — Х, 6,=Хц — Х,, '=)' ~ (Хц — Х,.— Х,,+Х.) 1((1 Ц(У 1)). !=! !=..1 Показать, что н.о.р.м.д.
для 0 является 0=(Х, а!,..., ат !, р!,..., Ь !, пе), оценки Х, (а!), фД, ое составляют четыре независимые группы оценок. 2.68. Рассматривается линейная модель Хм=1!+а!+ец, != =1,...,1, 1=1,...,1, величины (ае) и (ец) независимы в совокупности, а! имеет нормальное распределение Л'(О, те), != =1,...,1, ец имеет нормальное распределение Л'(О, о'), 1= =1,....1, 1=1,..., У, 0=(1!, т', ое), — оо(1!(оо, т, о) О (модель однофакторного дисперсионного анализа со случайными ! факторами).
В обозначениях задачи 2.67 введем 5~о=У~~' (Х!.— !=! ! з — Х.,)', 5,'=Я ~~~' (Хц — Хь)'. Показать, что: 1) (Х, 5,', 5.е) 3=! ! 1 является полной достаточной статистикой; 2) Х, 5,е, 5.' независимы, Х.. —.оо(р, (и'+УРЯУУ)), 5,/(и'+Ут') — Х!~ !, 5~/о' -Х!ы !!', 3) н.о.р.м.д. для 0 является 0=(Х, 5,е11(1 — 1)1)в 5'ФУ(1 — 1)3 5'У(1(1 — 1)1) 2.69. Продолжение. Показать, что если известно, что 1!=О, то полной достаточной статистикой для 0=(т', о') является ! (~' Х!., 5,'), ню.р.мд. является !=! 0=Д; Х,'.11 — 5,'(УУ(У вЂ” 1)), ©(1(У вЂ” 1)Ц.
зз 2 70 рассматривается многомеРная линейная модель Хц '+ - 1 ! 1=1,...,1, р-мерные векторы (а!) и имы 'в совокупности, а! имеет р-мерное нормальное сп еделение Л'р(0, 2'а), 1=1,...,1, ац имеет Р-мерное нормальное распределение Л'а(0, Е,), !=1,...,1, 1=1,...,У, 1!= ° „)т, 0=(п, Х„д.).
Показать, что ! .7 (Х 1)~~ (Х! Х..)(Хь — Х..)т, ~ ~~~ (Хц — Х!.)(Хц — Х!.) ) д ! 1 $=! !'=! является полной достаточной статистикой для О. Глава 3 МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК Т(х) а Е(х, О) р(е(х)= а ('Т(х) цх, 0) р (!|х)= дт (8) де; де;,) де; с Ж |=1, ...,й. А.З. Ее[ ' ~ Ссо для всех 1=1,...,й н всех ея9. Г д1п). (Х, 8) 1е ае; А.4. Информационная матрица д!п(,(Х, 8) д!п). (Х, 8) де; де( положительно определена, т.
е. существует обратная матрица )-'(0). Введем вектор-строку Т (8)= ~, ..., ~. Если ае, *'' ' ае„ выполняются условия регулярности А,1 — А.4, то для дисперсии )деТ(Х) оценки Т(Х) функции т(0) справедливо ' неравенство Рао — Крамера О,Т(Х»,Т(8) Г'(8),)'(8) (3.1) для всех Оенй. Неравенство превращается в равенство тогда и только то"да, когда имеет место представление Т(Х) (8) ~~ (8) д1п). (Х, 6) д8; (3.2) 41 Неравенство Рао — Крамера. На измеримом пространстве (||Г, .яг) с семейством вероятностных распределений 8е=(Р„ апе еенйс:Ае), имеющих плотность Ъ(х, 8)= — а относительно ан некоторой о-конечной меры р, рассматривается статистика Т(Х), для которой Е,Т(Х)=т(0) для всех 8ен6, т(0) — числовая функция.
Пусть выполнены следующие условия регулярности: А..1. Множество (х: Ь (х, 8) )О) не зависит от 8. А.2. Функции Ь(х, 8) и т(0) днфференцируемы по каждой компоненте вектора 0 и — Е(х, 0)р(!(х)= — ( Е(х, 8) р(!(х)=0, а а д8; д8; Т(Х), удовлетворяющая условию (3.2), называется Оценка эффективной оценкой. если существует эффективная оценка, то она Заметим, что е является дост достаточной статистикой и единственна, В случае, когда имеется едннственныи неизве ный пар метр О, т. е. 1=1, неравенство Рао — Крамера имеет вид Р~ Т(Х) ~ (т'(О) ) эд (О) При этом необходимое и достаточное условие (3.2) приобретает внд Т(Х) т(0) с(0) (3.3) и для всякой оценки Т(Х), удовлетворяющей условию (3.3), О,Т(Х) =!с(0) '(О) 1.
Для любой оценки Т"(Х) н эффективной оценки Т(Х) отношение е(1 Т" (Х) =Р,Т(Х) )О,Т~ (Х) называется эффективностью оценки Т'(Х). Если имеется векторная несмещенная оценка Т(Х) =' = (Т~(Х),..., Т (Х))г .параметрической вектор-функции т(0)= т1(О),...,т (0))т, то вместо вектор-строки У(0) введем матрицу размерности тХЙ (0) ~ И~ (О) ) дв, При выполнении условий регулярности А.1 — АА 'ковариационная матрица О,Т(Х) всякой несмещенной оценки Т(Х) для т(0) удовлетворяет неравенству (3.1). Неравенство А>В означает, что матрица А — В неотрицательно определена.
Замечание. Если Ь(Х, 0) дважды дифференцируема по каждой компоненте вектора О и 1. (х, 0)(х(дх)= — [ 1.(х, 0)(х(бх)=0, дв~двз да;Оду д то Т(0)= ~ — Ез дв;двт у Эта формула во многих случаях более удобна при вычисле ниах. В том случае, когда вектор Х=(Хо...,Х„) имеет и незави симых одинаково распределенных компонент с общей плот постыл распределения р8(х), информационная матрица будет обозначаться 1„(0), 1~ (О) — информационная матрица, связанная с распределением отдельного наблюдения, д 1и ра (Х~) д 1и ра (Х~) 1(.
)=)'6 дО; де! Тогда 1„(0)=п1, (0) и неравенство (3.1) принимает вид .0~Т(Х)) — У(0)1~ '(0)У (О). Пусть й=т=1 и оценка Т*(Х) удовлетворяет условию Ыфп(Т*(Х) — т(0)))-~Л'(О, о'(8)) при а-~-со. Тогда отношение ( (0))зУ(1,(0) о'(О)) называется асимптотической эффективностью оценки Т'(Х). Неравенство Бхаттачария. Если дисперсия (коварнационная матрица) 0,Т(Х) несмещенной оценки Т(Х) параметрической функции т(0) не достигает нижней границы, определяемой правой частью неравенства Рао — Крамера, то во многих случаях можно найти лучшую нижнюю границу для О~Т(Х).
Сначала рассмотрим случай одномерного параметра О~ енйс:А". Введем обозначения 1=1(Х, 0),(п1= '"х ", 1(0)= ""'," де~ ' лес и 1(8) = (т1п (0),..., т<"1 (О) ) — вектор-строка. Пусть выполнены условия регулярности А.1 — А.2 с той разницей, что операция дифференцирования по О используется г) 2 раз. Кроме того, пусть матрица А(0)=(Е, ' " ~ при всех 8~6.
Неравенство Бхаттачария превращается в равенство тогда и только тогда, когда и Т(Х) — (0) =У с,(0) Т.п111.. $1 (3.5) размерности гХг положительно определена, т. е. существует обратная матрица А '(8). Тогда если Т(Х) — несмещенная оценка т(О), то для дисперсии О,Т(Х) имеет место неравенство Бхаттачария О~Т(Х)= 1(0)А '(0)1 (О) (3.4) Если 8=(0!,...,Оь)т, то необходимым и достаточным условием оптимальности в смысле Бхаттачария оценки Т(Х) = ( Т! (Х),..., Т (Х) ) * параметрической вектор-функции т (8) = = (т! (8),..., тъ (8) ) т является условие Т(Х) — т(0)= — ' Г~~)'с, (8) — "+ ~ 1см(8) 1. ! $л пРи г~2, величины с!(8), с!!(8),,с!„...,;,(8) являются векторами размерности и!. Заметим, что если Т(Х) — несмещенная оценка числовой функции т(0) и Р,Т(Х) достигает нижней границы Рао — Крамера или Бхатачария, то Т(Х) является н.о.р.м,д. для т(0).
Метод моментов получения точечных оценок. Пусть вектор наблюдений Х=(Х!,...,Х„), Хяй, с распределением Ре, Ое ~Ос:яь, имеет независимые одинаково распределенные компоненты. При этом существуют моменты ЕХ!!=1!!(О), 1=1,... ..., г, для всех йене. Определим )хй эмпирический момент и и!т=~~ Х!!!и, 1)1. Предположим, что функция т(9) предста!=! вима в виде непрерывной функции й(1!!(0),...,1!„(8)) моментов 1!!(0),...,р (8), т(8)=й(1!!(8),...,Р„(8)). Оценкой метода моментов (о.м.м.) для параметрической функции т(8) является Т(Х)=й(т!,...,т„). Если т(8)=0, то Т(Х) находится как 1 решение системы уравнений 1!;(О) =ть 1=1,..., й (в предположении, что г=й).
Непрерывность функции й(1!!,... ...,р ) обеспечивает состоятельность о.м.м. для т(0), т. е. Т(Х)!- т(0) при и-!-со для всех Оенй. 3 Метод максимального правдоподобия получения точечных оценок. Пусть вектор наблюдений Х~Ф имеет распределение Р„Оя!0~)с", и существует плотность распределения (функция правдоподобия) 1 Е(~, 8)= — "' ни относительно некоторой и-конечной меры р на (!и,,яФ).'Оцен! ! кой максимального правдоподобия (о.м.п.) для 8 называется 0=8(Х), где 0(Х) определяется условием ! "Е(Х, 8)=1пахй(Х, 8), бее нли 1пЬ(Х, 0)=!пах!пЬ(Х, 0).
ееп Если Ь(х, 8) дифференцируема по каждой компоненте вектора 0= (О„..., 8») и максимум Ь (х, 0) достигается во внутренней точке параметрического пространства 6, то о.м.п. О можно найти, решая систему уравнений д!пЬ(Х, О) йв! (3.6) В том случае, когда вектор наблюдений Х=(Х!,...,Х„) имеет независимые одинаково распределенные компоненты с общей плотностью распределения р,(х), система (3.6) для нахождения о.м.п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
