В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 8
Текст из файла (страница 8)
А„,, В=А„. Если заданы о, 4т и Р, то использование формул (2.1) н (2.2) для вычисления вероятностей произведений событий, например, для вычисления Р(АВ), бессмысленно, так как сама условная вероятность Р(В[А) определяется как отношение Р(АВ) к Р(А). Однако при решении реальных задач не заданы ни !), ни $, ни Р, Классическая схема и схема геометрических вероятностей, в которых вероятность определяется в явном виде, описывают далеко не все встречающиеся в приложениях задачи, ЛОВОЛЬНО ЧаетО оказывается вОЗ- можным задать ряд чисел, которые должны стать значениями условных вероятностей в математической моделя. Таким образом, требуется построить вероятностное пространство, в котором вероятности некоторых событий имеют наперед заданные значения.
В ряде случаев подобная задача модест быть решена при помощи формул (2.1) и (2.2). Пусть, например, дано, что Р(А)=-а„Р(В(А!=апо Р(В(А)=аьо (2.3) Тогда должны быть выполнены равенства Р(А) =1 — а4=а„Р(В!А) =1 — а„=аип Р (В ! А) = 1 — алт = а„. (га4~ Ь44 Ь44~ 4Б4»' Событиями А и В назовем подмножества А = (4Б„Ь44», В [4ЬО ел». Тогда АВ=!Б44». Аналогично можно проверить, что (Ь4,» АВ, (Ь44» АВ, (Ь4» = А В, 44 услОВные Вееоя?ности незАВисимОсть (гл. 2 Если подходить к определению () менее формально, то можно сразу положить Я=(АВ, ХВ, АВ, АВ), Распределение вероятностей на всех подмножествах конечного множества однозначно определяется зада- нием вероятностей всех подмножеств, состоящих из одного элементарного события.
Положим Р(АВ) =Р(А)Р(В(А) =а,агн Р(АВ) = Р(А) Р (В) А) =а.,а„, Р (АВ) = Р (А) Р (В ( А ) = а,аии Р(АВ) =Р(А)Р(В(А)= а,а Правые части этих равенств чеотрицательиы и в сумме дают единицу, Распределение вероятностей задано. Отправляясь от заданного распределения вероятно- стей, найдем Р(А) =Р(АВ) +Р(АВ) =- ааи+а а„, =а„, Таким образом, мы нашли распределение вероятностей, удовлетворяющее условию (2.3). Построение вероятностного пространства по условным вероятностям в более общем случае будет рассмотрено в следующей главе. В примерах, рассматриваемых а этой главе, мы будем обьщно предполагать, что соответствующие условные вероятности заданы.
Построение по ним вероятностного пространства может быть проведено так же, как в рассмотренном примере, н приводиться не будет. Решим при помощи условных вероятностей задачу о ключах из $ 6 гл. !, в котором было приведено решение с классическим определением вероятности, Предлагаемое здесь решение является частичным построением другого вероятностного пространства, описывающего последовательное извлечение ключей. Веро- З»! ввгоятность пгоизввдания совытип 45 ятностные пространства, удобные для описания последовательности испытаний, будут подробно рассмотрены в следую<ней главе. Событие А„, состоян<ее в том, что нужный ключ появится в й-м испытании, можно представить в виде произведения А =А,А,...
А„,А», Отсюда, используя формулу (2,2), получим Р(А,)=-Р(А,) Р(А») А,) ... Р(А»( А,А,, А„„,), 3начения сомножителей можно считать заданными в условиях задачи. Действительно, из и ил<очей только одни подходит н и — 1 не подходит. Следовательно, Р(А,) =:.
Если произошло событие А„то остался и — 1 ключ, среди которых один подходит и и — 2 не — — « — 2 подходит. Отсюда Р(А„) А,) = — и т. д. Чтобы приписать вероятности Р(А»(А,...А„„) определенное значение, нужно иметь в виду, что к й-му извлечению осталось а — Й+! ключей, из которых один подходит к двери. Тогда естественно положить ! Р (А») А< ' ' ' А»-<) Окончательно получаем а — ! и — 2» — »+1 ! Р(А )=— «а — ! ''' а — »+3 л — »+! « результат получился такой же, как в 5 б гл.
1. Если отправляться от распределения вероятностей, введенного для этой задачи в $ б, то можно но формуле (1 1) вь<числить условные вероятности Р (А,) А,), Р(А»1А,А»),... Их числовые значения совпадут со значениями, которые были использованы в атом параграфе. (б УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗ»ВНСИМОСТЬ (ГЛ, 3 б 3, Формула полной вероятности. Формулы Банеса Пусть А — произвольноесобытие,события В„ В„,... ..., В„ попарно несовместны, Р(В„) > О, й= 1, , и, и А ~ В, + В,+ ... + В,.
Тогда имеет место следуюшая формула (4юрмдла полной вероятности): Р(А)= ~ Р(В»)Р(А(В»). (3.1) Для доказательства этой форм)лы заметим, что А можно представить В аиде следу!Ошей суммы попарно несовместных событий: А = АВ, + А В, +... -!- А В„. Отсюда, воспользовавшись (1.5.3) и (2.1), получим формулу (3.1): В В Р (А) = ~ Р (А В») = ~~~ гР (В„) Р (А ( В„). » ! »=! Используя (1.5.6), формулу (3.1) можно распространить иа случай счетной системы попарно несовместных событий В», й= 1, 2, ..., л, ...
Заменив в равенстве Р В (А) Р(АВ») Р(В») Р(А(В») Р(В„А = — ) — — ( вероятность Р(А) по формуле (3.1), получим !)торирлы Вайеса Р(В ~ 1) Р(В),)Р(А(В»! В ~ч!~ Р(В,) Р(А(В,) с ! Ниже приведены два примера, В которых используются формулы (3.1) и (3.2). Приложения формулы полной вероятности к задачам, связанным со случайным блужданием, и к простейшим задачам теории массового обслуживания приводятся в Я 5, 6.
Представление о некоторых направлениях 'приложений формул Байеса дает задача 7 этой главы. 4 М ФОРМУЛА ПОЛНОЙ веРОЯТНОСТН. ФОРМУЛЫ ВАЙБСА 47 Пример !. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25РА, вторая 35%, третья — 40'Р всех изделий. Брак в нх продукции составляет соответственно 5'М, 4%, 2РР. а) Какова вероятность того, что случайно выбран- ный болт оказался дефектным? б) Какова вероятность того, что случайно выбран- ный болт произведен первой, второй и третьей машн- налш, если он оказался дефектным? Решение.
а) Обозначим через А событие, состоя- щее в том, что случайно выбранный болт — дефектный, а через „„В,— события, состоящие в том, что этот болт йронзведеи соответственно первой, второй н третьей машинами, Очевидно, что формула (3.1) при- менима. Танич образом, используя условие задачи, Получим Р(А) =Р(в,) Р(А) в,)+ +Р(в,) Р(А) В,)+Р(В,) Р(А1В„) = =0,25 0,05+0,35 0,04+0,40 0,02=0,0345. б) К тем же событиям можно прнченить формулы Байеса (3.2) прн П=З для а=1, 2,3: 0,23 0,03 12б 0,0346 343 ' 0,33 О,С4 $И 0,0343 343 ' 0,40 0,02 60 Р(В~( А) = ' Пример 2. Из урны, содержавшей М белых и )у — М черных шаров, один шар неизвестного цвета утерян.
Какова вероятность извлечь наудачу нз урны белый шар? Решение, Пусть ВА — событие, состоящее в том, что утеряно й белых шаров (а=0, 1); А — событие, состоящее в том, что шар, извлеченный нз оставшихся ШаРов, оказался белым. Положим р(В,) =" — ~, р(в,) =.ф, Р(А (в,) = — ",, Р(А)в,) = —," —,', 48 ксловныв вкгоятности. независимость !гл. з По формуле полной вероятности ~ч — м и м — ! м м Р(А) —: ° — +'— .— — т М Ф вЂ” 1 М вЂ” ! М Отметим, что вероятность извлечь белый шар из урны до утери шара тоже равна А4/У.
5 4. Независимость событий Понятие независимости является одним из важнейших понятий теории вероятностей. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) Р(А) Р(В). (4.1) Из формулы (1.1) следует, что в случае Р(А) =0 и Р(В) >О независимость А и В эквивалентна любому нз равенств Р(А!В)=Р(А), Р(В!А)=Р(В). (42) Определение независимости в форме (4.1) симметрич~ю относительно А и В; условие (4.1) несколько шире, чем условия (4.2). Если математическая модель, описывающая некоторый опыт, подобрана достаточно хорошо, то независимым событиям реального опыта соответствуют события модели, независимые в смысле определения (4.!).
Пусть, например, опыт заключается в том, что один раз бросают две симметричные монеты. В обозначениях 2! гл. 1 положим(1=(ГГ, РР, РГ, ГР); А=(ГГ, ГР)— первая монета выпала гербом вверх, В=(РГ, ГГ)— вторая монета выпала гербом вверх. Предполагая равновероятность влементарных событий, получим Р(А) =Р (В) = —, Р(АВ) = —. Таким образом, Р(АВ)=Р(А)Р(В). События А н В оказались независимыми в смысле определения (4,!), Об использовании независимости (формулы (4,1)) при построении подходящего вероятностного простран ства можно сделать замечания, аналогичные замеча. пням о использовании формулы (2.2).
пРимеРы пвиложенип ф 5. Примеры приложений формулы полной вероятности 5.1. Случайные блуждания. По целым точкам отрезка (О, п) движется частица. Пусть 5, †координа частицы в момент 1, г' =О, 1, 2, ..., и $, = л, В каж. дый момент времени 1, 1 =О, 1, 2, ..., выбирается направление движения независимо от всех предыдущих выборов, С вероятностью р частица сдвигается иа единицу вправо и с вероятностью д=1 — р — иа единицу влево ). Если частица попала в точку 0 пли л, то она там остается в любой последующий момент временп. При 1= 0 частица находилась в точке й. Требуется определить вероятность пь„=р(А„) события А, состоящего в том, что часпща когда-нибудь попадет в точку а.
Эту задачу можно интерпретировать как задачу о разорении игрока. Пусть в начале игры 1-й игрок имеет й рублей, а 2-й игрок — и — й рублей. Если при бросании монеты (нли кости) выпал герб (или «бь), то 1-й игрок получает 1 рубль (зто соответствует движению частицы вправо), а в про~ивнога случае отдает 1 рубль (движение частицы влево). Поглощению частицы на правом конце соответствует выигрыш первого игрока. За пространство злементарцых событий 11 в втой задаче можно принять бесконечные последовательности, составленные из результатов выборов направлений движения.
Предположим, что можно выбрать о-алгебру $ и задать на ней вероятность Р, удовлетворяющую условиям задачи (см. 2 4 гл. 3). Положим я «(т) ° = Р (ф, = и). Можно показать, что Р(вы>х =и ~ ~~ =й+ 1) = Яа+т, «(1)> (б 1) Й=1,...,а — 1. Рф,,=п1~ь,=-й — 1)=я, „(1), ') Этн условна можно ааннсать в ваде р11 «>-1+112>-0 ст)=., Рй+> — — 1 — 11йт=4. сь)=о=1 — т> нрн любых значениях 1=1, 2,, „и — 1, С>-ля>бса собь>тне, относянтеесв н лвнменню точна до момента ц 60 условя»ые ВИРОятпости независимость !Гл 3 Здесь вероятности и,+, „(!) и и,, „(!) являются вероятностями попадании в состояние и к момекту времени ! в схемах блуждания, начавшегося в моменг ! =О, из точек Й+1 и Й вЂ” 1 соответственно.
Эти ра. венстза (5.!) достаточно очевидны: если первым переходом был переход, например, из Й в Й+1, то вероятность за оставшееся время ! попасть нз Й+1 в и будет такая же, как если бы процесс начался из точки Й+ 1, Равенства (5,1) будут доказаны в З 1 гл. 9, пример 1. По формуле полной вероятности Р ($~, =и) Р (с, Й+ 1) Р ($м, ~ ! 3, = Й+ 1)+ +РД,=Й вЂ” 1)РЯ,, п(Ц,=Й вЂ” 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
