В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 19
Текст из файла (страница 19)
соч($ь 5„) соч ($„„$с) соч $„. 4) ... соч $„„$„) Ра 0 (4.5) для любых случайных величин $„ $„ ..., $„; ю = = 1, 2, .... При пс 2 неравенство (4.5) имеет вид .!= ) = 0$, 0$,— сот~ (4„$с) ~ О, 01с соч ($о $с) ( Отсюда (сот($, $,))~ )Г05,1)$,. (4,б) В доказательстве формулы (З.б) было попутно получено, что для независимых случайных величин $о $, имеет место равенство соч (~„$,) О. (4.7) (т)„— Мт)о)' = ~ с;с) ($,— М$,) ($~ — М5)). с) ! Вычисляя математическое ожидание от обеих частей последнего равенства, получим утверждение теоремы. Правую часть (4.4) можно рассматривать как квадратичную форму от переменных с„, с„..., с„.
Так как при любых г„с„... „с„дисперсия в левой части (4.4) иеотрнцательиа, то квадратичная форма в правой части (4.4) неотрицательно определена. Квадратичная форма иеотрицательно определена тогда и только тогда, когда неотрицательны все главные миноры матрицы, составленной из ее козффициеитов. Таким образом, из теоремы 4.1 получилн следующее утверждение.
Определитель ковлеикцня. коэееицнвнт когевляции Таким образом, если сот До $,) ~0, то величияы $, н $, зависимы. В качестве количественной характеристики степени зависимости случайных величин $, и $, исполь- зуется коэффициент корреляции р(„'„$,), определяе- мый следующим равенством: рДм с.)- (4 8) р'о$Л$, Свойства коэффициента корреляции: 1' !р($, $.)! <1.
2'. Если ~, и $, независимы, то р(4, $,)=0. 3', Гели $, = А$, + В, еде А и В постоянные, то ! Р ($„ьае) 1 = 1. Доказател ьство. Свойство 1' следует из (4,8) и (4.б); свойство 2' следует из (4.8) и (4.7). Докажем свойство 3'. Положим М$, а, (Э$,=о'. Тогда М$,=Аа+В, Оч,=А'о*, сот Д„;,) - М [Д,— а) Д,— М$,)1- = М~(ет — а) (А Д; — а))~=АСфт= Аал и, следовательно, яел л РД» ей) р ~л~ Таким образом, ~р($,, $,))=1. Отметим, что равенство 0 коэффициента корреля- ции не является достаточным условием независимости случайных величии.
Из равенства рД„, 5,) =О не сле- дует независимость случайных величин (см. задачу 10 этой главы). Наряду с рассмотренными выше числовыми харак- теристиками случайных величин часто используются моменты более высоких порядков. (4оментом порядка и случайной величины С называется число М$л. Число М Д вЂ” МЦл называется центральным моментом по- рядка й. Пусть задан случайный вектор ($„ $„ ..., 5„). Величины М;е,хе..б~., МДт — Мй,) ...Ą— М$„)'- )кз ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКт»СЛ»»ЧАЙНЬ»Х ВЕЛИЧИИ(ГЛ.
З называ»отса соответственно смеи»анн»кл» моменпмтм порядка )) =)тз+)т,+... + м„н смешанным центра»оным моментом йорлдка )». Вычислять моменты более высоких порядков можно по формулам ().6), ().7). Например, для абсол»атно непрерывных велнчнн Мта = ) х"р (х) »(х, Ф М(~» — М~,)з ...Д.— М$„)"- ) ...
1 (. — Муз ... м Э ...(Х вЂ” М$„)'зры т (Х„„., Х„)»(Х»...»(Х, н т. д. Отметим еще, что нз суп(ествован»»я момента Мй"' следует суп(ествован»»е моментов Мйз, (т = ), 2, ... ...,т — ). Это утверждение следует нз неравенств !$(ы)1'~)$(»о)! +), »об(), м=),2,..., т — (. $5. Условные распределення н условные математнческне ожидания Пусть в пространстве (Й, 8, Р) определен случайный зек.
тор (з, Ч). Ввелем поннтне условя»ото раснрелеленнз величины $ прк условии, что задано значение Ч. Рассмотрим сначала Лискретнын случай. Пусть Р(а=хо Ч=р»)=рву>О ~ рц-(. »,»» Р(р =хд = ~и~~ ~р»»=р». > О, Р(ц=у»)= ~ ру= р у > О. »-» \ м» В у 1 гл, 2 было дано опрелелеиие условной веронтностн. По атому определению Р(ь=- » ч=-р)) р~ц Р (чз = Х, ( Ч = р») = — (5н) Р(Ч=Р») » = ), 2, ... Если фиксировать р) (или»), то вероитиости (5.!) можно рас. сматривать как условное распределение величиин т, нрн условии, УСЛОВИМП РЬСПРНДПЛНИИП 125 $ ь) (А) Р(А(а=ус). тГ нужно заменить р» н п(хы хт, ..., хн) на и(хс, хт, ..., х„1 ° ° ° ) сс (нм ° ° ° ни) с("с сснл (ч = еГ) Тогда в ()А) и (1.5) Р» с е'"="Г) Если левые части (5.1) н (5 2) рассматривать как функиисс от рГ, то можно считать условное распределение н условнсю натессатнческое ожидание случаинымя величинами, опредсленнычи в исходном вероятностном пространстве (О, 8, Р).
Тогда условное расяределеиве н условное математическое ожндапие ч при условии т) определяются соответственно формулами р~,) ) ( Р($-хс)Ч-РГ). е юЕ(бРйГ). '1 1=1,2, ..., е г ( ~Й)Ч рс) ссай ю Е (т)=РГ) где Р(ч хс(т) р)), Мте(т) ус) определены формулаьси (5.1) и (5.2). Справедлива следующая формула (формюса ссолнсго масле люиическозо ожидание)с Мй- М (М (Ц т))). (5 3) Здесь условное математическое ожидание в квадратных скобках рассматрпваетсн как случайная величина. Прпменкя формулу (1,8) к случайной величине М (ч ) т(), мопсяо (5,3) написать в следующее еквнввлентнои форме; м~= Х Рр) =РГ) М(ц )-РГ) (5А) 1~1 что с) = рГ. Условным математическим ожнданиеси случайной величякы й при условии, что т)=уГ, называется число М(ч! Ч=рГ)-~.„хс —.
(5. 21 ( с Отметим, чю приведенная здесь в качестве определения формула (5 21 аналогична формуле для вычисление безусловного математического ожнданпн (1.8). В случае дискретной величины ц можно дать более естественное определение М 12 ) т) ус), впало. гичное ()А) и (1,5). Для этого иужссо воспользоваться формуламн (1А) н (1.5) для вероятностного пространства (О, )у, Рн ); Г вероятность Р оиределеиа для любого А~Я следующей фор- еГ мулой: )25 числОВые хАРАктеРистикислучлйиых Величин (гл.
6 Докажем формулу (5.4), Воснольаовавшнсьонределеннем (5.2), оалучнм М(й)г)!)= ~~! Р(»=уу) ~ х! Р(Ч=Р)) Ф ~ Ф е!! у-р)-2*( Х'а-* «-е!) в-! !)ю! ~,' Р(й=ру) / ! !. )ю! ( 1, если м~ А, / РВ еслн м~ВВ $- т) = ( й, еслн (е ~ А, «( р=(, 2, ~~„ где ВГВу=а, )Ф), '() Ву=Я.
Тогда г=! Щ=Р(А), Р(г)=Р))=Р(В), М(6(!)=Уу)=Р(А(В)). Подставляя зтн выражения в (5.4), оолучим формулу роятностн со счетной системой событий Вт, Ва, .„. Р (А) ~„РР (Ва) Р (А ) Ва). аа! волной ве- Положнм в (5.о! А ($ ~ С), В„(!) Ра), где С а (хы хм .. ~ хи. ° .), (хо ру)- значения ($, т)). дыбом С РЫС)- Х Р(ч=ра)ра=;(Ч=ра). а!с с Свойства условного математического ожнданнж )Р М(ф (Ч) (Ч) =Р (Ч) 2.
М(о(н) цц)=ф (Ч) М а) Ч). 3 М(йт+йа(т()=М (С! (Ч)+М (са) !)). 4е Если к и !) нсэаансимм, то МД) !)) Мй, Тогда нрн (5.5) (5.7) (5.5) (5В) Правая часть Роследаего равенства равна М$, так как ~~~~ ~Р($=хг, т! Р))=Р(с=х!). Покажем, что на формул (5.5) н )=! (5.4) следует формула полной вероятности. Пусть НСЛОВНЫП РЛСПРйДПЛННИЯ !27 Равенства (6.7) — (620) веркы прн любом ыЕЙ, Равенства (6.7), (5.8), (5.!О) следуют непосредственно из определения (5.2). Равенство (5.9) легко получить яз определенна, аналогнчного (1.4), (!.5). Перейделг к рассмотренню абсолютно непрерывного вектора (й, Ч).
Так как в этом случае Р(Ч=у)=0 прн любом д, то мы не смежал~ воспользоваться определением условной вероятности (2.!.!), как это мы сделали в дискретном случае. Назовем условной плотностью распределения вероятностей велнчнны Е прн условии, что Ч=у, следующую функцню: РА ч("'") РА (г) Ч=Р) = ~ р(„(н,р)Фи Из (5.!!) нетрудно получить, что прп любых а и Ь ~< «г~ч- ! «ы (! е(ь!ц-и«)е, еюз Легко также проверяется формула, аналогичная (6.4)г мй= ~ р (д) МД)ч=„)бр. Ф Если рассматрнвать (5.!1) н (5.12) как случайные величины р (л(Ч) $ рй (л (Ч=р), еслн м~(Ч у), р6( — ).
м Д(ч) М Д ) Ч р), если ю~(т! 0), р~( — со, се), то чюрмулы (5.!3) н (5.14) можно записать в виде (5.14) ~< «с«е- ((ч<«е«) ье н в виде (о.З) соответственно. для условного математнческого ожидания абсолютно непрерывных велнчнн сохраняются свойства (6.7) — (5,10), Условное математическое ожидание $ при угловая, что Ч=у, определяется формулой « М(3(Ч=р) ~ зр (л(Ч р) Ь.
(5.12) « !28 па<вдовые характеристики случдйиых Величии <гл з Задачн н глазе б 1, Нанти математическое ожидание велнчнны т, определенном в задаче 14 гл 4 2, Обозначим е номер нспытання, в котором появился нужный ключ (см. крамер 3 из 4 6 гл. <) Найтн М$. 8. Решать задачу 2 в случае с возвращением ключей 4. Найгн Мт величины т, определенной в задаче!6 гл 4 б В задаче 8 гл.
2 обозначим т время свободного пробега молекулы Найтн Мт, Ог, 8. Найти м(йт+сз) н 0(2,-<-$т), где $м с определены в задаче 8 гл 4 7. Пусть С вЂ” чнсло комбинаций НУ' в и+ < кспытаннях схемы Берну»па Найти М$, 01 8. Из <ОО карточек с числамн ОО, О<, 02, ... 98, 99 наудачу вынимается одна. П)сть т<н т!т соответственно сумма н пронзведенас ннфр ва вынутой карточке. Найтн Мг<г, Мг»ь Ог<,.
0пл 9, Длз волн шн хм 1о, опРеделенных в задаче 9 гч. 4, пзйтн М$н Л<йз, 0$т, 0$» сот (йг, $з). 18. Совместное распределенне величин $4, йз определяется формулами Р(сг=О, $т В=рфг О, зз — 1)=Р(хг=!, ! рз=й)=Р( г= — <„$т=б)= —. Найти Мсн а<В„0$м 0$з, 4 сот (чг, чт) Являются лн йт, яз пеазвнснмиен <нлнчннамнз 11. Случайные аелнчпны йм Вз, $з,$м$ь независимы; Ой,=оз. Найтп: а) коэффнцненг корреляиян велнчнн $х+чз $з+яе+$ь б) 84-).8е+~ьт 84+ее+В» 12, Пусть (йм (т, ..., $,у) — днскретнын случайный вектор с полиномнальным рзспределеннел~ (3.2 7) Нзйтн Мь», соч (8», йг), А,< 1,2.,У. 13.
В задаче 11 ~л 1 обозначлм р„— число пустых пшиков. Найти Р(ре О) 14. Для величины ре, определенной в задаче 1! гл. 1 н задаче 13, пайтн Мре, Оре. Найти асимптотнческне формулы прн М се, — =и сопх(. )7 1б. По» конвертам случайно разложено л янсен различным адресатам Нанти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет своему адресату Найти пущен этой вероятностн прн и- оь 1б. В Ф вциков случайно и иезавнсихю друг от друга бросают шары, пока не остэнеиа пустых шцпкав Найгн Мт, где ч — чксл г брошенных шаров 17. Случайные вечнчнны вм $з...„$ч неззвнснмы н 0$,=»з, М(,=о. Найти математическое ожидание еелнчнн 6 — ~ й,— Ч)т, 1 к~ и-<ш 1 задачи и Главе в (й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
