Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 15
Текст из файла (страница 15)
альных распределений. 4.82. Пусть Х!,...,Х независимы и имеют общее нор. мальное распределение Л'(1о, оо). Для проверки гипотезы Но.. :1!=но пРотив альтеРнативы Н!. (оФ1оо пРн неизвестном значе нни о' обозначим отношение правдоподобия Х„(Х, 8!о), Х =(Х!,...,Х„). Показать, что: 1) к.о.п. уровня а эквивалентен ,критерию из задачи 4.24; 2) в условиях Но при п-«оо имеем Ы( — 2!пЛ„(Х, 6о)3 Х!о. 4.83. Продолжение. Используя асимптотическую форму к.о.п.
с критической областью ( — 2!пХ„(Х, !ао) ~Х»! — «, !), вычислить его предельную мощность при п — !-оо для проверки гипотезы Но: 1»=1!о против альтернативы Н!' 1о»=1»о+1!1п, ьт' е-0. 4.84. Пусть Хь..., Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(1», оо), Х=~ Хо~п. 1) Показать, что !=! для проверки гипотезы Но. оо=ооо против альтернативы Н,: : аоэьаоо пРи неизвестном значении 1! к.о.п.
УРовнЯ а имеет об.ласть принятия и ! % с,( — ~(Х,— Х)»<со~, " 2~ о о=! тде с! и со удовлетворяют условиям: а) 6„,(со) — 6„,(с,) =1 — а, 6»(г) является ф.р. величины Х~о', б) с! — со=а(п(с!/со). 2) Используя нормальную аппроксимацию 6„(з) =Ф((г— — и)!'Г2п), проверить, что критерий с равными «хвостами», для которого с!=то„!о „„'с»=Х'! пь !, удовлетворяет условию б) при п-«оо. 4.85. Пусп (Ха) независимы, Хм —.ао(ро, оо), !'=1, ..., й, .1=1, ..., п, Обозначим Хо=~, Хо!1п„Х=~~ поХо/п, п= )',п!, /=1 ! 1 ! ! о л! У=(п — й)~, п! (Х,— Х)'/ [~ )' (Хм — Х!)'(й — 1)1.
Проверяется о=! о=! /=1 гипотеза Н,: 1о!=1!»=...=но пРи неизвестном значении о . 2 1) Показать, что к.о.п. уровня а имеет критическую область (р)Р»-,л 1, д) (модель однофакторного дисперсионного анализа). 2) Проверить, что при»»=2 к.о. п. основан на статистике (Х! — Х») (л, + л,— 2) л2л»|(л2+ лл) л~ л1 ) (хц — х,) + )Г (х„— х,)2 1=1 » 1 которая в условиях Нл имеет 1-распределение Стьюдента ~л, »-лв-2. 4.86. Пусть (Хц), »'=1, „, )», 1=1, ..., ио независимы, л» л; Хц — »Уэ()»», а,), 1=1, ..., по Х»= ~~ Х»»/и», 51= ~~л (Хц— 2 %~ »=! 1 1 — Х»)2/п», Х»=(Х»„..., Х»„,), »=1, ..., »», 52=~', и;5»2(~ и,. » 1 1 1 Проверяется гипотеза Н„: оз =о2 =... =о' при неизвестных значениях 1) Показать, что отношение правдоподобия имеет вид Лл„..„.,(Х„..., Х„, Е,)=11 (5')51) "'" И Прн П»,..., Пл-+ ао В уСЛОВИяХ Нз ИМЕЕМ Я( — 21пЛ„„....„„(Х», ..., Хю 62))-~Я,. 2) Проверить, что при»»=2 к.о.п.
основан на статистике и»Х Х(и2 — 1)5!'/[п2(п! — 1)5221, которая в условиях Нл имеет Г-распределение Фишера Р„, 1,, !. 4.87. Пусть '(Х», У!),..., (Х„, У„) — независимые двумерные векторы с общим двумерным нормальным распределением 4'2($, 21, о2, т2, р), все параметры ($, 2), о, т, р) неизвестны. Показать, что для проверки гипотезы Нл»р=О против альтернативы Н,: рФО: 1) к.о.п. эквивалентен критерию из задачи 4.36, 2), б); 2) в условиях Нл Ы( — 21пЛ (Х, У, Оа))-»-Х»2 при п-м~о.
4.88. Пусть (Хгц У,!), . (Х1л„У1л,), (Х21, 1'2!),, (Хзл,э 1 ь,) — независимые двумерные нормальные векторы, (Хц, Уц)— — »)22(р»„)»12, о'„о,', р), 1=1, 2, 1=1, ..., иь Обозначим и= л» л» л» =и»+и„Х»=Я Х»))и», У»=) У»;)п„»'=1, 2, 51=~, ~~ (Хц— » 1 )=! »=1»=1 2 2 л! Х»)'/(и — 2), 52=,~,,~, (Уц — У»)2/(и — 2), Р=~~,,~~ (Хц — Х») х 1 1»=1 » 1/=! )~ (У»! — У»)45!52 (и — 2)].
Показить, что для проверки гипотезы О: ()»!1, )212)=()»21, р22) относительно альтернативы Н»1()»11, 88 2р (Х, — Х,) (У, — У,) (à — У,)2 ~ (Х,— Х,)е с (1 — ре) ~ 32 3232 32 4.89. В таблицах приведены данные об уровнях холестерина в крови (Х! и Х2) и кровяном давлении (У! и У2) для людей двух возрастных групп (20 — 40 лет и 50 — 70 лет).
Можно ли заключить, используя критерий уровня а=0.08 со статистикой 72 из задачи 4.88, что средний уровень холестерина в крови и среднее кровяное давление в старшей возрастной группе значимо выше? 20 — 40 лет 50 — 70 лет 889 201 229 191 229 210 лтв ( 138 132 158 136 150 182 148 4.90. Пусть Хь...,Մ— независимые р-мерные векторы с общим нормальным распределением !У'„((2, Е), матрица Х пел л вырождена. Обозначим Я=,т (Х,— Х)(Х! — Х), Х=~~ Х!/и. 1=1 1=1 Показать, что: 1) к.о.п. уровня а для проверки гипотезы Нс. (2=(20 против альтернативы Н,:(2~(20 при неизвестном значении Х имеет критическую область ((и (и — р)/р) (Х вЂ” 120) 8 (Х вЂ” ф) ~ )!с! ~,0,„1); 2) Я( — 21п Л„(Х, 60)) - Х92 при и-е-со в условиях Нс.
4.91. Пусть Х1,...,Х„независимы и одинаково распределены с симметричной унимодальной плотностью /(х — 0), (х(<со, 10(<со. Для проверки гипотезы Нс. 0=8, против альтернативы Н,: О)00 рассматривается критерий с критической областью ((Х вЂ” 00) 2/(О) Чп) з! ), Х вЂ” выборочная медиана. 1) Используя результат задачи 1.!8, показать, что указанный критерий является состоятельным.
2) Показать, что для последовательности альтернатив 0„=00+Л/[2/(0)Я, Л)0, предель. ное пРи и- со значение мощности Равно Ф(Л+ал). 3) Найти (8!2) ле ((221, (222) отношение правдоподобия эквивалентно стати-. ' стике предельное при и — о-о значение мощности критерия с критической областью ((Х вЂ” Оо) 2/(О) гп(х ) для последовательности альтернатив 0„=0о+Л/[2/(0) 1й1 прн Л<0, 4) Найти предельное прн и-~-оо значение мощности критерия с критической областью (1Х вЂ” Оо12/(0) Гп~ х, и) для последовательности альтернатив 8„=0о+Л/[2/(0))~и1 при ЛчьО. 4.92.
Пусть Х„..., Х„ независимы и одинаково распределены с плотностью /(х — 8), х>0, /(0)>0, г"'(х)=/(х), Р(0)=0. Для проверки гипотезы Но.В=Во против альтернативы Н1 . .8> >Оо используется критерий с критической областью Я= = (( ш(п Х1 — 0,)п/(0) >с,„), Ро,(5)-о.а при и — ооо. Показать, 1(~~(о что для последовательности альтернатив 0„=0о+Л/(и/(0)), Л> >О, мощность р(0„) удовлетворяет предельному соотношению [ аех при Л( — 1па, а " [ 1 при Л> — !па. !нп р(0„)=~ 4.93. Пусть для проверки гипотезы Но.
В=Во против альтернативы Н~ . .0>Оо используется состоятельный критерий с критической областью (Т„~с, „), Т„=Т(Хь...,Х„). Предположим, что существуют функция а(0) с а'(Оо) >О и убывающая функция и(п)10 при и — ~-оо, такие, что для последовательности альтернатив О„=Во+Ли(и)/а'(Оо) при некотором Л>0 при п-о-оо имеют место предельные соотношения Р([҄— а(Оо)]/и(п) (х) -«б(х), Р([҄— а(0„))/и(п)(х)-~б(х), где б(х) — непрерывная ф.р.
Пусть Н=11ш [с„,„— а(Оо)1/и(п), л 1 — б(с()=а. Показать, что мощность критерия р(0„) удовлетворяет соотношению 1ип р(0„)=1 — б(й — Л). л с 4.94. Пусть функция мощности О,(0)=Ео~р(Х) любого критерия ~р(х) непрерывно дифференцнруема в точке 0=Во. Показать, что л.н.м. критерий для проверки гипотезы Но.О=Во против альтернативы Н1.8>8о существует и определяется тем, что среди всех критериев уровня а он макснмизирует о(р,(О)ЯО в точке 0=Во. 4.95.
Пусть функция мощности р,(О)=Ео~р(Х) любого критерия ~р(х) дважды непрерывно дифференцнруема в точке О= =В,. Показать, что л.н.м. несмещенный критерий для проверки гипотезы Н,:0=Во против альтернативы Н,: ОФОо существует и определяется тем, что среди всех несмещенных критериев Уровня а он максимизирует доО,(О)/ЫОо в точке 0=Во. 87 4.96. Пусть Х»,...,Х независимы н имеют общее нормаль- л ное распределение 4'(О, 1), Х=,~' Х»/и, »=! Х! », если п=2т — 1, Х= (Х! !+Х! +!!)/2, если п=2п!, Х!м — й-я порядковая статистика в вариацнонном ряду Х!и< <Х!,><... ((Х!„!.
Для проверки гипотезы Нд. 8=8, против по- следовательности альтернатив Н!.О=Оз+Л/)/и, Х>0, рассмат- риваются два критерия с критическими областями ((Х— — Оз))/л~з! „) и ((Х вЂ” ОаЦ2п/я~а! ) и мощностями ~»(8) н рз(8) соответственно. Пусть задано 0<а!<1 — а, и!(8) — наи- меньший объем выборки, необходимый для достижения мощ- ности р!(8) )1 — а, !=1, 2. Показать, что при ОтОз и! (8)/лз(8)-»- -.э2/и = 0.837.
4.97. Решить предыдущую задачу з случае независимых одинаково распределенных величин Х„...,Х„, имеющих плот- ность распределения / (х, 8) = [2Г (1+ 1/а) 1»-! ехр ( — ~ х — О ~ ), 1х~ <со, а>0 (при а=1 имеем распределение Лапласа). Рас- смотреть два критерия с критическими областямн 1(х — в! 1/з г(з -, — ')/г(~.» — '1)*, .) ')-— (Х вЂ” Оа) ~п/Г ( 1 + — 1 ) 3! я ) а / н мощностями О»(8) и рз(8) соответственно. Показать, что прн 8(Оз и! (8)/пз(8) » /! (а) =Г (1+ 3/а) /(ЗГ (1+ 1/а) ~.
Найти значения /!(а) при а=0.5, 1, 2, 3 и 11ш/!(а), 1ппй(а). а 0»»-~со 4.98. Пусть Х имеет нормальное распределение Л'(8, 1). Для проверки гипотезы Н,:8=0 против альтернативы Н,:От'= ФО по одному наблюдению Х построить критерий уровня значимости а, который для данного 8»>0 имеет максимальную полусумму значений мощности в точках ».8», т. е. для которого достигается 6,(в,)+6,( — е,) шах з» 2 4.99. В условиях предыдущей задачи задана симметричная ф.р. 6 (х) =! — 6 ( — х). Найти критерий уровня значимости а, максимизирующий ~ (),(8) И (8). 88 4.100.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
