Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 17
Текст из файла (страница 17)
несмещенным? 5.11. Пусть Х»,...,Х„независимы и имеют общее нормалы ное РаспРеделение Л'(Оо Озз), ~ О, ~ (сю, Оз) 8. ОбозначиМ »» »» Х=~ Х,/а, 3'= '~Р(Х; — Х)'/(и — 1). Используя результат за! ! »=1 вал дачи 4.24, показать, что при неизвестном значении О, интер (Х вЂ” З/, „„,„,/),', Х+З/, „„,„,/У ) является р.н.т. несмещенным (1 — а)-доверительным ннтерва лом для О!. 94 5.12.
Продолжение. Используя результат задачи 4.25, показать, что при неизвестном значении 8! интервал л ( т'(Х! — Х)з/2!' „„,, со) !=! является р.н.т. нижним (1 — а)-доверительным интервалом для 6тз, а интервал /0, ~ (Х! — Х) /2„'„,) является р.н.т. верхним (1 — а)-доверительным интервалом для 8!'. Будет ли (1 — а)-доверительный интервал для Озз Л л ( ~ (Х! — Х)'/1(! — сс!а,л — !,~, (Х! — Х) /)1ад,п — !) !=1 !=! р.н.т.
несмещенныму 5.13. При определении величины заряда электрона ео10 !з Милликен получил п=58 независимых результатов измерений Х! величины ео. Выборочное среднее и выборочная дисперсия оказались равными соответственно Х= С Х;/п=4.7808 и 5з=ч)'(Х,— Х)'/п=22 981 10 ~ !=-! !=1 Предполагая, что случайные ошибки имеют нормальное распределение, а результаты измерений равноточны и лишены систематической ошибки, построить доверительные пределы для г! с коэффициентом доверия 0.9. 5.14. На основе данных задачи 4.26 построить верхний р.н.т. несмещенный 0.95-доверительный интервал для дисперсии оз нормального распределения. 5.15. Независимые случайные величины Х!,...,Х,о, имею!цие общее нормальное распределение Л'(1!, 1), приняли значения 2.79, 3.38, 4.69, 3.32, 5.46, 3.73, 4.33, 4.70, 3.38 и 3.41 соответственно, Найти 0.95-доверительные пределы для Ф(х — Р).
5.!6. Пусть Х имеет нормальное распределение Л'(1!, а'), Показать, что для любого а, 0<а<1, существует такое К, О< <К<со (которое может зависеть от а), что Р(Х вЂ” К!Х((р(Х+К(Х!)) 1 — а для всех (р, оз) (пример (1 — а)-доверительного интервала для натематического ожидания нормального распределения, погтРоенного по одному наблюдению). 5.17. Пусть Х имеет нормальное распределение Л (1!, оз). 1)оказать, что если К=1/г!!+„!ль то Р(0(а<К)Х1)>1 — а для 96 всех (р, ат) (пример верхнего (1 — а)-доверительного интерва.. ла для среднеквадратического отклонения о нормального рас пределення, построенного по одному наблюдению).
5.18. Пусть Х„...,Х„независимы и имеют общее нормаль. ное распределение Л (р, а»). Показать, что двумерная область (р, о: о» (Х вЂ” р) и/Х! «,!з, по /Х! — а,!ай — ! (о ~пЯХа.а, — !), где 1 — а= (1 — а!) (1 — пз), является двумерным (1 — а)-доверя. тельным множеством для (р, а'). Здесь Х='~~ Х;/и, 5'=~ (Х,— Х)'/и. 5.19. Пусть Х„...,Х„независимы и имеют общее биноми. .альное распределение Ь(1, О), 0<8<1. Показать, что (1 — а). .доверительный интервал для О, построенный на основе стати.
» стики Х=') Хг/и, имеет вид (О!(Х), Оз(Х)), где О!(Х) и Оз(Х) !=! являются решениями относительно 8! и Оз уравнений л »2 Сл81(1 — О,)" '=с!/2,' ~ СдО',(1 — 8,) '=и/2. !=! !- х 5.20. Продолжение. Показать, что при больших значениях а асимптотический (1 — а)-доверительный интервал для О име е! вид (Х вЂ” г!,„!т Р Х(1 — Х)/п, Х+г! „~з $' Х(1 — Х)/и). 5.21. В трех независимых испытаниях Бернулли имеем двз чуспеха». Построить 0.95-доверительный интервал для вероят.
ности р «успеха» в одном испытании. 5.22. При 180 независимых испытаниях Бернулли положи. тельный исход наблюдался 80 раз. Приняв коэффициент дозе рия равным 0.95, найти доверительные пределы для дисперсии числа положительных исходов. 5.23. Рассматривается последовательность независимы! испытаний, в каждом из которых положительный исход мож ег осуществиться с одной и той же вероятностью р. Испытан нз проводятся до первого появления отрицательного исхода.
По' строить для р нижний 0.9-доверительный интервал, если иэ вестно, что первый отрицательный исход осуществился на пя том испытании. 5.24. Пусть Х!,..., Х„независимы и имеют общее распреЛ ление Пуассона П(О), 8>0. Показать, что интервал (8,(Х) л Оэ(Х)), где Х=~' Х,/и, 6, (Х) !=! тельно 8! и Оэ уравнений лэ~ (пО )!/!'1 с!/2 $=.л.т и О, (Х) — решения относи- пХ '3' е — э. (пО,)'/П =а/2, !г а является (1 — а) -доверительным интервалом для О.
5.25. Продолжение. Показать, что при больших значениях и аснмптотический (1 — а)-доверительный интервал для О имеет вид (Х вЂ” г! ©!э~Х/и, Х+г! „уЯ Х/и ). 5.26. На основе данных задачи 4.50, используя нормальную аппроксимацию для биномиального распределения, построить приближенный 0.95-доверительный интервал для отношения Л!/Лэ интенсивностей пуассоновских процессов. $.27.
Пусть Х„..., Х„, )'„..., У независимы, Х! —.!Уэ(р, е'), !'=1,..., и, )'! — Р(~, йоэ), /'=1,..., и!, о') 0 неизвестно, л т величина Ь~О известна. Обозначим Х=Я Х,/и, )'=~!~ У//и!, оэ= !=! /! -~~(х,— гт!-т(У~ — Ут!ь11!( .!- — 2!.и у р у !=-! /=1 задачи (4.27, 2), показать, что интервал (У вЂ” Х вЂ” Ж! „и, !. эр Яп+т)/(пт), У вЂ” Х+Ж!,и,„+ э 'с Х 1I(бп+ т)/(пт) ) является р,н.т. несмещенным (1 — и) -доверительным интервалом для разности $ — !!.
5.28. Два независимых равноточных измерения угла дали результаты (в градусах) 20.76 и 20.98. Другие шесть независимых и равноточных измерений были выполнены с помощью другого прибора и дали результаты 21.64, 21.54, 22.32, 20.56, 21.43 и 21.07. Случайные ошибки распределены нормально, и известно, что первый прибор менее точен, чем второй, в том смысле, что ему соответствует дисперсия, превышающая в 4 раза дисперсию второго прибора. Найти доверительные пределы для разности систематических ошибок этих приборов.
Коэффициент доверия принять равным 0.95. 5.29. На основе данных задачи 4.29 построить р.н.т. несмеЩенный 0.95-доверительный интервал для разности математических ожиданий двух нормальных выборок. 5.30. Пусть Х„..., Х„, У„..., У независимы, Х,—.Фэ(1э, оО), !'=1, ..., и, У! — Аэ($, т'), /=1, ..., т, параметры (р, $, 4 Зак. 282 97 о, т) неизвестны. Обозначим Х=~, Х!/и, У = ~) У//п2. Используя 1=1 /=1 результат задачи 4.30, показать, что интервал (л — 1) ~~ ()'! — У)2 1=1 г! — л, л — 1, — !. '"' (л! — 1) ~~~ (Х! — Х)2 является р.н.т.
нижним несмещенным (1 — а)-доверительныи интервалом для т2/о2, а интервал ФИ (л — !) !) (У! — У)2 О, /=1 (л2 — 1) ~ (Х! — Х)2 Ра,!л — 1,л — ! является, р.н.т. верхним несмещенным (1 — а) -доверительным интервалом для 22/оз. 5!31. Пусть (Х1!), 1=1, ..., й, /=1, ..., по независимы л! л1 2 Хц — 4!2(р, о1), / = 1, ..., п„Х! — — ~~„, Х1!/п1, З1 = ~~~ (Х1;— /=! /=! — Х1)'/(п1 — 1), 1'=1, ..., /2, р=~~ (п1Х1Я ()~ (п1/5;)„парамет1=-1 ры р, о„..., аь неизвестны. На основе предельного распределения ь-л)/'т! ль ..-! ° !ъ .м---,-.--- 1=1 тический (1 — а)-доверительный интервал для р. 5.32. Пусть (Х1)), 1=1,..., /2, /=1,..., по независимы, Хм — Ф(р1, а1), /=1,..., по Х1 — — ~Х!//п„31=~(Х1! — Х1)2/((п1— /=! =! — 1), у;=р1/оо 1'=1, ..., й, у = )Г (и!Х1/51) (Я и1, параметры 1=! р„..., р„, а„..., оь неизвестны. 1) Показать, что если у1 = — у,— ...
=л=~, Я(!у — у!'Г ~,.~!).!.!~2! ) А !О. !) 1=1 прн ппп(а„..., и„)-~ ао. 2) На основе предельного распределении >у-т>У ь ~О-~та> ~~ ~>1 — >.д ! ! рительный интервал для у. 5.33. Пусть (Х„У,), ..., (Х„, У„) — независимые двумерные векторы, имеющие общее двумерное нормальное распределение 2 ,>г! (1>!, рм о>, ом р), — со(рт, рд< со, о, о >О, ~р~< 1. И >,> и л Обозначим р= ~) (Х! — Х)(У! — У)( $>г Я (Х! — Х)!~," (У,— У)*, ! ! >=! >=! и и К=~ Х>(п, У =~~" У>(п, а„,„= (ехр (2г! >!Я и — 3)) + 1)l >=1 ! ! 1(ехр(2г! „>зДI~ — 3) — 1~ . 1) Используя результат задачи 1.27,3), по- казать, что приближенный (1 — а)-доверительный интервал для р имеет вид (( — 1+ а„,„р)((а<,,„— р), (1+а„,„р)7(а„,,+р)); 2) Пусть а=28, 9=0.652.
Найти 0.95-доверительный интервал для р. 5.34. Пусть (Х„У,), ..., (Х„, У„) — независимые двумерные векторы с общим нормальным распределением ~ааз(5, т>, о', оз, р). И л й Обозначим 8~>>=~' (Х! — Х)', З~з=~ (У! — У)з, Ю>!=~ (Х; — Х) Х >=! ! 1 >=! л !! к (У! — У), Х='у Х>!п, У = ~ У>7п. Используя результат >-! >=1 задачи 4.38, показать, что в случае неизвестных значений 9, ть з и р р.н.т. несмещенный (1 — а)-доверительный интервал для 1 — т> имеет вид (Х вЂ” У вЂ” 1! — а/йл — ! к (В>+Яз — 2Б>!)>1П(л — 1)1 Х вЂ” У-)-1! >з ~~ (3>+5,' — 25>зЦп(п — 1)) ). 5.35. Пусть (Х„У!),..., (Х, У„) — независимые двумерные Векторы с общим нормальнымраспределением Л'з(9, >1, оз, тз, »).
В обозначениях предыдущей задачи положим С=С ф, З~з, 5гм с!)=(~!8! — ~>!)(! — а>ьл — з/(и — 2). Используя результат задачи 4.37, показать, что в случае неиз- вестных значений ~, т), о, т и р р.н.т. несмещенный (1 — а)-до- Верительный интервал для тз/о! имеет вид ((8~~5!~+2С вЂ” 2 1' С(Я~>За+С) ~/4~, (о~>Я~!+2С+2 У С(5>8р+ С) )/о!). 5.36. Рассматривается линейная модель Х<"!'>>=А!""ь>р>~" >>+ >'з'"">>, п)~, А<" !>=(А>н) — известная матрица ранга л, 99 5!ьхп — вектор неизвестных коэффициентов, компоненты вектора ошибок е!"х'! независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(О, о'), о>0 неизвестно.
Пусть 1т — \ ~ 1(АгА ! р — м.н.к.-оценка для 5. Показать, что: 1) (1, ~ /! ! и, -ь Х х! В;,~( — Й! !х — х!! !) — !.а р ~ " Р лом для !-й компоненты (1! вектора (); 2) !), А!/р! ~ /! !и, — э Х / ! ххтд! — э !х — х!! ~ о — )-дюр* р лом для регрессии Я А!ф/; 3) ( (! Х вЂ” Аф ((~/)(!-а/г, -ы (! Х— /=! — А() )!'/Ьп,, ь) является (1 — а)-доверительным интервалом для о', 4) внутренность эллипсоида (р: (р — (1) А А(5 — (1) ( Йг! ~,м э Х Х (! Х вЂ” А(1 (!з/(п — й)) образует (1 — и)-доверительное множество для ()ен )т". 5.37.
Продолжение, Показать, что внутренность эллипсоида (т: (т — т) Н '(т — т)(тР! !,л; — ь((Х вЂ” А!)(!'I(п — й)), т=65, Н=!т(АтА) — !От, образует (1 — а)-доверительное мно. жество для т=бр, где б — заданная матрица размера /пХФ ранга и. 5.38. Рассматривается линейная модель Х!"хо=А!""ю5!эх!!+ +э!"х'! п>й А!"хю — известная матрица ранга /! 5!ьх! вектор неизвестных коэффициентов, компоненты вектора ошибок е'"х'! независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(О, а!), о>0 неизвестно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
