Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найти мощность критерия. 4.32. Пусть Хц!=р+а!+Рц+ац!, (а!), (Рц), (зц!) независимы в совокупности, а! —.Р(0, о„'), й!! Ф(0, о'), ец! .4в(0, о!), !'=1, ...,1, /=1,..., /, 1=1,...,Е, параметры 1!, ал, оз, о неизвестны. Построить р.н.м. несмещенный критерий уровня а: 1) для проверки гипотезы Но. о~А/(о~+ Ео~в) (Л против альтернативы Н! !оз„/(оз+Еозз)>Л; 2) для проверки гипотезы Н,: озз/аз(Л пРотив альтеРнативы Н,: о'а/оз>Л.
4.33. Пусть Х!,...,Х„, Уь..., У„независимы, Х, имеет нормальное распределение Л/'($!, о!), У! имеет нормальное распределение Л'($!+ Л, о!), 1=1,..., и. Показать, что р.н.м. иесмещенный критерий уровня а для проверки гипотезы Но. Л=О против альтернативы Н! . Л>0 имеет критическую область < / и У' (/ $ ~ ((/,— (/)'/( — Ц > 1, . „,, !=! а (/!=У! — Х!, !'=1,..., и, (/=Я (/!/и.
4.34. Пусть Х!,...,Х„независимы, Х! имеет нормальное Распределение Л'Д!, о'), !=1,..., г, Х! имеет нормальное Распределение Л (О, о'), /=а+1,...,и. Показать, что р.н.м. не- смещенный критерий уровня а: 1) для проверки гипотезы Но: !ь!~($!о против альтернативы Н,: а!>ф!о имеет критическую область ! л (Х! — $го) ~/ ~~ Х;/(и — г) >/! — а, и — г ~ г=»+! 2) для проверки гипотезы Н,: ф»=$»о против альтернатив Н! ! $»~$»о имеет критическую область 1 ) Х вЂ” ьгго1 1»г ) Х!/(п г) Э-' / — «!г, — ~.
!-»-!-! 435. Пусть Хо=а(у; — у)+Ь+ео г=1,...,п, Х=~ Хг/и, ! ! уг,...,у„— заданные числа, среди которых имеется хотя бм два различных, у=~' у;/и, (а!) независимы и имеют общее г=! нормальное распределение Ао(0, о'), параметры о>0, а и Ь неизвестны. Пусть р, с н !1 — заданные числа, ог=(у! — у) ~ ) Х / г=! Х(у! — у)', г=1,..., и. Показать, что для проверки гипотезы Но; гас+Ьг(=р против альтернативы Н»:ас+Ы~р р.н.м. несмещенный критерий уровня а имеет критическую область л о ~ о~~ огХ! +»!Х р ~ ) 1/ ог Ч~', ог+ Нг/л ! ! , 1~ >»! — г»!г. о-г л л и 1/' / [~ч~~ (Х! — Х)г — (~ч»', Хго!) /~ о~!) / (л — 2) ! ! ! ! г=! 4.36.
Пусть (Х», У!),..., (Х„, У„) независимы и имеют двумЕРное ноРмальное РаспРеДеление Л г($, г), ог, тг, Р), — оо($, т)<оо, о, т>0, !р~(1. Обозначим В / о л И=~(Х,— Х)(); — у) 1,/ Г'(Х,— Х)г~(у! — У), г=! г=.! ! ! и л Х=') Х,/п, У=~~ Уг/п. г=! Показать, что: 1) если р=О, то й/у'(1 — Яг)/(и — 2) имеет 1-распределенйе Стьюдента 1„г, .2) р.н.м. несмещенный критерий уровня а: а) для проверки гипотезы Н,: р(0 против альтернаа тины Н!.
р>0 имеет критическую область (й/)/» (1 — йг)/(и — 2) ~ >1»-о, л — г)» б) для проверки гипотезы Н,: р=О против альтернативы Нзз . ,-80 имеет критическую область ((Ло)~Д вЂ” Яз( — Л)4 „1. 4.37. Пусть (Хь У7),..., (Х, У„) независимы и имеют об1пее двумерное нормальное распределение Ф095, Ч, о', тз, р), — ао($, Ч(оо, о, т)0, (р! (1. Обозначим ~'=~(Х,— Х), ч, 4=1 л л Х=~Х4/и у ~у/„ 7=! 2=1 л ~49 = ~ (Х4 — Х)(у, у) 4-1 ')/ (~'~ +Нз)' — 4б Ж.
Показать, что для проверки гипотезы Но.т/о=А против альтернативы Н,: т/оФЛ р.н.м. несмещенный критерий уровня с4 имеет критическую область ((Т(/у (1 — 7 )/(и — 3)~ )21 — и72,л — 2). 4.38, Пусть (Хь У7),..., (Х„, У„) независимы и имеют обШее двумерное нормальное распределение .4лз(ч, Ч, о', т', о), — (9, Ч(, о, т)0, 1р( (1. В предположении т=о показать, что для проверки гипотезы о.'$ — 21=0 против альтернативы Нз. 9 — ЧФО р.н.м.
несмещеный критерий уровня а в обозначениях задачи 4.37 имеет кринческую область (~/П (Х вЂ” у ) / У(3~4+ 52~ — 25,9)/(П вЂ” 1) ) /7 „72 л 4). 4.39. В таблице приведены данные об уровнях холестерина крови (Х) и отношениях вес/рост (У, фунт/дюйм) для 10 чеснек, прошедших обследование в кардиологическом центре. 280 298 284 818 240 279 879 ЗЗ7 2.19 2,68 2.37 2.96 2.62 2.71 2.12 1.94 2.61 2.64 Предположим, что пары (Х, У), помещенные в таблице, являются реализациями независимых двумерных векторов с об.: щим двумерным нормальным распределением л'1($, т), оз, тт, р). Можно ли, применяя критерий из задачи 4.36, 2), б) уровня а=0.1, заключить, что уровень холестерина в крови коррели.
рован с отношением вес)рост7 4.40. На основании 28 наблюдаемых независимых двумер. ных векторов (Х1, У,), 1=1,...,28, с общим двумерным нор. мальным распределением Л'1()!1, )!1, о!1, о!1, р) выборочный коэффициент корреляции оказался равным р=0.652. Используя преобразование Фишера й(р)= — 1п= и результат задачи 1.27, проверить гипо.
! !+р 2 ! — р тезу Но: р=0.721. 4.41. Пусть Х1,...,Х„независимы и имеют общее показательное распределение Р(а, Ь), — со<а<со, Ь>0. Показать, что для проверки гипотезы Нд ! Ь=Ьз против альтернативы Н,: ЬФЬз р.н.м, несмещенный критерий уровня а имеет область принятия (с1с 2п(Х вЂ” Х!!!)/Ь,<сз), Х=) Х1/и, Х10= пип Х,, 1=1 !~(1~л постоянные с!<с, определяются из условий ~ я „!1(и)1(и=~ д,„(и)1(и=1 — а, яз(и) — плотность распределения тзм 4.42. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее показа тельное распределение Р(а, Ь), — со<а<со, Ь>0.
Показат что для проверки гипотезы Нз, а=па против альтернатив Н! ! аэьаз р.н.м. несмещенный критерий уровня а имеет о ласть принятия Х=~~' Х!/а, Х!и= пип Х1. !К1<„ (л+л! 2) л(Х у л) — ) Р(-,2,2(л+ > л(Х вЂ” Х(, ) +ал! (у — у при Х(ц' — У(ц (() О. (л+щ — 2) Ь (Х[! — у(ц — Д) ) Р(-а,2,2(л+л! — 2> л(х — х„,)+ь (у у,) пРи Х(ц — У(ц ((~0.
в случае 3) ! (л — 1) (Х( ! > — У(1> — (() «)Р( — а,2,2(л — 1 > (х — х(ц> при Х(ц — У(ц — ((«)О; ! (л( — 1) (Х(ц — У(ц — (1) «)Р! — а,2.2(~ — ц (1 Уп>) [ при Х(ц — 1'(ц — (((0. Будут ли эти критерии р.н.м риантными? 4.44. Пусть Х(,...,Х„, У(, несмещеннымн или р.н.м. инва- У независимы, Х(- Г (01, 1), 1= 1,..., и, У! - Г (02, 1), 1=1 т Построить р.н.м. несмещенный критерий уровня а для провер- ки гипотезы Н,: 01=02 против альтернативы Н,:О!)02, 4.45.
Пусть Х(,..., Х„, Уц, У,„независимы, Х(-Р(ац Ь!), 1=1,...,п, У>-Р(а,, 62), 1'=1,...,т, 4.43. Пусть Х(,...,Х„, У(,...„У независимы, Х! имеет по казательное распределение Р(а„Ь!), 1=1,...,а, У; имеет по. казательное распределение Р(аь Ь2) 1=1,...,т. Обозначим л Уй Х(ц= пцп Хц У(ц= ппп У>ь Х=~ Х!/п, У=) Уфи. 1<(~л 1(!4>л 1=! ! ! Рассмотрим три случая: 1) 61 и Ь2 известны; 2) известно отнощение Ь!/62=3; 3) относительно параметров Ь! и Ь2 ничего не известно. Показать, что для проверки гипотезы Нл (а( — а2=(2 против альтернативы Н,: а,— азль(( к.о.п. уровня а определяется критической областью: в случае 1) л — (Х(ц — У( > — (() ) — 1п при Х! ц У! ц ( ! (Х(ц — 1'(!> — Н) ) — 1и а при Х(ц — у(ц ((«О; в случае 2) Х!»= ппп Хв„У!11 — ш!и У/„ !~!<и 1</:а Х=Я Х,./„, Т=',Г',У/ . 1=1 /=1 Показать, что для проверки гипотезы Н,: Ь,/Ьв~(Л против альтернатнвы Н,: Ьз/Ьв>Л р.н.м, несмещенный критерий уровня а имеет критическую область (и — !) ввв (Р— Ув! ) — Ъ в 1 — а,з!т — 1),2(л — 1] д (ввв — 1) вв (Х вЂ” Хп) ) 4.46.
Пусть Хь...,Х„незавнснмы н имеют общее нормальное распределеняе Л'(01, Ов'), — со<01<со, 0,>0, 1) Показать, что для проверки гипотезы Н,: О!/О!<А против альтернатнвы Нв . 01/Оз>Л р.н.м. инвариантный критерий уровня а определяется критической областью (ТМ1 ... 1(6)). г. П Здесь Т=1/иХ ~/ ~~„(Хв — Х)'/(и — 1), Х=',)„Хв/и, /1, 1(6)— 1=1 1=1 611 †)-квантнль нецентрального /-распределення Стьюдента 1 !(6), 6=/иЛ. 2) Используя результат задачи 1.24, показать, что прн больших значениях и приближенный критерий с крнтнческой областью ( [Т (1 ) ')в и 61/)/ 1+7 /(2(и 1)) ~)з! — в~ является аппроксимацией р.н.м. инвариантного критерия нз 1). 4.47. Пусть (Хм), /=1, 2, /=1,..., пв, независимы, ХмЛ'()вв, авв), 1=1, 2, /'=1,..., ив.
Обозначим лв тв — — ив — 1, Хв=~ Хм/и„ / 1 гв =(вв!ов* Я!=~в (Хв/ — Хв)'/тв, в'=1, 2, / 1 у =(и, Хв/Зв+ и,Х1/5,)/(ив+ и,), Т=(Х1Я вЂ” Хв!Бв)/ЪГ(1+ уЧ2)(1/т!+1/ъ,). 1) Показать, что вслн тв уь то прн и„п,— со У(Т)-./1"- (О, 1).; 2) На основе предельного распределения Т построить аснмпто-1 тнческнй критерий для проверки гипотезы Но.ув=ч, протнв 1 альтернативы Нв:т!чьть В В х у У Вероятности категорий Рлв, Рлв Рлв и Рлв неизвестны. Обозначим Р~=рла(ра, Р»-Ра!РЗ, Л=Р~(1 — Рз)l(Р»(1 — Р~)).
Для проверки гипотезы Нз. А=1 (независимость признаков А и В) 4.48. Пусть Хь...,Х„». независимы, Хь...,Х„имеют геометрическое распределение 0(р~), Х„.~~,...,Х„.~. имеют геометрическое распределение 6 (Рз). Построить р.н.м. несмещенный критерий уровня а для проверки гипотезы Нз. Р~=Р» против альтернативы Н~ .
Р~>рь 4.49. Пусть Хь...,Х„, У„...,У независимы, Х, имеет распределение Пуассона П(Х), 1=1,...,п, У; имеет распределение Пуассона П (1»), 1=1,..., т. Построить р.н.м. несмещенный критерий уровня а для проверки гипотезы Н».Х=п против альтернативы Н~. 1) 1»<1»; 2) 1.>п; 3) Азьей.
4.50. За первый день счетчик зарегистрировал 20026 импульсов пуассоновского процесса, за второй день — 19580. Есть ли основания считать, что за второй день интенсивность поступления импульсов снизилась? Уровень значимости равен 0,05. 4.51. За первый час счетчик зарегистрировал 150 импульсов нуассоновского процесса, за следующие два часа — 250 импульсов. Была ли одинаковой интенсивность поступления импульсов в единицу времени? Уровень значимости равен 0.05.
4.52. В интервале времени (О, т) наблюдается последовательность событий в соответствии с неоднородным пуассоновским процессом с интенсивностью 1»(1)=ре '. События происходят в моменты времени 1~<гз<... <1». Построить р.н.м. не- смещенный критерий уровня а для проверки гипотезы Нз ..а= =0 против альтернативы Н,: а>0. 4.53. Пусть Х и У независимы, Х-Ь(п, Р,), У-Ь(»п, р»). Построить р.н.м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
