В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Морана «Геометрические вероятностиэ, «Наука», 1972 г. (стр. 83): (гл. г ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Можно рассмотреть более общий случай, когда и (и„..., и ) не ограничена в конечном числе точек Й. Тогда интегралы в (6.10) по множествам А, содержащим такие точки, нужно понимать как несобственные, Нетрудно проверить, что функпия Р(А), определенная соотношением (6.9), удовлетворяет аксиомам А2 — Аб. Из теоремы о продолжении вероятности следует, что формула (6.10) позволяет определить вероятность на минимальной о-алгебре ))-', порожденной алгеброй )у. Таким образом, мы определили вероятностное пространство.
Построенное вероятностное пространство будем называть п-мерным абсатшагио нспрсрыниыж вгралгпносгггнмш прослгрангпшолп Отметим, что рассмотренная выше схема геометрических вероятностей является двумерным абсолготно непрерывным вероятностным пространством с и (и„и,) =- ) =---й-, если (и„и,) ~С, С вЂ” квадрнруемая фигура, и и (и„и,) =О, есин (и„и,) ~С. Заваин и главе ( (. Проеернть следуюшне соотноше~па неягду случзйнынн событнянн: (>,В А% 4) (.4+В)С=АС+ВС; 2) (А+В),В А,АЗ=АВ; 5) А+В АУ. 3) АА А+А=А; 2.
дорастать следующие вырахгення: )> (А+В>(А+В>; 3> (А+В>(В+С>. 2) (А+В)(Х+В)(А+ВИ 3, Установнть, ванне нз следуюгднх соотношеннй правильны: )) (А+В)" С=А-ь(В'.С); 3) АВССА+Вг 2) АВС= АВ (С+ В); 4) (А -(- В) С= АЛС. 4. Пусть А„В, С-тря нронзвольных событня. Найти выраженвя для событяй, сосгояшнх а тон, что яз А, В, С: )) произошло только А; 2) пронзошлн А и В, но С не произошло; 3) все трн события пронзошлн; 4) провзошло, по нрайней иере, одно нз событий; 5) пронзошло одно н только одно событне; б) нн одно событне не пронзошло) Злдячи к ГлАВе ! 7) произошло не больше двух событий.
7 3. Бросаются дзе игральные кости. Пусть событие А состррт в том, что сумма очков четная, а В заключается в том. что вы- пала хотя бы одна единица. Описать пространство злемектарных событий, события АВ, А-(-В, АВ. Найти их вероятности, если зсе злементариые события равновероятны, б. Описать пространство злеыснтзрных событий, соответст- вующих трем испытаниям, в каждом из которых может йоявнться У (успех) илн Н (неуспех). Выразить через злементарные события: Ц событие А — в первом испытании произошел успех.
2! событие  — произошло ровно два успеха; 3) событие С вЂ” произошло не больше двух успехов. 7, й!оиета бросается до тех пор, пока два раза подрал оиз ие выпадет одной и тон же стороной. Каждому возможному ис- ходу, продолжавшемуся и бросаний, приписана вероятность 2" », Описать пространство злементарвых событий, Вычислить вероят- ности собьпиуп Н опыт окончился до шестого бросания; 2) потребуатся четное число бросании: 3) после конечного числа бросаний опыт окончнтся 8. Числа 1, 2, ..., и расставлены случайным образом. Найти вероятность того, что ! н 2 расположены рядом и притом в по- рядке возрастанпя.
О. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбран- ных цифр встретится О, 1, 2 повторений. ч 10. Показать, что более вероятно прн одновременном броса- нии четырех костей получить хотя бы одну единицу, чем прп 24 бросаниях двух настей получить хотя бы один рзз дае единицы 11.
Случайно размещается л шаров по Х яшиьзм При я= И найти вероятность того, что роюю один ящик останется пустым. 12, Найти вероятность того, что дии рождения !2 человек придутся иа разные меся«ы года. 13. В чулане и пар ботинок. Из иих случайно выбирается 2г ботинок (2» < л), Найм вероятность тога, что !) среди вы- бранных ботинок иет парных; 2) имеется ровно одна пара 14. Ящик содержит 90 годных и !О бракованных детллед. Нздти веро»тносгь того, что среди !О вынутых пз ящнла деталеб! нет бракованных. 13.
Найти веровтвость того, что на две карточки спортлото с отмеченными померз»~и (4, !2, 38, 20. 41, 46) и (4, 12, 38, 20, 4! 40) будет получено ровяо два мн»имальяых выигрыша (угадано ровно по трн числа!. !4. И последовательности чисел 1, 2, ..., Д! отобраны на- Удачу л чисел н расположены в порядке возрастания л, < <"з« ... х„, Найти вероятность тото, что х» »- М < хм ьт и вычислить ее предел при В, М вЂ” с». М/У=а, б ос 17. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а росается наудачу монета радиуса г, 2г < а. Найти вероятность что 1! монета «аликом попадет внутрь одного квадрата; ) пФесечет ие более одной стороны квадрата.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (гл, 1 (0. Двое договорились встретят ся в отрезке времени (О, Т). Первый пришедший ждет второго время (, ( < Т. Найти вероятность того, что встреча произойдет, За множество И присяга точки квадрата ((гм га): Ое<г, щт, Очегт~т). где (т и га— моменты прихода встречающихся. Пй На отрезок (О, Н наудачу брошена точна. Пусть с - сз координата. Найти функции Р(х)=р(ч < х), Р'(х).
Построить их графики. 20. В квадрат ((хм хе): ОнЕхгч~ („Г= ), 2) наудачу брошена точка. Пусть (ьм $т) — ее координаты. Найти функции Р(х) = Р(4+ее < х), Р' (х), 2П В куб ((хы хе, хз): Оч~хг х;, (, (=), 2, 3) наудачу бровена точка, Пусть (ьт, са, ьз) — ее координаты. Найти функции Р(х)=Р(аг+йт+$а <х), Р'(х).
Построить графика. Сравнить задачи (9 — 2!. 22. Величины Чт, Чз опРеДелены в задаче 20, Найти веРоатность того, что корнй уравнения ха — $тх ( се=О действительны. 23. На отрезок (О, Ц наудачу брошено 2 точки, разбившие его на 3 отрезка. Какова вероятность того, что иа иих можно построить треугольника За множество () принять парм чисел, явлиьтщнеся коордннатамн брошенных точек. 20.
Обозначим ц, Ы„т)а=и)п(вг, йе), да=шах(Ь йт). где вы йа определены в задаче 20. Найти Р(т)г <.с), Р(т)е<а), р(тц<х), ГЛАВА 2 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ й 1. Условные вероятности Прежде чем переходить к формальному определению условной вероятности, рассмотрим ряд примеров. Пример !. Лопустим, что студент выучил из 28 билетов 4 четных и 12 нечетных.
По классической схеме вероятность того, что студент получит выученный им билет (событие А), равна 16/28 477. Пусть теперь известно, что к моменту прихода студента осталось 14 билетов и все они нечетные (событие В). Какова вероятность события А при этой дополнительной информации (В произошло)? Естественно принять ее равной 12)! 4 =- б~7. Пример 2. Имеется У карточек трех типов: черные (обе стороны черные), белые (обе стороны белые), разноцветные (одна сторона белая, а другая черная). Пусть У„карточек имеют белый цвет (белые или разноцветные), Уа имеют черный цвет (черные или разноцветные), Ула имеют и белый, и черный цвет, Вынимается одна карточка.
Какова вероятность появления белого цвета (событие А) в предположении, что карточки извлекаются с равными вероятностямиэ Наудачу выбранная карточка положеяа на стол, и ее верхняя сторона оказалась черной (событие  — появился черный цвет). Какова в этом случае (В произошло) вероятность того, что другая сторона белая (событие А)7 Без дополнительной информации по классической схеме "(А) =Уа7У. Если осуществилось событие В, то осуществился один из У„исходов, Среди этих исходов событие А появляется У раз. Естественно в этом ~римере условной вероятностью Р (А (В) событии А при у~ловки, что В произошло, назвать отношение Р(А !В) — „,"". 4е головные вегоятиости, независимость 1гл, т Правую часть етого равенства можно представить в виде отношения Р(АВ) Р(В), так как Р(АВ) =Ула/У, Р(В) =Же~И.
Таким образом, в рассматриваемом прймере (1.1) Это равенство позволяет дать общее определение условной вероятности. Пусть (Я, сд, Р) — произвольное вероятностное пространство. Если А, В'~)г и Р(В) > О, то рслоаиая вгроятносгпь события А прн условии, что произошло событие В, определяется формулои (1,1), в правой части которой символ Р понимается как вероятность в рассматриваемом вероятностном пространстве. Пусть теперь некоторое событие В с Р (В) > О фиксировано, Нетрудно проверить, что функция Р„(А) =Р(А ) В) =Р("„1, определенная для всех А ь т, удовлетворяет аксиомам А2 — Аб, в частности Р(А)В) -О, Р(й)В)=1, Р (А „+ А, ( В) = Р (А, ! В) + Р (А, ) В), если А,А, = О.
Таким образом, для Ра(А) справедливы все следствия из аксиом, доказанные в 5 5 гл.!. Кроме того, Р(В~В)=1, Р,(А(С)=Р(А)ВС). й 2. Вероятность произведения событий Поменяем в (1.1) местами А и В. Полученное равенство можно записать в виде «теоремы умножения» Р (А В) = Р (А) Р (В ) А), (2.1) По индукции из (2.1) легко получить более общую формулу Р(А,А,,А„) =Р(А,)Р(А,(А,)...Р(А„(А,,А„,), (2.2) 4 з! ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ 43 !(ействительно, прн а = 2 (2,2) совпадает с (2. ! ). Пусть (2.2) доказано для и — 1 сомножителей, Тогда для п сомнохаггелей (2,2) следует из равенства Р(А,А,...А„) =Р((А,... А„,) Ал) = =Р(А4" Ал-4)Р(Ал»АТ Ал-4), которое получается пз (2.1) прп А = А,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
