В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 18
Текст из файла (страница 18)
2 (1.14) 4. Биномиалоное распределение. По формулам (1.8) и (3.2.6) 'получим л М$ ~а тСл!раа (1 р)л ла Нетрудно проверить, что тС',л =ИС"„!-!!. Тогда М$ можно записать так: * М$ =яр ч". С„-,арф-1(1 р)л-л — нр(р ( (1 р)т а-1 л4 1 Таким образом, М$ ир, (1.13) 5. Лроссонгсское раснределение. По формулам (1.8) и (4,2.7) находим М$=- ~' и! — е А=Ае " ~ — =Хе-А «А, !т (и! — 1)! Следовательно, М» =).. $ 2. Свойства математического ожидании 4'.
Для любых случайных еелиеин $1 и $ М (»л1+»ла) Мт1+Мла Приведем основные свойства математического ожидании. Т е о р е и а 2.1. 1'. Если С постоянная, то МС=С. 2'. Если С иостоянная, то М(С$) СМ$. 3'. Для любых ееличин с 114 числОВые хАРАктеонстикислучьйных Величин 1гл. $ Если существуют какие-нибудь два из участвуюи»их в равенстве мшнематических ожиданий, то существует п1 ретье. 5'. Если случайные величины 3, и $, независимы, то М$1Е,=М$, М$,. Из существования любых двух мал~ематйческих ожиданий следует существооание третьего. Доказательство. Свойства 1', 2', 3', 4' следуют нз соответствующих свойств интеграла нлн ряда. Докажем, например, свойство 4' для величин, определенных в абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (см.
5 5 гл, 1). Пусть $н 5, заданы на вероя1ностном пространстве ((е, $, Р). Тогда сумма $,+$, также является случайной величиной, определенной на том же вероятностном пространстве, н по формуле (1.5) М($,+$,) )...) ~$,(ин,,„и„)+ + ь, (и„, . „и„)3 и (и„..., и„) с(и,... с(и, = = $... ~ $, (и„..., и„» и (и„..., и„) аи,...аи„+ +~... ~ е, (и, ..., и„) п (ио ..., и„) би, ... йи„=М5,+Мд,. Здесь мы воспользовалнсь тем, что интеграл от суммы двух функинй равен сумме интегралов. Докажем свойство 5'.
Пусть, например, $, н $,— абсолютно непрерывные величины н рпы(и, о) — нх плотность распределения. Так как $, н $, независимы, то рм1,(и, о)=ра(и) рм(о). По формуле (1,7) с н=2 н у(х„х,)=х,х, получим МЕ,Е, = ~ ~ Р1, ( ) Р1. ( ) д Ь = Ю М ) ир1,(и)би ~ ора,(о)бо=М$, М$,, сзоиствх мхтзмлтичзского ожидания Из свойств 2' и 4' по индукции следует, что М (СД, +... +С,й„) =С,Мй, +... +С„Мй„. (2.Ц Приведенные выше свойства помогают при вычислении математических ожиданий. Рассмотрим два примера.
Пример 1, Пусть $ имеет нормальное распределение с параметрами (а, о). В З 1 было показано, что М$ а. Найдем математическое ожидание величины «=А$+В, Используя свойства !', 2', 4', получим Мч = АМ$+ В= Аа+ В. (2.2) В 2 5 гл. 4 мы доказали, что величина т) имеет нормальное распределение с параметрами (а,о,), где а, = Аа+В.
Это значение естественно совйадает с (2.2), Пример 2, Пусть р„— число успехов в и испытаниях Бернулли с вероятностью р успеха в отдельном испытании. Эта величина имеет биномиальное распределение, В $1 было показано, что случайная величина с биномиальным распределением имеет математическое ожидание, равное аР, Покажем, как этот результат можно получить при помощи представления р„в виде (4.4.18): где $,— независимые одинаково расиределеиные случайные величины с р($з= !)=Р, рйз=О)= ! — Р По формуле (2Л) Мр„=мй,+М1,+...
+М~„, Слагаемые легко вычисляются по формуле (1.8): М$». 1 р-1-0 (1 — Р) Р, й 1,2, ° ° .,и. Таким образом, Мр„пр. В качестве еще одного примера исяользовання свойств математического ожидания докажем следуюшхю теорему. цв числОВые хАРАктеРистикислучАйных Величин (Гл, е Те о р ем а 2,2.
Если А,, А„..., А„— произвольные собьвлил, Л1о Р (А1+ ° ° ° + Аи) = Х Р (АА) 4=1 — Х Р (АА,АА,) + ° ( — 1)" ' Р (А ° ° ° А„) 1 < 4, < Аи < 1 и = ~~'„, ( — 1)и+1 ~~ Р(АААА...А» ). и=1 1<и<4 <.„<4 "и Доказательство, е(з равенства А, +А,+ ° ., +А„=А,А,...А„ следуе~, что (А+А+" +Аи) =1 — (А,А, Аи). (2.З) Введем случайные величины т)4, л=1,2, ..., а, положив 1, если в~А„ ( О, если ее А„. Очевидно, что случайная величина Ц (1 — т(4) принимает два значения: значение 1, если все т)А=О, и виачение О в остальных случаях. Событие (1)1 =т), = =... = Т(„=О) = А1А,,Аи. Следовательно, аа П (1-4)4) Р(ААА,...А„), (2.4) Аи1 Так как и Н (1 т)4) и =1- Х т)4+ .4!1 ЧА,Т)4,—" ( — 1)" т) т)4* "Т). 4=1 !<4,<41<и днспагсия то » МЦ (1 Ча)— А $ \ —,Я МЧ»+,~~ МЧ» Ч» —...( — 1)" МЧ,...»1„.
~<»,к*,с (2,5) Случайная величина Ч„Ч„,,Ч„может быть определена следующим образом: 1, если м Е А»,А„,... А», »1»,Ч»,. - .Ч»,„= ( О, если мЕА„А„...А», Следовательно, 1»Ч»а'''Ч», =Р(А»А», ° А» ). (2.6) Утверждение теоремы следует нз формул (2 3), (2.4), (2.5), (2.6). Приведенная в теореме формула обобщает формулу (1.5.4). 3 3. Дисперсия Дисперсией 0$ случайной величины $ называется число (У$ = И й — М$)', (3.1) если математическое ожидание в правой части (3.1) существует. Дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания. Величину )~ 0~ называют средним квадратическим отклонением.
Если воспользоваться свбйствами математического ожидания, то правую часть (3,1) можно привести к следующему виду: М а — Мй)* = М (5 — 25М":+ (Мй)») = МР— 2Иа. Мй+(мР. ! !в числоВые хАРАктеРистикислучАйных Величин !гл 3 Отсюда и из (3.1) следует, что 0$ = М$! — (Мс)!. Если случайная величина $ абсолютно непрерывна, то, полагая в формуле (1.!) п=1 и 3(х!)=(х! — Мч)т, получим 03= ~( — МР р,()й.
(З.З) Для дискретной величины $ нз (1.6) найдем % Ж = ле' (хл — М$)'Р(а=хе) (3.4) Ф ! где ч~„', Р(С=хл)=1. А 1 Приведем свойства дисперсии, Теорема 3.1. 1'. Для любой случайной величины $ имеем 0$ ьО. 2', Если с носи!оянная, то Рс=О. 3'. Если с постоянная, то 0(с$)=е!0$, 4'. Если случайные величины $! и $! независимы, то Р Д, + $!) = 0$, + 0$,. (3,5) Доказательство. Свойства 1', 2', 3' следуют непосредственно из определения и свойств математи- ческого ожидания. Докажем свойство 4'.
По опреде- лению (3.1) Ой +5)=мИ +$!)™($ +И'= = м ((3, — мй,)+ (3,— м3,))! = =м(Д,— М3,) +(3,— м3,) + (3,— мй,)(йз — М3,)1. (3.6) Отсюда, так как случайные величины $! — М$„с! — Мй! независимы и м($! — м$ )(4,— м$,) =м($! — м$ ) мя! — м$!) = =(м3, м3,)(м~, м~,)=О,Ь следует, что Оа,+Р=МД,— Мй,)*+МД,— Мй,)!=03,+0|,.
диспвгсия Вычислим дисперсии некоторых случайных величии. 1, Нормальное распределение. По формулам (4.2.3) и (3.3) в атом случае имеем М 1х еи 0$= = ( (х — а)*е '" дх, р2лс 1 Отсюда, полагая х= ау+ а, получим Ю г» Ф~ лв ! г 0$==о'= ~ у'е ' бр=о'=~ — ~ ре('(е ь ~(= л1 щ Е а р з )гБ,) Первое слагаемое в квадратных скобках равно О, а второе равно 1. Таким образом, Ой=о', В я 5 гл. 4 было показано, что линейная функння т)=Ак+В от нормально распределенной случайной величины $ имеет нормальное распределение. В 5 2 был указан способ вычисления Мп, ие связанный с доказательством нормальности Ч (см, формулу (2.2)).
Найдем теперь Оп. Нетрудно показать, что случайная величина, являюшаяся постоянной, независима с л~обой случайной величиной. Следовательно, прн вычислении Оп=0(А$+В) можно воспользоваться формулой (3.5). Тогда От( = 0 (А $+ В) = О (А$) + ОВ = АЩ = А'о', 2. Равномерное распределение. По формулам (4.2.$), (3.3) н (1.13) 05 = ( ~х — — ) рт(х) Их = — „( ~х — ) Фх. Отсюда (Ь вЂ” е)" о~=: 12 !эо числовые хч хкгсгнстнкисл: чгиных величин!гл; 3. Лрассоисеское распределение. Найдем сначала М1$ ($ — 1)!. По формуле (1,6) с и 1 и а(х) =х(х — !), воспользовавшись (4.2.7), получим Ю Ю Л~ Ла э М$($ — 1)= ~ гл(гл — !) — е-ь=Л1~Ч',— е-"=-Л'.
л ю и! (еч — 3)! ~и О ы т Так как М$($ — 1)=М$' — М$ и М$=Л, то М$'=Ль+Л. Подставляя это выражение в (3.2), получим о$=л. 4. Биночиалгное распределение. Так же, как в примере 2 нз 5 2, воспользуемся тем, что число успехов в схеме Вернулли имеет бнномиальное распределение н представимо в виде суммы (4.4.!8) с независимыми слагаемыми, Тогда ор,,=о$,+о$.,+. „+о$„ и О$,=-М$ь' — (М$„)'=р — р'=р(1 — р). Таким образок, Ор„ =ара. В формулировку теоремы Муавра †Лапла (4 3 гл. 3) входила линейная функция (и„— лр)/)~лра.
Теперь мы можем эту величину задать в таком виде: р„— мр„)9' Ор,. При любой случайной величине $ для $-ы$ ч== рой имеюг место равенства мч-(), оч= 1, Прн вычислении Мр„н Ор„мы воспользовались представлением (4.4.18), В ряде задач изучаемую слу- чайную величину удается представить в виде суммы более простых зависимых величин. Пусть, например, ч.-$~+$.+". +$„, (3.3) где случайные величины $„, $„..., $„зависимы и каж.
дая из инх принимает значейии 0 и 1. В этом случае з л~ кОВАРиАция, коэФФициент коРРвляции 1я можно воспользоваться формулой мч„= мй, -~- мй, +... + Мй„. Однако 0ч„уже не равна сумме дисперсий 0$А. Для вычисления 0Ч, можно использовать формулу (3.2). Так как Ц(ы)= $л(ы), ы чР (действительно $л(ы)=1 или $„(гч)=0), то л л ч' Х В+ Х 1л~ =- Х $А+ Х $А»з~ = ч. + Х ы~ Х! АМ ллл! ллл! Таким образом, 0Ч„=МЧ» — (МЧ„)~= ~, 'М$Д,-)-Мׄ— (МЧ»)».
Суммой вида (3.8) является, например, случайная величина в задаче 7, стр. !28. й 4. Ковариация. Коэффициент корреляции При доказательстве формулы (3.5) нам потребова- лось вычислить М(($, — М$,) ($» — М$,)1. Это число называется ковариацией случаййых величии $„$» н обозначается сот($„с,). Таким образом, сот а$ сл) ™1йт™31) й2 ми) (4 1) Отсюда, используя свойства математического ожида. ния, легко получить следующую формулу; сот ДИ $,) =-М$Д,— М$, М$,. (4.2) Очевидно, что сочД, $)=05, сот(5„$,)=сот(»л, $„). Из (3.6) и (4.1) следует формула для дисперсии суммы двух произвольных (ие обязательно зависимых) слу- чайных величин: 0(~ +$л) О»,+О»,+2соч($м $,).
(4,3) Т е о р е м а 4.1. Если для случайных величии $„$„...,5„суи(естауют соРЯ,,$г) =аоь1,1=1,...,п, «ю лди любых Яослюллнмх со см ° ° °, сл измам л 0(ЕДА+сД,+... +сДл)= Х оис;с~, (4,4) ь;-1 числовые хлалктегнстикислччлиных ввличин(гл. а До к а з а т е л ь с т н о. Положим т). =-сА~+сЛс+ ° "+с $~ Нетрудно проверить, что л 1)„— МЧ„= 2,", с(($,— М5с) соч (5~ $1) соч (4с $ ), со р (х соч($ь С1)сач(4ь 4) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
