В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для вычисления вероятностей событий вида (1.2) не требуется полностью знать Р(А), А Е )у; достаточно прн любом х знать вероятность Г! (х) = Р (еь < х). (1.З) Функция Г; (х) действггтелвной переменной х, — оо < х < оо, называется функцией распределения случайной величины 3. 1ак как ($ < х)=(х, <$< х)+((:, <х,), то согласно аксиоме Ай Р Я < х,) =- Р (х,, $ < х,) + Р ($ < х,).
случайныв ввлнчнны Отсюда и нз (1.3) находим р (х, я, 3 < х,) Р» (х,) — Р«(х,). (1.4) По формуле (1 5.1) Р Д х) *1 — Р«(х). Из (1.5,9), (1 4) и (1.2) получим Р Я ° х) = Гнп ( Р1 ( х + — „) — Р» (х) ) = = Рт (х+О) — Рз (х).
(1.5) По функции распределения можно вычислить вероятности любых событий вида (1.2). Иногда вместо Рз(х) будем писать просто Р(х), Пример 1. Два игрока по одному разу подбрасывают симметричную монету. Если выпал «герб», то первый игрок получает 1 рубль, а если выпала «решетка», то — отдает 1 рубль. Для описания данной игры естественно положить 11=(Г, Р) и Р((Г)) = 1 = Р((Р)) = —,. Случайная величина $, равная вы.
игрышу первого игрока, определяется следующим образом: а=3(Г)=1, с=4(Р)= — 1. Легко вычисляется функция распределения Р» (х) вели- инны $. Если ха — 1, то множество (1,<х) является пустым и его вероятность равна О. Если — 1 <ха" 1, то (С<х) =(Р» и, следовательно, Ра (х) =Р($<х) = «, Прн х > 1 имеем Я < х) = (Г, Р) н р ($ < х) = 1, Таины образом (рис. 4), О, если х «-.— !, Ра (х) = —, если — 1 < х „1, 1, если х>1.
П р н ме р 2. Пусть в единичный ивадрат Й = ((и, и); О~~и.-.1, О<он.,1) наудачу брошена точка, Элементариымн событнямн «» являются точки квад- рата Г»; о-алгебра $ здесь порождается квадри- ОПРЕДЕЛЕНИЯ и ПРИМЕРЫ руемыми подмножествами квадрата. Вероятность события, являющегося квадрируемым подмножеством, равна его плошади. Случайиымн величинами являются, например, функции $=$(«»)=) и»+о' — расстояние брошенной точки от начала координат, т(= ч (и, о) = и— первая координата брошенной точки и т, д.
Найдем Р«с, 4. функцию распределения величины «). При 0 <х<1 имеем ((...): Ь(...)< )=((, ): <.) Стороны этого прямоугольника равны 1 и х. Таким образом (рнс. 5), Р (((и, о): и < х)) = х О, если х<0, Р„[х)= х, если 0<к. 1. 1, если х>1. П р и м е р 3, Рассмотрим следующий опыт, Пусть один раз подбрасывается монета. Если выпал «герб», то иа этом опыт заканчивается. Если выпала «решетка», то на отрезок (О, 11 наудачу бросается точка. Для описания этого опыта введем следующее пространство злементарнык событий: 11 (Г; (Р,и)), где О <и.-,1; а-алгебра (у пусть порождается событиями (Г'1 „((Р, и'1: а < и < Ь), [гл и СЛЮ!ЛЙНЫВ ВЕЛНЧИИ1Я ао где 0<а<Ь:~ 1. Положим Р((Г))=-, Р(((Р, и): а<и < 6))=:".
По вероятностям втнх событий однозначно определяется вероятность иа 3, Рассмотрим случайную Рис. 5. Р .Е. величину Г, определяемую равенствами ь(Г) — 1, 1,(Р, и) =и. Так как ( ~ ."х) 8, если х - — 1, «Г,', если — 1<х О, (Г)+((Р, и): 0«„и <х», если 0<х<1, то (рис, б) если х» — 1, если — 1 < х<0, Рс(х) = 0<х~1, если если х > 1. й 2.
Свойства функций распределения Пусть г" (х) — функция распределения кекоторой случайной величины 5. По определению функция $(ы) принимает только конечные значения. Формула (!Л) определяет Р(х) при любом действительном х, прн х=-+ оо и прп х=- — оо. Очевидно„что Е( — оо) =-О, Е(+ оо) 1. своистВА Функция РАспРеделения 81 Теорема 2.1. Функция распределения Р(х) обладала! следующими свойспиюми! 1. Если х! ..х„то Р(х,) -Р(хл). 2, !Пп Р(х)=Р( — со) О; !!Ит Р(х)=Р(+ос)=-1. 3. 1йп Р (х) Р (х,) (ие!!рерывность слева).
л-~м л Доказательство. 1, Так как (5 <х,) <= (3 <х,) прн х, -х„то неравенство Р(х!)<Р(х!) следует из (1,5,6). 2, Последовательность событий ($ < — а), и = 1, 2, ..., монотонно убывает, т. е. 6< — 1)~(ч< — 2)!... =!Д< — п)=>(я< — и — 1)'=! По формуле (1,5.9) получим 1ип Р( — а)= 1!и! РД < — л)=Р(8)=О. () ($ < х„) = (5 < х,) л ! (5 < хл) е ($ < хл+ !), и по формуле (1.5.9) !пп Р($ < х„)=Р $ < х,). л л Отсюда с учетом монотонности Р(х) получим третье свойство. Теорема доказана.
Иногда вместо (1.3) функцию Р(х) определяют по формуле Р (х) = Р (5 < х). При таком определении функция Р(х) непрерывна справа: 1ип Р(х)=Р(х,). л -~ о л О Отсюда с учетом доказанной монотонности функции Р(х) получаем первое равенство во втором свойстве. Второе равенство доказывается аналогично с использованием монотонной последовательности ($ < я), а=1, 2, 3, Пусть числовая последовательность х„возрастает и 1!и! х„=х,. Тогда случАйные величины ггл. л Любая функция 6(х)„обладаюнтая тремя свойствами, указанными в теореме 2.1, является функцией распределения яекоторой случайной величины, т.
е. можно построить вероятностное пространство (й, ® Р) и определить на нем случайную величину $ такую, что Рь(х) 6(х). Положим И=(и; — со < и со). Обозначим ~~, алгебру, порожденную полуинтервалами [и„и,). На зтих полуннтервалах зададим вероятность с помощью равенства Р ([п„и,1) = 6 (~,) — 6(и,). (26) Эта формула однозначно определяет вероятность на алгебре $,. По теореме о продолжении вероятности мы можем единственным образом продолжить заданную на $, вероятность на минимальную о-алгебру (у, порожденную $,. Если мы теперь положим $ $(и)=и, то Г,(х) =Р Д < х) =Р(( — ~, х)) =6(х) — 6( — ~) =6(х), При изучении отдельной случайной величпны можно заменить исходное вероятностное пространство (й, Д., Р) на вероятностное пространство (Ь, )у, Р), в котором Я является числовой прямой, ф системой борелевских множеств, Р определяется формулой (2,1) с 6(х) = = РЬ(х).
Вероятность Р называют распределением слу. чайной величины. Функция распределения однозначно определяет Р. Однако в ряде частных случаев распределения случайной величины можно задавать в более удобной форме. Отметим два типа распределений, которые часто встречаются в приложениях. Случайная величина В называется величиной дискретного типа, если существует конечное или счетное множество чисел х„х,„..., х„..., (без предельных тачек) таких, что Очевидно, для дискретной величины закон распределения полностью определяется указанием значений х„, а=1, 2, ..., и вероятностей р„, с которыми зтн зна. ф 21 своиствА ФункциЙ РАЕНРеделения 83 чения принимает случайная величина. Функция распределения дискретной величины является ступенчатой, В точке хго и = 1, 2, ..., оеа имеет скачок, равный р„.
Случайная величина $ называется ееличиной абсолютно нелрерьгеного типа, если существует неотрицательная функция рт(х) такая, что при любом х рз (х) = Р Д < х) = ) рз (и) Ыи. Ниже мы будем всегда предполагать, что рз(х) непре- рывна всюду, за исключением конечного числа точек, Функция ре(х) называется плотностью распределения вероятностей. Очевидно, Р (а 4, 3 < Ь) ~ рз(х) 2(х, (2.2) Р(ф=а)= 1пп Р(а<;<а+ — „1= 1нп ( рт(х)Их=О, л-~ ь е Отсюда следует, что для абсолютно непрерывных величин Р (а < $ ~: Ь) =Р (а < $ < Ь) =Р (а < 5 < Ь) =Р (а < $ < Ь).
Если х является точкой непрерывности р2(х), то прн Ьх — О Р(х< $<х+Ьх)=рз(х) Ьх+о(Ьх). Это равенство следует из (2.2). Плотность распределения обладает следующими свойствами; 1) рз(х) ~~О, — оо <х < оо; 2) ) ра( )Ых=1; 3) ре(х)=рз(х) в точках непрерывности ра(х), Плотность распределения полностью определяет распределение случайной величины. Функция распреде- случлнныв Величины ггл з пения абсолютно непрерывной величины, очевидно, непрерывна.
Пример 3 из $ 1 показывает, что супзествуют рас- пределения, не прииадлежзцие ии одному из указан- ных типов. Приведем ряд часто встречающихся абсолютно непрерывных распределений: 1. Оор.чальное распределение м-м ° рз(х)==о ле', — со а < оо; а ~ О. (2,3) р' зло Случайная величина с плотностью распределения (2.3) называется нормально распределенной с параметрами (а, о). 2. Показательное распределение / ае-, если х>О, ( О, если х О. 3.
Раенол~ерное распределение р,(х) =- з-» ' ) —, кч1а, 51, (2.5) О, х((а, 51, а Ь. Нетрудно показать, что существуют случайные вели- чины, для которых функции (2.3) — (2.5) являются плотностями распределения. Функции (2.3) — (2.5) не- отрнцательны, и интеграл от них по всей числовой прямой равен единице. В определении абсолютно непрерывного вероятно- стного пространства (см. п. 6.4 З 6 гл. 1) положим п 1, Й=(и: — оо<и<оо), и(и)=щ(и),Случайная величина $ = $ (и) =и имеет плотность раснределення рз(х). Примеры дискретных распределений: 1. Биномиалоное распределение Р(~=~)=С;р (1 р) -, О<р<1; си=О, 1, 2, ..., п. Здесь и †натуральн число.
з т! свопствА Функций РАспРелвлвння )$ 2. Прассоноеское рагаределенае ~„6$ Р($=т) —... е-х, т=О, 1, 2, ...; А, > О. (2,7) 3. Геометрическое распределенно Р($=т)=-(1 — р) 'р, т=1, 2, ...; О < р <1. 4. Гааергеометрическое распределение СФС"- РД=лО= 'и ~ ~, т=О, 1, 2..., гп)п(31, о), Наиболее простым вероятностным пространством, на котором можно определить дискретн;ю случайную величину с заданным распределением вероятностей, является дискретное вероятностное пространство (см. и.
6.2 3 6 гл, !) с Я, состоящим нз значений случайной величины. Например, случайную величину с пуассоповским распределением можно определить следующим 1Я образом. Пусть (! = (О, 1, 2, ...). Положим р = — ', е-". Эги числа удовлетворяют равенству (1.6.4): Ю ~Ю вЂ” Е-А=Е-" "г — '=-Е-А ЕА =1. л!=0 Феа За о-алгебру событий а принимаем все подмножества множества 11. Вероятность зададим формулой (1.6,5).
Случайная величина $= 5 (т) =-а! имеет пуассоновское распределение. Аналогично можно определить величины с биномнальиым, геометрическим и гипергеометрическим распределениями. Случайные величины с указанными выше распределениями мог)т появляться в различных задачах. Например, в примере 1 (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
