В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 14
Текст из файла (страница 14)
6.1 6 6 гл. 1) естественно ввести случайн)ю величину, равную числу белых шаров в выборке. Эта величина имеет гнпергеометрическое распределение (см. (1.6.3)). В 3 2 гл. 3 для схемы бернулли была введена случайная величина р„, равная числу успехов в первых и испытаниях. Она имеет биномиальное распределение (см. (3.2.6)) . В вероятностном пространстве, соответствующем бесконечной последовательности независимых испыта- случАйные вйличииы ний с двумя исходами в каждом (см. 3 4 гл. 3), введем случайную величину т. равную числу испытаний до первого успеха включительно.
Тогда событие (т=й) определяется результатами первых й испытаний: должен подряд й — 1 раз произойти «неуспех» и на й-й раз «успех». В обозначениях 3 4 гл. 3 имеем (т= й) = В» (О, О, ..., О, 1) »-1!»»» и, следовательно, по формуле (3.4.1) Р(т=а)=д" 'р. Таким образом, величина т имеет геометрическое распределение. В рассмотренном примере вероятностное пространство ие является дискретным, так как множество всех последовательностей из 0 и 1 — несчетно. Приведем пример дискретной случайной величины, заданной на абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (см. п. 6,4 у б гл.
1). Пусть и=1; Я=(и: — оо <и < оо), п(и)=1, если ие)О, 1), п(а)=0 в остальных случаях, Положим 5 $(п)=1, если п~ —, и $=$(и)=0 если и < —. Очевидно, что ! 1 величина $ является дискретной и Ю 1 Р(4=1) Р~(и: и" ф ~ п(и)г(и ~ !»и= —, (м 1!2 1/2 иа 1( ' 2)),) () 3 2' Ю о $3. Совместные распределения нескольких случайных величин Пусть на вероятностном пространстве (1«, )у, Р) заданы случайные величины а $ (а), с»=с»(м),,*„$„=$«(«о), а»б().
Каждому е» зги величины ставят в соответствие и-мер- вт совместные РАснРеделеиня иый вектор. Фуикпию от переменных х„х„..., х„: Р>,...1 (х„х„, ..., х„) =Р($1 < Х„$1(х„, ..., $„~х„), назовем многомерной 4рнкцией распребвхения случайного вектора ($„$„..., $„). Так же, как в одномерном случае, проверяется, что Р1,...1 (х„х„..., х„) монотонна по каждому аргументу, 1пп Р1,, „1 (х„..., х„) = 1> к> «>» 1(п! Р1„.,1 (х„..., хх) =О, »А -« — » 1пп Р> ° ° ° $ (Х1* ° ' Х ) =Рт ...
х (Х1 х 1) е >» х Аналогичное свойство выполпяется прн переходе к пределу по любому аргументу. Случайный вектор ($„..., $„) назовем еекщором дискретного типа, если существует конечное нли счетное множество точек (ХА„Х„„..., х,„), й = 1, 2,... (без предельных точек), таких, что Р (Е> = хд„ фх = Х1„ ...> $„ =- ХА„) = р»А,»„ ...»А (3.2) и р»„„..., .«»„— ° Х =1. (хео ..., »1„1 Случайный вектор дискретного типа можно определить на дискретном вероятностном пространстве ((), 3, Р), в котором Й является множеством значений данного вектора. Случайный вектор (41...„$,) назовем вектором абсоиоп!~О кепргрмвнога типо, если существует фуик- ния р>,,1,,(х„..., х„) такая,что при любых х„х„...
°,. Х„ Рт,г„л„(Х„Х„, ..., Хх) = к, х, к х ~ ... ~ РАА, тх(и„...,нх)>(К1,>(и,. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1гл. ч Функция рт„д„(х„..., х„) называется пло~лноспгаю распределения вероялгностеб случайного вектора ($„..., $„). Для любого квадрируемого множества В в и-мерном пространстве имеем р(ф„..., $ ) ~ В)=~~...~ р,, л„(х„...,х„)4х,,с(х„.
(3.3) Интеграл от плотности по всему л-мерному пространству равен 1. Случайный вектор с плотностью .распределения р.... ы(х„..., х„) можно задать следующим образом. В определений абсолютно непрерывного вероятностного пространства (см. и. 6,4 З б гл. 1) положим п(и„..., и„)=-р;,,ь,(и„..., и„). Нетрудно проверить, что случайный вектор $,=с,(и„..., и„) =и„..., $„=$у(и„...„и„)=и„ имеет пчотность распределения рх,..а„(х„..., х„). В дальнейшем, кочда мы будем говорить о случайных векторах дискретного илн абсолютно непре- рывного типа без указания Р' вероятностного простраих ствэ, будет, подразумеваться, что аин определены иа вероятностном пространстве (11, чт, Р), в котором 1) состоит из множества зна/ чений рассматриваемого дискретного вектора нлн является евклндовом простраиг 'д ~ счвом в случае абсолютно непрерывного вектора. Йиже мы будем рассма- тривать случай л '2.
Результаты, полученные для и=2, леваке переносятся иа обп1ий случай. В 3 1 для одномерной случайной величины была получена формула (1,4), по которой можно вероятность попадания значения случайной величины в полуинтервал выразить через функцию распределения. В двумерном случае найдем аналогич- совместные ехсповделеиия ную формулу для вероятности попадания пары случайных величин в прямоугольник (рнс. 7). Пусть г(х,у)=Рт„(х,у)=РД х, т)<у).
Положим А =(а, "'5 < а„Ь,ч- т) < Ь,), Тогда (В < а„т) < Ь,) = А + (о < а, т) < Ьз) + (5 < и Ч < Ьз) ° (3.4) Так как (5 < а,, т) < Ь ) Д < а„т) < Ь1) = ($ < а„т) < Ь ), то по формуле ((.5.4) Р (Я < а„т) < Ь,)+($ < а„н < Ь,)) =Р(з < а„п<Ь )+Р(5<а„т)<Ь) — РД < а„т)<Ь)=* =Р (а„Ь,) + г (а„Ь,) — г (а„Ь,). (3.5) Учитывая, что в (3.4) А несовместно с другими слагае- мыми, нз (3.4) и (3.5) получим Р (А) = Р (а, $ < а„Ь, < Ч < Ь,) =- г" (а„Ь,) + +Г (Ь„а,) — г" (а„Ь,) — г (а„Ь,).
(3.6) Если К, т)) — абсолютно непрерывный 'векторе-то из (3.6) следует, что а1 н Р(а,~$ <а,, Ь,:-т) <Ь.,)=~ )г рь„(х,у)ИМу, (З.У) а,н Можно показать, что по вероятностям для прямоуголь- ников однозначно определяется вероятность на квад- рнр)емых множествах и из формулы (3.7) следует формула (3.3) при а=2.
По двумерной функции распределения можно най- ти одномерные функции распределения, Так как (т) +оо)=О, то (с х) = (с < х, т) <+ оо), и, следовательно, с учетом свойства (ЗА) получим Рт(х) =Р($ < х)=-Р Д < к, т) <+оо)=Гт,я(х, +оо), случхйныв ввлнчины 90 Такпм образом, Ре (х) = 1ип Р!. ч(х, у) = Рь ч (х, оо), Рч(у)=!!нпрьч(х у)=Рва( у) т ~Ф Если ($, т)) — абсолютно непрерывный вектор, то х, о Х Рх(х) = ~ ( ~ )!т,ч(и, и)ди ~с(и= ~ р!(и)т(и, где фуикния р! (х) = ~ рв „(х, о) Й (3.9) является плотностью распределения величнны 9.
Аналогично находим Рч(У) — ~ Рт,ч(и У)!(и (3.Ю) Пусть вектор ($, т!) дискретного типа: Р (с = хи т) = ут) =ры, 1, ! = 1, 2. .., ! (3. 1 !) и ~ч!', р, = 1. Найдем одномерные распределения, со- 1, у~! ответствующие (3.11). Имеем Р(4=х;)= ~Р(ьт=хи т)=у,) ~~~~р,~. ! =! ! ! Пусть р; = Хр;;, р.,=",~р!р (3.!2) / ! !=1 В этих обозначениях получим Р (5 = х!) = р!., Р (Ч = у/) = рч.
(3.!3) Мы получили формулы, позволяющие по совместному распределению двумерной величины находить одно- мерные расп ределеимя. совместима алспгеделения 91 ! з! Рассмотрим два примера, показывающих, что по одномерным распределениям (3.13) без дополнительной информации нельзя восстановить совместное распределение случайных величин (3.11), Пример 1. Пусть !)=((1, 1), ( — 1, Ц, (1, — 1), ( — 1, — 1)) и все злементарные события равновероятны. Положим ~=~(1 !)=', т1=т)(1 !)=) ' )= — ' ! (3!4) Очевидно, при любом паре Р(~-1, я=)) --, ! (3. ! 3) н Р ($ = 1) = Р ($ = », Ч = — 1) + Р (З = 1, !) = 1) -+ — =-Т, 1 ! ! !'= — 1, 1, Аналогично получим Р(!) = 1) —, ! = — 1, 1.
1 П р имер 2. Пусть !1, 4 и !) такие же, как в примере 1. Положим Р ((1, 1)) = Р (( — 1, — 1)) = —, Р(( — 1, 1)) = Р((1, — 1)) = О. Тогда, например, Р [$ = — 1, Ч= 1) =О, н, следовательно, совместное распределение $, !) ие совпадает с (3.15). Одномерные распределения ! Р ($ = — 1) = Р Д = — 1, т) = — 1» = —, Р (~ = 1) = Р ($ = 1, т! = 1) =— ! Р (т) = — !) = Р (т) = !) = —, ! совпадают с соответствующими распределениями пре- дыдуще! о примера. случдиные Величины «гл, е Равномерным раслределениелг в плоской ограниченной области 0 будем называть распределение с плотностью — если (х, у) Еб, р (х, у) == ил, 6 ' ( О, лн (х, у)|( 6.
В следующем параграфе будет дано определение многомерного нормального распределения. 5 4. Независимость случайных величии Т)усть ф, ~~, Р) — пронзвольное вероятностное пространство. Случайные величины $„ $„ ., „ и„ нязь<- веются независимыми в совокупноспги илн просто независимыми, если при любыхдействнтельных х„х„..., хь Р«н,,«и(х„х„..., ха)=Р«,(х,)Р;,(х,) ... Р«„(х„). (4.1) Часто удобнее использовать следующее эквивалентное определение независимости: случайные величины $„ Ь„..., Си Нгааоави.«ГЫ, ЕСЛИ ПРИ Л|ОбЫХ бОРЕЛЕВСНИХ множествах ') „„..., В„имеет место равенство РЯ,ЕВ„1,бВ„..., $„~В„) =Р(к,~В)Р(й«ЕВ*) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
