Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2.0. Продолжение. Построить н.о.р.м.д. для производящей функции»р(г, 0)=Ег '=ехр [0(г — 1)), г>0. Для этого найти 6(1)=Е[гх*!Т(Х)=/). Тогда д(Т(Х) ) — и ормд. для»р(г, 8). 2.9. Геометрическое распределение. Пусть Х„..., Х„независимы н имеют общее геометрическое распределение 6(0), 0~ <0~1, Х= (Х!, ..., Х„). Показать, что Т(Х)=~ »Х! — полная до! ! статочная статистика. 2.10. Продолжение. Найти условное распределение Х при фиксированном Т=й 2.11.
Продолжение. 1) Проверить, что (/=/(Х!=й!,...,Х = =/»,) — несмещенная оценка для т„,»(6) =8"'(1 — 8)', й= =/»!+ ... +й, 1~тра, Й=О, 1, .... 2) Найти д(1) Е[(/!Т(Х)= =/). Тогда ц(Т(Х)) — но.р.мд. для т,»(8). 2.12. Пусть вектор (т!, ...,т») имеет полнномиальное распределение Ь(п, О!, ..., 8»), /»~2, 0(0!~1, 1=1, ..., й, )' О!=1. 8= 1=1 27 =(91,...,0л !). Показать, что: 1) полной достаточной статисти кой для О является (т<, ...,»л !); 2) н.о.р.м.д. для О! и О! О<', 1<>п<п, 1(1<п, 1(т+1<п, являются соответственно ъ<"'1/и<"'[ и ч! >»<Н>/а'"+", Здесь Ь<™>=Ь(Ь вЂ” 1) ... (Ь вЂ” т+1), Ь<Ч=1. 2.13.
Пусть Хь...,Хл независимы и имеют общее отрицательное биномиальное распределение б(г, 0), 0<9<1. Покал зать, что: 1) ~' Х, является полной достаточной статистикой; 1=! л 2) т=') Х!/(пг) является н.о.р.м.д. для т(О) = (1--8)/О; 3) Рт= 1=1 = (1 — 0)/(лгО~). 2.14.
Равномерное распределение. Пусть случайные величины Хь ..., Х, независимы и имеют общее равномерное распределение У(0, 0), 8)0. Показать, что Х<л> — — !пах Х, является пол- 1(1<л ной достаточной статистикой. 2.13. Продолжение. Найти условное распределение Х= = (Хь -, Х,) при фиксированном Х<,>=1. 2.16. Продолжение.1) Показать, что О=Х<,>(п+1)/» является н.о.р.м.д. для О. 2) Построение 8. Проверить, что 2Х! — несмещенная оценка для О, и найти я(1) =Е[2Х!>Х<,>=11. Тогда 0= =я(Х<л>).
2.17. Продолжение. Другой способ построения О. 1) Найти плотность распределения вектора порядковых статистик Х<'>= = (Х<п, ..., Х<,>). 2) Найти условное распределение Х< > при фиксированном Х<,>=1. 3) Показать, что (/(Х) = — ~ 'Х,— несме- 2 %1 п 1=1 щенная оценка для 8. 4) Найти д(1) =Е[У(Х) >Х<,>=11. Тогда О=д(Х...). 2.13. Пусть Хь ...,Хл независимы и имеют общее равномерное распределение У(0,0+1).
Показать, что: 1) одномерной достаточной статистики не существует; 2) двумерная статистика (пппХ,, !пах Х!) является достаточной, но неполной. 1<!<л 1<!<л 2.19. Пусть величины Х„..., Х„независимы и каждая имеет равномерное распределение У(0„0,), 0=(8,, О,), 01(Ом Обозначим Х<!>= ппп Х<, Х<л>= !пах Хь Показать, что: 1) (Х<п, Х<„>) !<!< . !<!<л является полной достаточной статистикой; 2) н. о.
р. м. д. для т,(6)=(0, +8,)/2 и т, (0)=8,— О, являются т,=(Х<п+Х<л>)/2 и т, = [(и+ 1)/(и — 1)) (Х<л> — Хо>) соответственно; 3) Рт, = тз~(8)/[2 (и+ + 1) (и+2)], Рт,= 2т~(0)/[(и — 1)(п+2)[. 2.20. Пусть'Хь ...,Хл независимы и имеют общее равномерное распределение У( — 0,0), 8>0. Обозначим Х<!>= пцп Х! 1(>~л 28 = !пах Хь Показать, что: 1) полной достаточной статис»л) 1<1<л . якой является О=п!ах( — Х<о, Х<л!); 2) н.о.р.м.д. для О является (а+1)О/л. 2,21. Нормальное распределение. Пусть Х»,...,Х« независимы и имеют об!цее нормальное распределение Л (11, а'), О= и л (»1 о1), — со<1»<си», о>0. Показать, что: 1) [),"Х1, !) Х11) яв1=1 1=-1 л ляется полной достаточной статистикой; 2) Х= ')" Х1/и и 5'= 1=1 и =~" (Х,— Х)и/(и — 1) являются н.о.р.м.д.
для 1» и о' соответ1=1 ственно; 3) Х и 5'независимы, Х-Л«(1», оз/л), (л — 1)5з/о~-уз„!. 2.22. Продолжение. Показать, что [ 1/" ' и ( " ' ) / г ( — ") ) и является н.о.р.м.д. для о. 2.23. Продолжение. Показать, что: 1) если 1» известно, то. л н о.р.м.д. для аз является а' = )~' (Х! — 1»)'/и, паз/оз-2з„; 2) 'ес1=.1 л лн о' известно, то н.о.р.м.д. для 1» является Х=~ 1Х1/а. 1=! 2.24. Показательное распределение.
Пусть величины Х1, ... ...,Х, независимы и каждая имеет показательное распределение Р(а, Ь), О= (а, Ь), — а»»<а<со, Ь>0. Показать, что: л 1) / п»1п Х1, ~" Х1) является полной достаточной статистикой; » ! <1~(и 1=1 л 2) Т,(Х)= ппп Х, и Т, (Х)=) Х,— п ппп Х, независимы, !<1<« 1<1<« п(Т!(Х) — а)/Ь вЂ” Г(1, 1), Тз(Х)/Ь-Г(1, и — 1); 3) ~н.о.р.м.д.
для т!(О) =а1 и тз(О) =Ь, п+т — 1>0, целое число 1ъО, являются. соответственно т, = Т,' (Х) — 1Тз (Х) Т!'-' (Х) /[и (п — 1) 1 н тз —— =ТР(Х)Г(п — 1)/Г(л+п1 — 1). Здесь Х= (Х», ...,Х,). л 2.20. Продолжение. Показать, что если а известно, то ~» Хс 1 ! является полной достаточной статистикой, н.о.р.м.д. для Ь явл ляется ~ Х,/и — а.
1=! 2 20. Продолжение. Показать, что если Ь известно, то п!1п Х; является полной достаточной статистикой, н.о.р.м.д. !<1<л дла а является ппп Х, — Ь/и. !<1<« 2.27. 1'амма-распределение. Пусть величины Хь „., Х„нева и каждая имеет гамма-распределение Г(а, Л), 8= л л („ц о,Л>8. Показать, что: 1) (~ Х!, у 1пХ!) являетс !=! !=! и полной достаточной статистикой; 2) ~" Х!/и является н.о.р.м.д ! =-.! (8) =Л/ . 2.23. Продолжение. Показать, что если Л известно, то дол статочной статистикой является ~ Хь Н.о.р.м.д.
для а~, й<пЛ, $=! является Г(пЛ)/~Г(пЛ вЂ” й) Д Х!) ~. При /!~пЛ несмещенно !=1 оценки для а" не существует. 2.29. Продолжение. Показать, что если а известно, т ~ 1п Х!/и — 1пи является н.о.р.м.д. для Г'(Л)/Г(Л). ! ! 2.30. Пусть каждая из величин Х!,...,Х„имеет плотност распределения 1((х — О!)/О!)/Ом зависящую от неизвестных па раметров сдвига 8! и масштаба Ом 8= (О!, Оз), — со<0!<со Оз>0.
Обозначим Х=(Х!, ...,Х,). Пусть существуют полная до статочная статистика Т(Х) =(Т!(Х), Тз(Х)) для параметра и такие оценки О!(Т(Х)) и Оз(Т(Х)), что статистика 1/(Х) = =[Х! — О!(Т(Х)))/Оз(Т(Х)) является свободной, Показать, чт если существует функция /г(г), для которой Е/г(Х!) =т(О) < для всех О, то н.о.р.м.д. для т(0) имеет вид т(Т(Х))= ~ /!(иО,(Т(Х))+ О!(Т(Х)))й!(и) !(и, где у(и) — плотность распределения 1/(Х). В том случае, ког да один из параметров О! илн О! известен, в формулах дл С(Х) и т(Т(Х)) следует заменить соответствующую оценк известным значением параметра.
2.31. Пусть Х!, ..., Х„независимы и имеют общее нормаль ное,распределение Л'(О, 1), — со<0<со. Показать, что: 1) н.о Р.м.д. для т(О, 1) =Р(Х!>у)=1 — Ф(у — О) является 1 — Ф((у — Х)/)/1 — 1/и);2) нор.мд. для !р(у — О) является <р((у — Х)/у'1 л — 1/и)/1/1 — 1/и. Здесь <р(У) =Ф'(У), Х=~, Х,/и. !=! 2.32.. Пусть Х„..., Х„независимы и имеют общее нормально распределение Л (О,О'), 0>0.
Показать, что: 1) н.о.р.м.д. дл г(8, у) =Р(Х!>у)=1 — Ф(у/8) является О, ! ) д (и) !/и, если 1у(/Я < 1, мз 1, если у/Ю ( — 1; если у/5= 1 2.33. Пусть Х„..., Х„независимы н имеют общее нормальное распределение Л'(8!,Озз), — со<0!<лл, 8з>0. Показать„ что: 1) н.о.р.м.д. для т(О,у) =Р(Х,>у)=1 — Ф((у — О!)/Оз) яв- ляется О, если (у — Х)/Я зЯп — 1)/п, у'(л-!!Гл д! )а, !д — хуя~у7:"тул, (л-хиз 1, если (у — Х)/5 < — у' (и — 1)/п 2) н.о.р.м.д. для функции плотности нормального распределе° 1 у у — Х ниЯ Л'(О!,Озз) ЯвлЯетсЯ т'= — У ~ ) В частном слУчае.
3 1 3 при п=4 т* равна плотности равномерною распределения л л (/(Х вЂ” 135/2, Х+у35/2). Здесь Х=~~~ Х,/п, 5'=~~ (Х; — Х)', Г ((л — 1)/2) / л ( ли! (л — 4!12 у(и) = 1/ 1'1— Уйг((л — 2)/2) ф' л — 1 [ л — 1 ] ! !~ч!-ь' 234. Пусть Хь, Х„независимы и имеют общее показательное РаспРеделение Р(8,1), — со<8<со, Х(ц= пцп Хь Пока!<!(л зать, что н.о,р.м.д. для т(О„у) = Р(Х,>у) является 1 при у(Х!ц, ! 1 ~1 — — /! ехр( — (у — Х(ц)) при у>Х!ц. 31' 2) н,о.р.м.д. для функции плотности нормального распределе- 1 Г у ния Л'(0,0 ) является т'= — у ( — ).
В частном случае при 3 (3/ п=3 т* равна функции плотности равномерного распределения л (/( — 5, о). Здесь Зз=~~~ Х~!, !=! 2.35. Пусть Х>, ...,Х„независимы и имеют общее показзтельное распределение Р(а, 8), О>0, а известно. Показать, что н.о.р.м.д. для т(8, у) = Р(Х>>у) является [1 — (д — пн~ Х>~= ! 1 236. Пусть Хо><Х>з>«...Х>>, 1<г<п,— первые т порядковых статистик в вариационном ряду, построенном по п независимым величинам, имеющим общее показательное распределение Р(8>, Оз), 8=(Оц 8,), — со<6><оо, Оз>0. Показать, что: 1 1) >(Х<ц ~~)"„Х>>>+(и — г) Х>,>) является полной достаточной !.=! статистикой; 2) н.о.р.м.д. для т(8, у) =Р(Х>>д) является 1 при у<Х>ц, у — Хц Х х>0+ 1!> — т) х>ц — !!>сп> >=.! при 0<у — Хп><~)' Х>п+(а — т) Х>,> — пХ>ц, ! 1 Г 0 при у — Х>ц > Я Х>,>+(и — г) Х>,> — пХ>ц.
2.37. Пусть Х>,...,Х„независимы и имеют общее равномерное распределение У(0, 8), 8>0. Показать, что н.о.р.м.д. для т(8, у) =Р(Х>>у) является д>8>1, ", если 0<у/0 1, если у<0. Здесь 8= п>ах Х, !(><и 2.38. Пусть Х>,...,Х„независимы и имеют общее равно- мерное распределение У(8>, В>+В!), 8=(О,, 8>), — со<8><сс, Оз>0. Показать, что н.о.р.м,д. для т(8, у)=Р(Х,>у) является 32 О, (!> — 1) «е 1, если у — а<0, и , если 0<(у — а)/Я Х,<1, >=1 л если (у — а)/%" Х>>1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
