Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 8
Текст из файла (страница 8)
8„принимает вид п1п Пз (Х!) 8 ! 1 Е )'''У ! у=! При некоторых условиях регулярности о.м.п. О„ является Р состоятельной оценкой, Ол — » О при л по, асимптотически нормальной и асимптотически эффективной оценкой, Я Яп (О— — 0)) -«.У»» (О, 7, ' (0)) при п-эпп, 1! (О) — информационная мат ица отдельного наблюдения. тех случаях, когда система (3.7) не допускает явного решения, применяется метод последовательных приближений. Рассмотрим последовательность 1 — ! - д!пс(Х, О) Ол,я+! = Олл+ — 7! (Олл) л зе )о=а„,, ' определяющую (з+1)-е приближение О„,,+! через О, Предполагается, что 7!(0) положительно определена, при й)1 8,, н Ол,,»! — вектор-столбцы, а д1п Ь(Х, О) 1дО обозначает вектор- столбец с компонентами д1п Ь/дОс, 1=1,...,й.
Если в качестве начального приближения Од,п взять какую-нибудь состоятельную оценку для О, то уже 0„, ! будет иметь те же асимптотические свойства, что и о.м.п. Принцип инвариаитиости при 'получении о.м.п. Пусть р(0) взаимно однозначно отображает параметрическое пространство 9с:В» на множество Вс:и», Тогда если 0(Х) является о.м.п. для О, то О(0(Х)) является о.м.п. параметра р(0) для семейства распределений С)»=Р,!»1, ОенВ, 9(р).—. функция обратная к О(0). .45 Обозначения. Для величин 'Х>,...,Х„далее всюду приняты л и следующие обозначения; Х=~' Х>/и, 5'=)Г (Х,— Х)",(и — 1), ', >=! >=! Х=(Хь...,Х„), Х>о<Хм><...<Х>„> — !вариационный ряд, Х— выборочная медиана, Х! >, если л=2п> — 1, Х= (Х! >+Х! +>>)/2, если п=2п>, Ф(а) — функция стандартного . нормального распределения, >р (а) =Ф' (г).
3.1. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее нормаль- ное распределение Л'(О, аз), о)0 известно, — со<8<со. Пока- зать, что: 1) Х является эффективной оценкой для 8; 2) н.о.р.м.д. Хз — оз/и для Оз является оптимальной оценкой в смысле Бхаттачария. 3.2. Продолжение.
Показать, что асимптотическая эффек- тивность выборочной медианы Х (см. формулу (3.8)) равна 2/и. 3.3. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее распреде- ление Лапласа с функцией плотности /(х; 8)=(2а) 'ехр( — (х»(/о), — оо<х<с!>, 8=(р, о), — ос<»<са, а)0. Показать, что о.м.п. для О яв- ляется 8=(Х, а), Х вЂ” выборочная медиана (см.
формулу (3.8)), о='~' >Х! — Х>/а. Найти 1пп РХ/РХ. ! 1 ЗЛ. Пусть Х>,...,Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(», Оз), » известно, 8) О. Показать, что Т(Х) =т(>,(Х! — 1>)'/и является эффективной оценкой для Оз, >-! >)Т (Х) = 2Яп.
3.6. Продолжение. Найти нижнюю границу Рао — Крамера дисперсии несмещенных оценок среднеивадратического отклон л / » пения О. Рассмотреть несмещенную оценку 5, = а/ — ~ у >/ 2 Х >Х! — р>/и и н.о.р.м.д. Вычислить эффективность и асимптотическую эффективность для 5! и 5з соответственно. 3.6. Пусть Х>,...,Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(р, оз), 8=(р, оз), — со<»<оо, а)0. Най-' ти ковариационную матрицу РО н.о.р.м.д. О=(Х, 5з) и сравнить с нижней границей для ковариационных матриц несмещениых оценок параметра О, определяемой неравенством Рао — Крамера.
Показать, что О является оптимальной оценкой О в смысле Бхаттачария. 3.7. Продолжение. Найти о.м.п. для О. 3.8. Продолжение. Показать, что о.м.п. а' для а~ является смещенной оценкой со с.к.о., равномерно меньшей, чем у н.о.р.м.д. 5з (см. задачу 2.21). 3.9.
Продолжение. Найти значение с, при котором оценка а Т=с~~ (Х; — Х)з для оз имеет наименьшую с.к.о. $=! 3.16. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(О, 6'), 0>0. Показать, что о.м.п. и о.м.м., основанная на втором моменте, для Оз совпадают н равны Оз=~' Х;/и. Найти о.м.п. 8 для О и сравнить с.к.о. О и не$=1 — л смещенной оценки 0 = ~/ — ~ (Х,(lп. и Ъ1 2 1( с=-1 3.1!. Пусть Хо...,Х„независимы и имеют общее гамма- распределение Г(1/О, ь), ) >О известно, 0>0.
Показать, что: 1) н.о.р.м.д. О=ХЙ для О является эффективной оценкой н 116 0'/(пь); 2) но.р.м.д. т=[п/() (пь+ Ц)1Хз для Оз является оптимальной оценкой в смысле Бхаттачария. 3.12. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее гамма- распределение Г(8, )), 1.>0 известно, 0>О. Найти о.м.п. для О. Доказать состоятельность оценки и вычислить ее аснмптотическую эффективность. 3.13.
Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее гамма° распределение Г(О, 1), 0>0. Найти о.м.м. для О, используя: 1) только первый момент; 2) только второй момент. Сравнить с.к.о. оценок. 3.14. Пусть Х„...,Х„независимы и имеют общее гамма- распределение Г(1, 0), 0>0. Получить уравнение для определения о.м.п. 0 для О н показать, что 0 асимптотически эффективна и асимптотически нормальна. 3.15. Продолжение. Найти о.м.м. О для 0 и показать, что 0 является состоятельной оценкой, но эффективность 8 всегда меньше 1. 3.16. Пусть Хь..., Х„независимы 'и имеют общее гамма- распределение Г(а, Х), 0=(а, А), а, Х>О. Найти о.м.м. для 6, основанную на первых двух моментах, и доказать ее состоятельность. 3.17. Пусть Хь...,Х„независимы н имеют общее показательное распределение Р(0, 1).
Найти о.м.п. для 8 и доказать ее состоятельность. 3.18. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее равномерное распределение !/(О, О+1), — оо<8<оо. Показать, что любая точка интервала (шах Х,— 1, ппп ХД является о.м.п. ж<л !<1~(л для О. 3.19. Пусть Х!,..., Х„независимы и имеют общее равномерное распределение У(0, 6), 0>0. Найти о.м.п. для О и доказать ее состоятельность. 3.20.
Продолжение. Сравнить с.к.о. К(Т(Х), О), о.м.п. О, но.р.мд. Т!(Х) и оценки Тз(Х)=1(п+2)/(п+1)]О для 8. Показать, что )7(Тт(Х), 8) <ш(п()7(8, 8), В(Т!(Х), 0)1. 3.21. Пусть Х,, Х„независимы и имеют общее распределение Коши с функцией плотности /(х; 6)=1/(п11+ (х — 0)з1), — оо<х<оо, — оо <8< оо. Показать, что асимптотическая эффективность выборочной медианы Х (см.
формулу (3,8)) равна О/па=0.011. 3.22. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общее биноми- альное распределение Ь(1, 8), 0<0<1. Показать, что: 1) н.о.р.м.д. Х для О является эффективной оценкой; 2) н.о.р.м.д. Х(1 — Х)п/(и — 1) для 0(1 — 6) является оптималь- ной оценкой в смысле Бхаттачария.
3.23. Пусть Х„...,Х„независимы и имеют общее отрица- тельное биномиальное распределение Ь(г, 8), 0<0<1, целое положительное число г известно. Показать, что н.о.р.м.д. т= =Х/г для (1 — 8)/8 является эффективной оценкой и Рт=(1— — О)/(пгОэ). 3.24. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее распреде- ление Пуассона П(8), 0>0. Показать, что: 1) н.о.р.м,д.
Х для 0 является эффективной оценкой; 2) н.о.р.м,д. Х(пХ вЂ” 1)/и для 0' является оптимальной оценкой в смысле Бхаттачария. 3.25. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общую плотность экспоненциального типа / (х; 0) =ехр (А (0) В (х) + С (8) + Р (х) ), и Оыйс:/7'. Обозначим Т(Х) — ~ ' В(Х!)/и, т(8) = — С'(8)/А'(0). !са Показать, что при выполнении 'соответствующих условий регу- лярности оценка Т(Х) является эффективной для параметриче- ской функции т(0), при этом РТ(Х) =г'(8)/[пА'(0)1.
3.26. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общее распреде- ление г(х; 8), 0~Ос:Л'. Показать, что если существует эф- фективная оценка Т(Х) параметрической функции т(9), то распределение В(х; 8) образует экспоненциальное семейство. 43 3.27. Рассматривается линейная модель Хп=р+а!+е;;, != 1,,/, /=1,...,/, величины (а!) и (еп) независимы в совокупности, а!-Л'(О, т'), !=1,...,1, еи-Л'(О, оз), !'=1,...,/, /= =1,...,/, 9=(р, тз, оз), — сс<р<сс, т, о>0. Найти информационную матрицу /(О) и ковариационную матрицу 00 н.о.р.м.д. 9 для В.
Какова нижняя граница Рао — Крамера для 00? 3.28. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее логнормальное распределение .УЛ'(р, о'), — сс<р<сс„о>0. Используя результат задачи 3.7 и принцип инвариантности, найти: 1) о.м.п. а и 3 для а=ЕХ!=ехр(и+о'/2) и 6=ОХ = =ехр (2р+ о') [ехр (оз) — 11; 2) предельное распределение при и — ~со Ул (и — а) и Уп (Ь вЂ” Ь) .
3.29. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(8, 20), 8>0. Найти о.м.п. для 0 н доказать ее состоятельность. 3 30. Пусть Х!,...,Х„, Уь..., У„независимы, Х!-У!-Л!'(р!, о2), с=1,...,п, О=(рь...,р„, оз), — сс<р!<сс, !=1,,п, о> >О. Найти о.м.п.для о' и показать, что она не является состоятельной. Найти состоятельную оценку для о'. 3.31. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(и, оз), 0=(р, оз). Относительно параметра 8 известно, что р> О, о) О.
Найти о.м.п. для О. 3.32. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л (р, о'), О=(р, оа), — сс<р<сс, о>0. Найти о.м.п. т для т(О) =Ф( — р/о) и предельное распределение )/п(т — т(8) ) при п-э-сс. 3.33. Пусть Х!,,Մ— независимые р-мерные векторы с общим нормальным распределением Л~ (р, А), О=(р, А), ковариационная матрица А невырождена. Показать, что о.м.п. для 0 является О=(Х, п-!Ь), Х=) Х!/п, Я =)' (Х; — Х)(Х! — Х)г. 1=1 3=1 Доказать состоятельность оценки О. 3.34. Рассматривается линейная модель Хо'"!>=А!"~ю9ри!!+ +е!"х'>, п>й, А — известная матрица ранга /!, компоненты вектора ошибок е независимы и имеют общее нормальное распределение Л (О, оз).
Показать, что о.м.п., м.н.к-оценка, н.о.р.м.д.„ линейная относительно компонент вектора Х, н.о.р.м.д. для неизвестного вектора 9 совпадают. Этой оценкой является = (А тА ) -!А тХ 3.35. Пусть (Х,, У,),..., (Х„, У„) — независимые двумерные векторы с общим двумерным нормальным распределением Рз(р„ Рм о~!, о!, Р), 9=(Р, Р, оз!, озз, Р), — со<Р„Рз<со, о„оа) >О, — 1<р(1. Показать, что о. м. п. и о. м. м. для 0 равны =(1!„р„о-"„о,'„р), р,=Х, р,=У, о!=5,'=~(Х,— Х) /п, о,'= ! ! =5'=~~1(У.— У)'/и р= — $!(Х! — Х)(1'; — У)/(5„.5„). Доказать с 4.4 !=1 !=! состоятельность О. 3.36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
