В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(5.2) По условию задачи РВ,=Й+!)=р, Р(з,=Й вЂ” !)=д, (5.З) так как $» =Й. Заменив вероятности, входящие в (5.2), по формулам (5.1), (5.3), получим яь (!+1)=Рпь+ь»(!)+4пь-ь»(!), (54) Й 1,2, ...,и — 1. Заметим, что а,= ) а,= ) "- л,= ) =а„ = )=". н А,= () Д„=п). Таким образом, по формуле (1,5,9) 1 э п„=р(А,) )йп Р(5, и) = !!ш я„„(!). 1.»» ю» ПЕрЕХОдя К ПрсдЕЛу Прн Г- оо В (5.4), ПОЛуЧНМ =Ряб 1 +Чпь ~ Й=1 2 а — 1 Так как и» „— вероятность поглощения иа правом конце в процессе, начавшемся из точки Й, то я, „=О, п,„=1. Таким образом, вероятность и„„, рассматриваемая как функция от Й, нвляется решением линей. ного однородного уравнения в конечных разностях е ностояиными коэффициентами пгимегы пзиложнния удовлетворяющим условиям ),=О, Теория таких уравнений (см. А.
О. Гельфоид (31) во многом аналогична теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными козффициентами. Пусть сначала р~ д. Подставим ~„=И в уравнение (5.5): рХ4+~-) з+7), -т=О нлн р) — 7 +7=О. Корни зтого уравнения равны ),=1, Х,= Р Следовательно, функции Ц и Ц удовлетворяют урав. нению (5.5). Линейная комбинация решений ~,=СА+С,А',= С, + ®" С, (5. 7) при любых значениях постоянных С„С, тоже является решением.
Подставив в (5.6) нравую часть (5.7) прн А=О и й=п, получим для определения С„С, два уравнения С, +С,=О, С,+ Ц)" С, =1. Отсюда н из (5.7) окончательно находим н„„ = — ~ ~-„-, я = О, 1, 2. .. л. (5.8) Вероятности поглощения на левом конце н„ удовле- творяют тому же уравнению (5,5), но решать его нужно с условиями 52 ГСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ НЕЗАВИСИМОСТЬ (ГЛ, 3 Подобрав в (5.7) постоякные С, и С, согласно (5.9), получим (5.1О) Так как н,„+ям=1, то блуждание закончится с вероятностью 1.
Пусть теперь р = д †. В этом случае 3., = Х, = 1, 1 и решение (5.5) нумгно искать в виде 6=С,+йСН Используя (5.6) и (5.9), получим ь ДА и В ° и„=! — — . э и В схеме блуждания по целым точкам прямой с поглощением только в нуле (в а поглощение не происходит) Вероятность попасть когда-нибудь в а равна вероятности и„„, вычисленной для схемы с поглощением в нуле и в и. Вероятность того, что частица побывае~ во всех точках правее й, равна О, если д~ ~р, пэ= !нп лА„= ч 1 — —, если д<р. Этот результат не противоречит интуитивным представлениям. Если движение вправо более вероятно, чем влево, то с положительной вероятностью частица может уйти вправо; в противном случае с вероятностью 1 колебания ограничены н происходит поглощение в О.
5.2. работа телефонной линни. Вероятность поступления на телефонную линию одного вызова за время (г, (+й) равна ай+о(й), й О; вероятность того, что ни один вызов за время (1, !+й) не поступит, равна ! — Нй+о(й). Если линия занята, то вызов теряется. Если в момент ! еще продолжается разговор, то за время (1, (+й) он окончится с вероятностью рй+о(й), й- О. Вызовы поступают независимо друг от друга, пРимеРН ги'иложекий Пусть Р,(1), Р,(Г) — вероятность того, что линия в момент ( соответственно свободна и занята. Предположим сразу, что построение подходящего вероятностного пространства возможно и что для интересующих нас событий вероятности Р, (г) и Р, (1) определены и непрерывны яо Г. Используя формулу полной вероятности, получим для Р, ((), Р, (() дифференпиальные уравнения. Пусть В, (1), В, (() — события, состоящие в том, что в момент ( линия соответственно свободна и занята. Тогда В,(1)+В,(()=й и В,(г) В,(1)=С~.
Применим формулу полной вероятности к вычислению Р(В, (г+Ь)), положив в ней я=2, А =В, ((+Ь), В,=-В, ((), В,= В, (г): Р(В, (1+Ь)) =Р(В,(г))Р (В,((+Ь) ! В,(())+ + Р(В, (1)) Р(В,(г+Ь) (В,(1)). (5.11) Свободная в момент времени ( линия останется сво- бодной в момент г+Ь, если за время (Г, (+Ь) не по- ступит ии один вызов. Так как другие события, при которых лилия останется свободной в момент (+Ь, имеют вероятность о(Ь), то Р(В,((+Ь)(В,(())=1 — аЬ+о(Ь), Занятая в момент ( линия будет свободной к моменту Ф+Ь, если закончится разговор и ие поступит ни один вызов. Вероятность этого события равна фЬ+о(Ь)) (! — аЬ+о(Ь)) =()Ь+о(Ь).
Эта вероятность вносит основной вклад в Р (В„((+ Ь) ( В, (1)). Сумма остальных слагаемых равна о(Ь). Таким образом, Р(В,(1+Ь)(В,(Г)) =«)Ь+о(Ь). Подставляя найденные условные вероятности в (5,11) и используя обозначения Р,Я, Р,(1), получим Р,((+ь) =(1 — аь) Р,Я+ АР, (()+о(ь). Отсюда Р.~~+а) — Р. (В Р (, яР („+ е(ь) 54 ьтловиыа всвоятности, независимость ~гл.
т Переходя к пределу при й О, получим ") = — аР,(1)+()Р,(/). (5.12) Аналогично найдем уравнение для Р,()): — ~ — — — аР, ()) — ()Р, (1). (5.13) (5.14) ') На сушествовапня предела прп Л-ч. О следует суатсттвова. нне только левостороппях пронаводннх в (б.) 2) н [б.)3).
Запевна в предндучппх рассуждевнах ) н )+й па ) — Л н и получим выражения для правосторопннх проваводних, совпадающне с (б.)2) и (б.)3). Полагая Р„(0) =1, Р,(0)=0, найдем решение системы (5.12) — (5.13): Р (1)= ~ + ~ с «'+ю' и+Д ' а+Д ,о ()) с-)о~а)с и+5 а-~-5 Прн 1- оо вероятность Р,()) стремится к постоянной сс)(сс+()). Естественно, что с ростом интенсивности поступления вызовов сс вероятность занятости линии увеличивается.
Из формул (5.14) следует, что решение (Р, (г), Р, (1)) системы (5.!2), (5.13) удовлетворяет равенству Р, ())+ + Р, (1) = 1, Это же равенство следует нз предположения о сушествовании вероятностного пространства, в котором определены вероятности Р,(Г) и Р,(1) противоположных событий. Если подставить Р, ()) =- =! — РеЯ в уравнение (5.12), то вместо системы можно решить одно уравнение для Рв(1). К предположениям о существовании подходящего вероятностного пространства, в котором определены вероятности нужных нам событий, нужно относиться с известной осторожностью.
Рассмотрим следующий пример. Пусть состояниями частицы являются числа О, 1, 2, ... Прн 1=0 частица находится в состоянии О. Если частица в момент г находится в состоянии )г, то к моменту 1+й останется в атом состоянии с вероятностью 1 — ссай+о()т), и О, н перейдет в состояние 1+1 с вероятностью сс,5+о(й). Пусть ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2 Рь(г) — веРоЯтиость того, что частица в момент 4 находится в состоянии й. Рассуждая так же, как в рассмотренном выше примере, можно для РаЯ, 1=0, 1, 2, ..., получить бесконечную систему днфференциаль- Ю ных уравнений.
Можно было ожидать, что ~ Рз (()=1. зм! Однако если ссз быстро увеличиваются с ростом й, то оказывается, что ~г Рз(г)<1, Более подробно этот а=о пример рассмотрен в книге Феллера 1171, З 4 гл. 17. Оказывается, что частица за конечное время с положительной вероятностью может пройти по всем состояниям. В этом случае набор чисел (аз~ уже ие определяет процесс при всех т ~0. Задачи к главе 2 Ь Бросаются трн кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной нз ннх выпала еднннда, если на трех хостах выпали разные грани? 2.
Известно, что прн бросзнвя )О копей появнлась„ по крайней мере, одна еднннпа, Какова вероа1ность того, что появилось две сдвннны нлн б ~лее? 3, Доказать„что событнп А н В незаваснны, есла незавн. снмы А н В. 4. В первой урне 2 белыь н 3 черных шара, а во второй ) белый и 4 черных. Из Первой УРны во втоРую пергложнлв два шара. Найти вероятность того. что вынутый нз второй урны шар окажется белым, б. Среди б4 клеток шахматной доски выбнрают наудачу две клетка н ставят на ннх двух слонов, Какова вероятность того, что онн не будут бить друг другах О, Предположнм, что 644 всех мужчин н 0,2бед всех женшнн дальтоники.
Наугад выбранное лано оказалось дальтоником, Какова вероятность, что это мужчннар (Считать, что мужчпн н женшин одинаковое число.) 7, По каналу связи может быть передана одна нзтрех последовательностей букв; АААА, ВВВВ, СССС, нзвестно, что веро. ятностн каждой пз последовательностей равны соответственно ОЗ; 04; ОЗ, В резуль1ате шумов буква прнннмается прзвнльно с вероятностью 0,6. Вероятностн прнема переданной буьвы за две другне равны 0,2 н 0,2. Предполагается, что буквы нскажаются незавнснмо друг от друга.
Найтн вероятность того, что передано АААЛ, еслн на приемном устройстве получено ЛВСА. а. Вероятность того, что молекула, нспытзвшая а момент Г =0 столкновение с другой молекулой н не имевшая других 56 услОВкые ВБРОятнОсти, ииззвисимОсть 1гл, т столкноненнй ло момента Г. испытает столкновение в промежуток времени (г, г+Ь), равна )л+о(й), Ь вЂ” О.
Найти вероятность того, что время свободного пробега будет больше Г, 9. На одну телефонную линию могут поступать вызовы двУх типов: срочные н простые. Прн поступлении срочного вызова разговор по простому вызову прекращается, Вероятности поступления эа время (г. г+6) срочного н обычного вызовов равны соответственно и,В+о(6), <агй+о(В), й — О; вероятность прекращения любого разговора за время (г, (+й) равна ()В+о(А).
Пусть Р,(г). Р,(П, Рз(г) — вероятности того, что в момент ( линию свободна, занята срочным вызовом, занята и;юстым вызовом. Написать для Рв (г) дифференциальные уравнения и найти )(ш Рз (()=па, В=О, 1, 2. г ю (О'. Изменим условия работы телефонной линии, описанной в п. 2 з б, Будем считать, что прн занятой линии вызовы не теряютсп, з становятся в очередь. Обозначим Ре (Г) вероятность того, что в момент Г одни вызов обслуживается н Д вЂ” 1 образуют очередь (йз.
1); Ре(Г) — вероятность тоГо, что линия свободна. Составить для Ра (Г) дифференциальные уравнения, Найти Ф 1пп Рз(г)=пв, если О= — < 1, г ч Р ГЛАВА 3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ й 1. Конечные последовательности испытаний Рассмотрим следующую задачу. В первой урне 2 бельш и 3 черных шара; во вто. рой — 2 белых и 2 черных; в третьей — 3 белых и 1 черный. Нз первой урны наугад один шар переложео во вторую.
После этого из второй урны также наугад переложен один шар в третью. Наконец, нз третьей какой-то из шаров переложен в первую. Какой состав шаров в первой урне является наиболее вероятнымр Что более вероятно; изменение состава шаров первой урны или сохранение? Согласно условию задачи мы имеем три испытания три перекладывания шаров). Нетрудно выписать все возможных результатов испытаний. Введем сначала следующие обозначения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
