Главная » Просмотр файлов » В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей

В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 18

Файл №1115264 В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей.pdf) 18 страницаВ.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264) страница 182019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

2 (1.14) 4. Биномиалоное распределение. По формулам (1.8) и (3.2.6) 'получим л М$ ~а тСл!раа (1 р)л ла Нетрудно проверить, что тС',л =ИС"„!-!!. Тогда М$ можно записать так: * М$ =яр ч". С„-,арф-1(1 р)л-л — нр(р ( (1 р)т а-1 л4 1 Таким образом, М$ ир, (1.13) 5. Лроссонгсское раснределение. По формулам (1.8) и (4,2.7) находим М$=- ~' и! — е А=Ае " ~ — =Хе-А «А, !т (и! — 1)! Следовательно, М» =).. $ 2. Свойства математического ожидании 4'.

Для любых случайных еелиеин $1 и $ М (»л1+»ла) Мт1+Мла Приведем основные свойства математического ожидании. Т е о р е и а 2.1. 1'. Если С постоянная, то МС=С. 2'. Если С иостоянная, то М(С$) СМ$. 3'. Для любых ееличин с 114 числОВые хАРАктеонстикислучьйных Величин 1гл. $ Если существуют какие-нибудь два из участвуюи»их в равенстве мшнематических ожиданий, то существует п1 ретье. 5'. Если случайные величины 3, и $, независимы, то М$1Е,=М$, М$,. Из существования любых двух мал~ематйческих ожиданий следует существооание третьего. Доказательство. Свойства 1', 2', 3', 4' следуют нз соответствующих свойств интеграла нлн ряда. Докажем, например, свойство 4' для величин, определенных в абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (см.

5 5 гл, 1). Пусть $н 5, заданы на вероя1ностном пространстве ((е, $, Р). Тогда сумма $,+$, также является случайной величиной, определенной на том же вероятностном пространстве, н по формуле (1.5) М($,+$,) )...) ~$,(ин,,„и„)+ + ь, (и„, . „и„)3 и (и„..., и„) с(и,... с(и, = = $... ~ $, (и„..., и„» и (и„..., и„) аи,...аи„+ +~... ~ е, (и, ..., и„) п (ио ..., и„) би, ... йи„=М5,+Мд,. Здесь мы воспользовалнсь тем, что интеграл от суммы двух функинй равен сумме интегралов. Докажем свойство 5'.

Пусть, например, $, н $,— абсолютно непрерывные величины н рпы(и, о) — нх плотность распределения. Так как $, н $, независимы, то рм1,(и, о)=ра(и) рм(о). По формуле (1,7) с н=2 н у(х„х,)=х,х, получим МЕ,Е, = ~ ~ Р1, ( ) Р1. ( ) д Ь = Ю М ) ир1,(и)би ~ ора,(о)бо=М$, М$,, сзоиствх мхтзмлтичзского ожидания Из свойств 2' и 4' по индукции следует, что М (СД, +... +С,й„) =С,Мй, +... +С„Мй„. (2.Ц Приведенные выше свойства помогают при вычислении математических ожиданий. Рассмотрим два примера.

Пример 1, Пусть $ имеет нормальное распределение с параметрами (а, о). В З 1 было показано, что М$ а. Найдем математическое ожидание величины «=А$+В, Используя свойства !', 2', 4', получим Мч = АМ$+ В= Аа+ В. (2.2) В 2 5 гл. 4 мы доказали, что величина т) имеет нормальное распределение с параметрами (а,о,), где а, = Аа+В.

Это значение естественно совйадает с (2.2), Пример 2, Пусть р„— число успехов в и испытаниях Бернулли с вероятностью р успеха в отдельном испытании. Эта величина имеет биномиальное распределение, В $1 было показано, что случайная величина с биномиальным распределением имеет математическое ожидание, равное аР, Покажем, как этот результат можно получить при помощи представления р„в виде (4.4.18): где $,— независимые одинаково расиределеиные случайные величины с р($з= !)=Р, рйз=О)= ! — Р По формуле (2Л) Мр„=мй,+М1,+...

+М~„, Слагаемые легко вычисляются по формуле (1.8): М$». 1 р-1-0 (1 — Р) Р, й 1,2, ° ° .,и. Таким образом, Мр„пр. В качестве еще одного примера исяользовання свойств математического ожидания докажем следуюшхю теорему. цв числОВые хАРАктеРистикислучАйных Величин (Гл, е Те о р ем а 2,2.

Если А,, А„..., А„— произвольные собьвлил, Л1о Р (А1+ ° ° ° + Аи) = Х Р (АА) 4=1 — Х Р (АА,АА,) + ° ( — 1)" ' Р (А ° ° ° А„) 1 < 4, < Аи < 1 и = ~~'„, ( — 1)и+1 ~~ Р(АААА...А» ). и=1 1<и<4 <.„<4 "и Доказательство, е(з равенства А, +А,+ ° ., +А„=А,А,...А„ следуе~, что (А+А+" +Аи) =1 — (А,А, Аи). (2.З) Введем случайные величины т)4, л=1,2, ..., а, положив 1, если в~А„ ( О, если ее А„. Очевидно, что случайная величина Ц (1 — т(4) принимает два значения: значение 1, если все т)А=О, и виачение О в остальных случаях. Событие (1)1 =т), = =... = Т(„=О) = А1А,,Аи. Следовательно, аа П (1-4)4) Р(ААА,...А„), (2.4) Аи1 Так как и Н (1 т)4) и =1- Х т)4+ .4!1 ЧА,Т)4,—" ( — 1)" т) т)4* "Т). 4=1 !<4,<41<и днспагсия то » МЦ (1 Ча)— А $ \ —,Я МЧ»+,~~ МЧ» Ч» —...( — 1)" МЧ,...»1„.

~<»,к*,с (2,5) Случайная величина Ч„Ч„,,Ч„может быть определена следующим образом: 1, если м Е А»,А„,... А», »1»,Ч»,. - .Ч»,„= ( О, если мЕА„А„...А», Следовательно, 1»Ч»а'''Ч», =Р(А»А», ° А» ). (2.6) Утверждение теоремы следует нз формул (2 3), (2.4), (2.5), (2.6). Приведенная в теореме формула обобщает формулу (1.5.4). 3 3. Дисперсия Дисперсией 0$ случайной величины $ называется число (У$ = И й — М$)', (3.1) если математическое ожидание в правой части (3.1) существует. Дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания. Величину )~ 0~ называют средним квадратическим отклонением.

Если воспользоваться свбйствами математического ожидания, то правую часть (3,1) можно привести к следующему виду: М а — Мй)* = М (5 — 25М":+ (Мй)») = МР— 2Иа. Мй+(мР. ! !в числоВые хАРАктеРистикислучАйных Величин !гл 3 Отсюда и из (3.1) следует, что 0$ = М$! — (Мс)!. Если случайная величина $ абсолютно непрерывна, то, полагая в формуле (1.!) п=1 и 3(х!)=(х! — Мч)т, получим 03= ~( — МР р,()й.

(З.З) Для дискретной величины $ нз (1.6) найдем % Ж = ле' (хл — М$)'Р(а=хе) (3.4) Ф ! где ч~„', Р(С=хл)=1. А 1 Приведем свойства дисперсии, Теорема 3.1. 1'. Для любой случайной величины $ имеем 0$ ьО. 2', Если с носи!оянная, то Рс=О. 3'. Если с постоянная, то 0(с$)=е!0$, 4'. Если случайные величины $! и $! независимы, то Р Д, + $!) = 0$, + 0$,. (3,5) Доказательство. Свойства 1', 2', 3' следуют непосредственно из определения и свойств математи- ческого ожидания. Докажем свойство 4'.

По опреде- лению (3.1) Ой +5)=мИ +$!)™($ +И'= = м ((3, — мй,)+ (3,— м3,))! = =м(Д,— М3,) +(3,— м3,) + (3,— мй,)(йз — М3,)1. (3.6) Отсюда, так как случайные величины $! — М$„с! — Мй! независимы и м($! — м$ )(4,— м$,) =м($! — м$ ) мя! — м$!) = =(м3, м3,)(м~, м~,)=О,Ь следует, что Оа,+Р=МД,— Мй,)*+МД,— Мй,)!=03,+0|,.

диспвгсия Вычислим дисперсии некоторых случайных величии. 1, Нормальное распределение. По формулам (4.2.3) и (3.3) в атом случае имеем М 1х еи 0$= = ( (х — а)*е '" дх, р2лс 1 Отсюда, полагая х= ау+ а, получим Ю г» Ф~ лв ! г 0$==о'= ~ у'е ' бр=о'=~ — ~ ре('(е ь ~(= л1 щ Е а р з )гБ,) Первое слагаемое в квадратных скобках равно О, а второе равно 1. Таким образом, Ой=о', В я 5 гл. 4 было показано, что линейная функння т)=Ак+В от нормально распределенной случайной величины $ имеет нормальное распределение. В 5 2 был указан способ вычисления Мп, ие связанный с доказательством нормальности Ч (см, формулу (2.2)).

Найдем теперь Оп. Нетрудно показать, что случайная величина, являюшаяся постоянной, независима с л~обой случайной величиной. Следовательно, прн вычислении Оп=0(А$+В) можно воспользоваться формулой (3.5). Тогда От( = 0 (А $+ В) = О (А$) + ОВ = АЩ = А'о', 2. Равномерное распределение. По формулам (4.2.$), (3.3) н (1.13) 05 = ( ~х — — ) рт(х) Их = — „( ~х — ) Фх. Отсюда (Ь вЂ” е)" о~=: 12 !эо числовые хч хкгсгнстнкисл: чгиных величин!гл; 3. Лрассоисеское распределение. Найдем сначала М1$ ($ — 1)!. По формуле (1,6) с и 1 и а(х) =х(х — !), воспользовавшись (4.2.7), получим Ю Ю Л~ Ла э М$($ — 1)= ~ гл(гл — !) — е-ь=Л1~Ч',— е-"=-Л'.

л ю и! (еч — 3)! ~и О ы т Так как М$($ — 1)=М$' — М$ и М$=Л, то М$'=Ль+Л. Подставляя это выражение в (3.2), получим о$=л. 4. Биночиалгное распределение. Так же, как в примере 2 нз 5 2, воспользуемся тем, что число успехов в схеме Вернулли имеет бнномиальное распределение н представимо в виде суммы (4.4.!8) с независимыми слагаемыми, Тогда ор,,=о$,+о$.,+. „+о$„ и О$,=-М$ь' — (М$„)'=р — р'=р(1 — р). Таким образок, Ор„ =ара. В формулировку теоремы Муавра †Лапла (4 3 гл. 3) входила линейная функция (и„— лр)/)~лра.

Теперь мы можем эту величину задать в таком виде: р„— мр„)9' Ор,. При любой случайной величине $ для $-ы$ ч== рой имеюг место равенства мч-(), оч= 1, Прн вычислении Мр„н Ор„мы воспользовались представлением (4.4.18), В ряде задач изучаемую слу- чайную величину удается представить в виде суммы более простых зависимых величин. Пусть, например, ч.-$~+$.+". +$„, (3.3) где случайные величины $„, $„..., $„зависимы и каж.

дая из инх принимает значейии 0 и 1. В этом случае з л~ кОВАРиАция, коэФФициент коРРвляции 1я можно воспользоваться формулой мч„= мй, -~- мй, +... + Мй„. Однако 0ч„уже не равна сумме дисперсий 0$А. Для вычисления 0Ч, можно использовать формулу (3.2). Так как Ц(ы)= $л(ы), ы чР (действительно $л(ы)=1 или $„(гч)=0), то л л ч' Х В+ Х 1л~ =- Х $А+ Х $А»з~ = ч. + Х ы~ Х! АМ ллл! ллл! Таким образом, 0Ч„=МЧ» — (МЧ„)~= ~, 'М$Д,-)-Мׄ— (МЧ»)».

Суммой вида (3.8) является, например, случайная величина в задаче 7, стр. !28. й 4. Ковариация. Коэффициент корреляции При доказательстве формулы (3.5) нам потребова- лось вычислить М(($, — М$,) ($» — М$,)1. Это число называется ковариацией случаййых величии $„$» н обозначается сот($„с,). Таким образом, сот а$ сл) ™1йт™31) й2 ми) (4 1) Отсюда, используя свойства математического ожида. ния, легко получить следующую формулу; сот ДИ $,) =-М$Д,— М$, М$,. (4.2) Очевидно, что сочД, $)=05, сот(5„$,)=сот(»л, $„). Из (3.6) и (4.1) следует формула для дисперсии суммы двух произвольных (ие обязательно зависимых) слу- чайных величин: 0(~ +$л) О»,+О»,+2соч($м $,).

(4,3) Т е о р е м а 4.1. Если для случайных величии $„$„...,5„суи(естауют соРЯ,,$г) =аоь1,1=1,...,п, «ю лди любых Яослюллнмх со см ° ° °, сл измам л 0(ЕДА+сД,+... +сДл)= Х оис;с~, (4,4) ь;-1 числовые хлалктегнстикислччлиных ввличин(гл. а До к а з а т е л ь с т н о. Положим т). =-сА~+сЛс+ ° "+с $~ Нетрудно проверить, что л 1)„— МЧ„= 2,", с(($,— М5с) соч (5~ $1) соч (4с $ ), со р (х соч($ь С1)сач(4ь 4) ...

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
3,18 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее