В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 12
Текст из файла (страница 12)
От этой зависимости можно избавиться, если потребовать, чтобы Р~~Я. р~<Л~Р:1 2. Тогда нз (3.14), используя неравенство рд«1,'4, получим Р~~' — „'" — р~<Л) =2Ф,~б ~7' ф~ = 2Ф, (АР' и) = 1 — 2и н для определения л имеем уравнение Ф,(2Ь)' а) ! — за — 2 —.
По таблице можно найти и„, для которых Ф,(л )=-:,". Тогда 2Л$'л и н й э —. Йа 4аз' Довольно часто нспользуззтся значения 2и, равные 0,05 н 0,01. Для этих значений имеем В задаче с иглой вовсе ие обязательно проводить реальные подбрасывания иглы. Можно этот процесс $41 Бесконечные последОВАтельнОсти истпятлппп уз моделировать; например, получить последовательност ь величин (тр„, х,), 1=1, 2, „и (см.
з б гл. !), задави(их положение иглы. Если зги величины можно быстро ввести в 3ВМ, то даже при больших и будет легко определена частота пересечений. При моделировании различных процессов используются последовательности «случайных» или «псевдослучайиых» чисел. Случайными числами называют числа, полученные при реализации последовательности независимых испытаний, в каждом из которых любая фиксированная цифра появляется с вероятностью 1/1О. Псевдослучайные последовательное~и вырабатываются при помогци какого-либо алгоритма и имеют структуру, близкую к случайным последовательностям.
$4. Бесконечные последовательности испытаний В ряде витсресных задач приходится рассматривать бескоиеч* иые последовательности испытаний. В б 5.1 гл, 2 введение беско- нечной последовательности испытаний потребовалось при рессм зт- ренпи задачи о случайном блуждании.
Введем бесконечную последовательность независимых испыта- ний с двумя исходзчи в каждом. Пусть й состоит вз бесконечных последовательностей ы=-(еы ез, ее, ..., е„, ...), ее=о: 1, и=-1, 2..., Рзссмотйим сзстечУ событии Ое, состоющУю из событий внДа А„е „(Ее)=(ы: (е„, е„...,, ее )ЕЕ~), где Еа — произвольное множество й-мерных векторов; пз < и, < .. < пе. В $« входят, например, множества Ат(О) =(ек ее=о)=((оезез ... е„...)), Аз (Ц (ы: ез=() =(()езез. е» ".)1 Аы(((О, О), (О, 1), (1, О)])= = (а: (еь ез)Е((О О) (О, 1). (1, О)Ц = =((Оое,... е„...). (О)ет...
е„...). ()оез .. ее.,.)). Нетрудно проверить, что йе является алгеброй событий. Определим на йе вероятзюсть следующим образом. Любое событие А„„„(Ее) можно представить в виде суммы не«пал,лт ... ле местных событий вида В (етез... е ъ=(ы: ее=-еь е,=-ее, ..., е„=ел», Вероятности зтнх событий В„(е,, е„..., з„,) определим зак же, как в схеме Бернулли сне исйытаииями определялнсь вероят« 74 ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНОСТИ ИСПЫТАНИЙ (гл. а носта злемектарных событий.
Например, положям Р(В»(0111)) = = цррр=ер»1 в общем случае р(В (а зз з )) ре»4»-е»ре»р»-з» р~лв 4' "ла, (4,1) Тогда Р(Ал л л (Еа))=~,1'(В„(е»еа...е»»л)), (4.2) где суммнрованне проводится по всем значениям вектора (е», ее, ..., е„„), удовлетворяющим условню (е,, ее, ..., ела )6 Еа. Одно н то же событие нз алгебры Яе можно запасать несколь- кими способзмн; можно формально увеличить чнсло координат, на которые накладываются огранвчення, э в множестве Ее вновь введенным координатам разрешить прнннмать любые значения. Например, собмтня .4,(1)= ((1, . .„...)) « З) А„,(И1.
О), «. 1))) = ((1О 'ъ ..), (11е,...)) совпадают, В связк с этим нужно провернть, что вероятность определяется формулой (4,2) однозначно. Для событий (4.3) имеем А» (1) = В (1), А„(((1, О), (1, Ц)) = Все (1, О) + В, (1, 1) и, следовательно, по формулам (4Л), (4.2) Р(А,(1))=р, Р(АЫ((1,0), (1,1)))=рд+р»=р. Таким образом, прн различной форме записи одного н того же событнн получнлн одинаковые значення вероягиостн, Аналогично прове яется общий случай. К окажем теперь, что для вероятности, определенной форму- ламп (4.РВ (4.2), выполняется аксиома А4.
Пусть Ст, Сз ~ (уе, ѻѻ=в» н л — нанбольшнй номер координаты, на которую накла- дываются ограничения в клкой-либо фнксированной форме зэпнсн событий Ст н С». Тогда Ст н Сз можно записать в ваде С»=А»з...л(Ел)» Се=Аж...л(Ел)» ЕлЕл =м и, следовательно, Р (Сз+Сз) Х Р (Вл (3)) ечллелл — Р(В (е))+ ч», 'Р(Вл(а))=Р(С»)+Р(С), вел„' еел„ е=(етвз ..а,).
Проверим свойство непрерывности вероятности Р, определенной на Ер. Еслн Аз 1Аз "З... зАл:з Аль» >... и П Ал— - м, то, л= ! нэчнная с некоторого л, имеем А~=а ~если бы А~Фаз прн ЗАДЯЧЫ 1С ГЛАВЕ 3 всех л, то событие П А„, определяемое непротнворечнвымп усло«=~ виями на счетное множество координат последовательностн еь не ьюгло бы быть невозможным) .
Таням образом, аксиома дб доказана, так как Р(Аь)=0 для всех л, начиная с некоторого. По теореме о продолжения вероятностн (см, 5 4 гл. Н определенную на Ве вероятность можно продолжить на мниимальную оалгебру $, порожденную $«. Таким образом, мы завершим построение вероятностного пространства. являющегося моделью бесконечной последовзтельностн нспытаннй. Вернемся теперь к задаче о случайном блуждании из п, 5.1 5 5 гл.
2. С последовательностью ы=(е»е»...)~ й движение частнша связано следуюшнм образом: еслн $,=1, то 5г+» —— =$1+2ег — 1, 0<1< и. События (5»=п) определяются условиями на конечное число координат н, следовательно, ($1= л) ~ф прн любом фиксированном 1. Так как Аа = () ($т =л) к (5»=л), 1 1, 2, ...,— монотонная последовательность событяй, то Аа цпп' и Вш Рй=п) является вероятностью события Аа. »»» Задавя к главе 3 $. Урна содержит 6 черных п г красных шаров. Наудачу извлекается шар, Вынутый шар возврашается обратно к добавляется с шаров того же цвета.
Найтн вероятности: Р (Аа), 6=1, 2, 3, Р(А») А»), Р(А»А»А,), Р(А, А»А«), где Аа — событие, состоящее в том. что в 6.м нспытаннн появился черный шар. 2. В урне 2 белых и 4 черных шара. 1(е» игрока поочередно извлекают шар (без возвращения). Выигрывает тот, кто первым вынет белий шар, Вычнсллть вероятность выигрыша для каждого участника.
3. Пусть в общей схеме последовательности испытавий (см. 5 1. (1.3), (1.4), (1,5)) и=3. )»оказать, что р (1,) — вероятность наступления похода 1, в перво»» нспытанвн; р(1») 1,\— условная вероятность нас»уплеинк 1» во втором вспытанни прн условнн, что в первом было 1»; р(1»(1А) — условная вероятность наступления 1» в третьем испытаннн прн условии, что в первом н втором были 1, н 1».
4. Что вероятнее, вынграть у равносильного протнвннка 3 партия нз 4 нлн 5 нз 3 (ничьа пе бывают)Р 5. Испьпанне заключается в бросаннн 3 нгральных костей. Найтя вероятность того, что прн (О нспьпаннях ровно в 4 испытаниях появнтся в точности по две «О», б. Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы цифра «5» появнлась хотя бы олин раз с верояыюстью, не меньшей 0,9» У. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы частота выпадення герба отлнчалась ог 112 не более чем ва Ь с вероятностью.
!гл з ИООледОВАтнлъиости испытл иии 70 яе меньшей 1 — 2««!2и=-0,0»ь Ь=О,!)» Использовать тэблнну случайных чисел для моделпрования бросании снмметрнчной моне~«ж Выпнсать реалнзацню ясобходнмой данны; найти час«му шлпадш«ня герба. 8. Нз отрезок )О, !О) яаудачу брошено 5 »очек. Найти ьсроя«- ность того, что две точки попадут в )О, 2), одна в )2, 3), ,аяе г )3, 10). й. В круг вписан квадрат.
Какова вероятность того, чго нз 10 точек. Орошеннмх наудачу в круг, четыре попадут в квадрат, тря †один сегмент н по однон в ос«авшнеся трн ссгмснтат 10. Лаос бросают правнльную монс гу по и раз каждын. Найгн вероятность»ого, что у пих выпадет одинаковое чнсло гарна. 11.
Найти вероятное»ь того, что в 2и нсяытаннях по схеме Бервуллп в первых я нспытаниях было т !спехов, а в последних я нспытаннях ! успехов н оден нз ннх наступал в нспытаннн с номером 2я; р-вероятность успеха а каждом нспытанпн. 12. Брошено 6 правнлы ых нгральных косген. Какова верокгность выпадения: !! хотя бы однон; 2! ровно од««о6; 3) ровно двух сднннп» Найти точные значения н сравнять с формулой Пуассона. 13. Какова вероятность того. что среди 200 человек бухе» не монсе четырех левшей, селя левши в среднем составляют 1«лу Нй Сколько пзюма должна в среднем содержать булочка, чтобы вероятвос~ь пметь хотя бы одну нзюмнну в булке была не менее О,ОЧУ 15. Верояпшсть попадания в цють прн кажнш выстреле равна 0,001.
Н«йгн верея«ность попаданяя в цель дв1мя п более выс»рсламн при алане в 5000 выстрелов !8. Найти прнблнжшпюе выражение того, что чнсло аыпадеио! «!» прн 12 000 бросания нгральиой костя заключено неагду !900 в 2!50. 17. В поселлс А 2500 жителей. Каждый иа них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город В, выбирая днн поездок по случанным мо»ивам незавнсимо от остзльных, Какой наименьшей внес«нтельностьк» должен обладат~ поезд. чтобы он переполнялся в среднем не чаше одного раза в 100 Аней? (Посад ндет раз в суткн.) гллвяе СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ $1, Определения и примеры В 4 2 гл. 3 было дано определение случайной вели- чины для дискретных вероятностных пространств.
Пусть теперь ((1, '(Г, Р) — произвольное вероятностное пространство. Случанной величиной $ назовем дейст- вительную функцию ~ь $(го), гоЕ(), такую, что при любом действнгельном х (гоге(ог) «х) Е$. (! .1» Если в (у вклгочаются все подмггоигества Р, то (1.1), очевидно, выполняется. Событие в (1.1) более коротко будем иногда записывать в виде 5<х, Так как ф является о-алгеброй, то из (1,1) следует, что (т > х) = Я < х) Е 3, (х, ~ $ < х,) ($ < х.)~Я < х,) Е $, (ф=х) д (хь" а «х+ — ) Еф. Таким образом, вероятности этих событий определены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
