В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 15
Текст из файла (страница 15)
РЯ«6В ) (42) Так как бесконечные полуннтервалы являются борелевскнмн множествами, то (4.1) следует из (4.2), если положить Ва--( — со, х„), в=1, 2, ..., п. Покажем, что при п=2 нз (4.1) следует (4.2) для любых полу- интервалов: Вь — — !аь Ьа), й=-1, 2. Те о рема 4.!. Если при любых х, у Р«. ч (х у) = Г«(х) Ри (у) (4.З) гпо при,гюбых аа < ЬА, й=1, 2, Р(о ~-ь<Ь« а,'--т) <Ь)= =Р (а, . $ < Ь,) Р (Ь ~» т) < Ь,).
(4.4) «! Ч|«тигель, ио|келав|она опус|нть определение борелевского множества, приведенное в гл. |, может и в д«льаея|ием вмражеиии «бор«.«евское множество Въ заменить выражениими «множество П, длв которого определена веров|ность событии 1~8т. Ф 4) независимость слтчхяных величин 93 Доказательство. Из формул (3.6) н (4.3) следует, что Р (а, я., $ < Ь„а, ~ т) < Ь,) = = Ре(а,) Р„(Ь,)+Р;(а,) Р„(Ь,)— — Р; (а,) Р„(Ь,) — Р, (а,) Рч (Ь,) = = (Рч (Ьч) — Рч (а.)) (Рв (Ь ) — Рт (а )). Отсюда получаем (4.4), так как Р(ах < $ < Ь,) -Р,(Ь1) — Рэ (а,), Р (а, < 9 < Ь,) = Р„(Ь,) — Р„(а,).
Теорема доказана. Так как борелевскне множества порождаются полунигерваламн, то из (4.4) следует (4.2) прн л =2, Доказательство этого утверждения не будет приведено. Условие независимости (4.4) удобно использовать для установления условий независимости в дискретном и абсолютно непрерывном случаях. Теорема 4,2. Пусть распределение вели«ин 9, т) задается формулой ХР; =) с г=! РЯ=хо ч)=у,)=ро~~й, Слу«айные величины с, т) иезависилгы тогда и только тогда, когда лри любых г', ) РП=Р Р 1 (4.6) где Рб=хг)=р-=Хр г, Р(т)=уг)=ри= Ьгр ~=3 г=~ ' Д о к а з а т е л ь с т в о.
Н е о б х о д и и о с т ь. Пусть для величин $, и выполняется условие (4.4). Так как множество значений пары случайных величин (хо уг) по определению ие имеет предельных точек, то каждую фиксированную точку (хо ут) можно заключить в пРЯмоУгольник ((х, У): аг < х < а,', Ь, < У< Ь';) такой, что х;~~ао аД, у Е(Ьт, Ь;.), а другие значения случайных величин 9, т) ие входят в зти отрезки.
глкчлнныа величины ~гл. а Тогда Р(а < г < а;, Ь < т) < Ь;) = Р Я =ко и =Ух) = рц, Р(а;<5<а,')-рь, Р(Ь< )<Ь|)=р-. Отсюда и из (4.4) следует (4.5). Достаточность. Пустьвыполнеиоусловие(4.5). Для произвольных полуиитервалов ~а„Ь,), (а„Ь,) нужно доказать (4,4), В ~а„Ь,) попадут некоторые числа из множества (хо км ..., х, ». Обозначим Х ((о („..., г,) =(»: к, б ~а;, Ьг)». В полуинтервал (а„Ь,) попадут числа из множества (У~» Уа ° ° ° * У~» ...».
Г»вложим (»1 !. И О' ууЕ~а, Ь,Ц Используя (4,5), получим Р(аг» $<5„а 'п<Ь,»= 2, "~ р г = ~чР Х М р. ° (4 6) »г е х ы у чл х! а у Так как ~~.", РьР.~ = ~ ~~~~ ~Р»с) ~;.У,'Р ~) Р(аз<3<5,)= чРРь, гех (4.8) Р (а, т» < Ь,) = ~ч», 'Ра, !бг то из (4.6», (4.7), (4.6) следует (4.4). Теорема доказана, В примере! из В 3 случайные величины $, и незави- симы, так как равенства Р(5=г, ч=») РЙ=()Р(т» !) выполняются при любых (, ». Величины 5, т» в при- мере 2 того же параграфа зависимы, так как 0 Р 6=1, Ч= — (»ФР($»)Р(т» — ») Если для дискретных величин заданы одномерные распределения н еще известно, что величины незавн- $4! НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 95 симы, то по формулам (4.5) можно найти совместное распределение.
Теорема 4,3. Пусть рь ч (х, у) — ььлотность рас. пределения случайных величин $, 41. Случайные вели« чины $, Ч независилич тогда и только тогда, когда во всех точках непрерывности функций рь ч(х, у), рь (х), р„(у) имеем Рь (х у) Рь(х) рч(у). (4.9) Доказательство. Необходимость. Пусть выполнено условие (4.4). Выражая левую и правую части (4.4) через плотности распределения вероятно- стей, пРи любом В=((х, У): аьч„х<(ь„аь~У< оь) получим ь, ~ ~ рь „(х, у) йхйу = ~ рь (х) 4(х ~ р„(у) йу. (4,10) в и м Так как ь, ь, ~ре(х)д ~р (у)йу ~~р'(х)рч(у)4 (у, а, аь И то из (4.10) найдем К(рк ч(х у) — рь(х)» (у)24( ду=0..
(4.11) и Пусть (х, у), х, у — точки непрерывности функций рь„(х, у), р;(х), р„[у). Нужно показать, что в точке (х, у) имеет место (4.9). Пусть это ие так. Тогда в силу непрерывности подынтегральной функции в (4,11) най- дется окрестность точки (х, у), в которой функция отлична от нуля и сохраняет знак. Выбрав прямо- угольник В, целиком лежащий внутри атой окрестно- сти, получим противоречие с (4.11). Достаточность.
Пусть выполнено (4.9). Тогда прн любом В верно (4.11) и, следовательно, имеет место (4,10) и (4.4). Теорема доказана, Условия независимости двух случайных величин дискретного и непрерывного типа ((4.5) и (4.10)) есте- ственно переносятся н на случай нескольких величин. Так, например, случайные величины $и $„..., $„ случ»йныв Величины )гл. а абсолютно непрерывного типа независимы тогда н только тогда, когда рыа,...» (х„,х„) ры(х,) ... р» (х,) (4.!2) в точках непрерывности рассматриваемых функций. Положим (»- а»)а » ! »»' . (х„х„".,х.)=Я = ~ )' Ба* Так как ры,! (х„..., х„) > О и °" ~ры...т„(. ° '.)3' " а(х.- (4 И) 4 !'- )» Ф ! аб =Ц ~ —,= — е» дх»=1, '»~зле» где (;)= ~~~~ ау(х; — а,)(хт-а,) — положительно опре- Г',! 3 деленная квадратичная форма, ) А ! — определитель матрины А =~а;,!!.
Плотность распределения (4.13) является частйым случаем (4.14). Случай л=2 рассмотрен в приложении 2. то функция ра, ! (х„..., х„) является плотностью распределения. Если (4.13) проинтегрировать по всем переменным от — о до + оо, кроме х,, то получится плотность распределения $;: (х аб» ! аа) ра (х,) ==е т' 2ло» Таким образом, случайные величины с плотностью распределения (4.13) независимы и каждая нз иих имеет иормалыюе распределение. Многомерным нормальным распределением называется распределение с плотностью р ! а! —,о!» °" "„) $«! ивз»висимссть сл»ач»иных величии 97 Условие (4.5) обобщается на случай и дискретных величин $„$„..., 5„следующим образом. Случайные величины с законом распределения (3.2) независимы тогда и только тогда, когда Рйа=х» „„„5е=л»„)= =РД»=х»,) ...
РД„=х»„) (4,15) при 'и"бь!х х»~~ ° ° ° «л»« Рассмотрим пример, связанный со схемой Бернулли. Ц схеме Бернулли с и испытаниями злементариымн событиямн являются последовательности вида (3.2.3). Пусть 5»= 1, й = 1, 2, ..., и, если в последователь- ности (3.2.3) на й-и месте был успех (У) и 5»=О в противном случае. Событие Да=е„ 5,=»„ ... $„=ее), где е» принимают значение О илн 1, однозначно определяет злементарное событие и, следовательно, Р(З«=Е„$»=Е„..., З„=З„) = Ре, д-а, а а-а е«4!-е так как р~»д~ ~»=р прн г. =1, ра»а)! е»=4 нрн з„=О. Заметим, что ! Х р аа) ' =Р+а)=1. е ия Учитывая зто замечание из (4.16), легко получить одномерные распределения. Например, Р ($! = е!) = ! ! ! ~ ...
~~~„РДа=е„фа=в„..., $„=е,) = « ! — ра,)а-е, ~~~' ~~«' реа)а-а, »ар!-«е «, а-е е.=о е е а Аналогично находим РД е„) =р'»д' '», й=.1, 2, „п. (4.17) Используя (4.16), (4.17) для проверки (4.15), получим, что величины $„$„„., $„независимы, В 3 2 гл. 3 В. и. Чае«а««в случлнныв величины была введена случайная величина р„, равная числу успехов в о испытаниях.
Легко проверить, что р, $ +$,+ ° "+ 5„, (ф. (5) Это представлекие в дальнейшем будет часто использоваться. й 5. Функции от случайных величин Пусть (ьл,(Г, Р) †произвольн вероятностное прострайство и $= $(ю), со ~ Й, †некотор случайная величина. Часто приходится рассматривать фуикцик от случайных величин.
Суперпозиция действительной функции $, заданной на Й, и функции ср(л), заданной на действительной прямой, является функцией = ф(ье(со))=т)(со), заДаинай на ьл. ДлЯ дискРЕтных вероятностных пространств функция т) является случайной величиной, так как никаких ограничений иа функцию т((со) не налагается. Для произвольных вероятностных пространств требуется, чтобы при любом х (.<).ь ' (5Л) Прн произвольной функции ф условие (б.!) может оказаться не выполненным. Однако можно показать, что (б.!) имеет место, если при любом борелевском множестве В множество (»: 1р (») с В) является борелевским множеством на числовой прямой [т.
е. иол. ный прообраз ф-'(В) множества В при отображении, осуп!ествляемом функцией ф, калкется борелеаскнм множеством). Таким свойством сбладают, например, непрерывные функции, функции с конечным числом точек разрыва. Таким образом, в практически важных случаях условие (й.!) оказывается выполненным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
