В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Найдем число элементарных событий, удовлетворяющих условию (р„=' = т). Число успехов н неудач задано, Таким образом, можно талька менять их распологкение в цепочках вида (2.3). Расположение однозначно определяется вы. бором из и мест гп мест для успехов. Это можно сделать С7 способами. Отсюда н из (2.4) следует утвержден ие теоремы. Для схемы испытаний с произвольным й» (эту схему часто называют полииомиальной) введем случайные «и последовательность независимых испытании аз величины $», равные числам исходов Ф, 4 =1, 2,..., й1, Покажем, что Р1а, =ю, - =!и»,..., »и= гнгг) = ~ „~ Р" '' ' Р»'ч еч! ..
зим! (2.7) где т„!и„..., т,ч — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию т, +и!»+... +!и„,=(!)««Для остальных значений !и левая часть (2.7) равна О. В каждой цепочке (1,1„... 1„), удовлетворяющей условию (з,=«п„а,=л!„..., $»!=и! ), «1» встречается т, раз, «2» — гп» раз, „«У» — пг!г раз. Следова гельпо, вероятность каждой такой цепочки равна Р'," Р","...р ч. Число цепочек заданного вида можно найти следующим образом: С"„" способами можно выбрать из и мест и!, мест для «1»; из оставшихся и — т„мест можно выбрать ~,„'*, способамн места для «2» и т.
д. Отсюда общее число цепочек нужного иам вида равно С'"'С"' С'" ч ""»ь ' ' " "и .. '"'м-!»!»!ш,! ...и»!! Из приведенных рассуждений следует форм)ла (2.7). При й!= 2 формула (2.7) совпадаег с (2.6). Рассмотрим в полиномиальной схеме случайные события, полученные следующим образом.
С элементарным событием «»,=(1,1«... 1„), содержащим ровно «и исходов «1» (л«=О, 1, 2, ..., и), мы объединим все элементарные события ы, у которых «единицы» стоят на тех же местах и нет «единиц» иа других местах, Полученное таким образом случайное событие обозначим «»*. Нетрудно найти вероятность события а»', Пусть, например, в ««' объединены все элементарные события, у которых л« единиц иа первых мес!ах. Тогда Р («»') = Р!" Х Р! „ ° ° ° Р!„ з>+Г ''" » где знаком "~'; обозначено суммирование по всем возможным наборам 1,„„, „., 1„, в которых нет «Вь 3 В. и.
Ч»«»»«о» бб послвдовьтальности испытАнии [гл. » Следовательно, 'к» ° Рг„»т Р»„ !а+г ",!» (1 Р )»-» и Р(м') — Р" (1 — Р )" " (2.8) Эта формула совпадает с (2.4). Для задания события «»» достаточно указать для каждого испытания, наступил исход «1» илн не наступил.
Если принять события»»' за элементарные события в новой схеме н приписать нм вероятности (2.8), то получится схема испытаний Бернулли с р=р, и д= 1 — р, =р,+ ... +Р,. Прн и подбрасываниях игральной кости мы имеем полииомиальную схему с М=б и Р,=Р, ... = Р, = ! = †. Если теперь «укрупнить» элементарные события, например, различать только «6» и «не шестерка», то б получим схему Бернулли с Р = — и д = —. е б ' в 3, Предельные теоремы в схеме Бернулли Пусть монета брошена 5 раз. Требуется найти вероятность того, что выпало ровно 3 «герба».
Воспользовавшись формулой (2.6) прн и =5, р =4= —, л» =3, ! получим Р (3)=с' — = —,' — =Г. »1 б43 ! б » 2» ! 2.3 2» 1б' В этом примере вычисления проводятся по формуле (2.6) легко, Однако часто приходится вычислять вероятности (2.6) при больших значениях и н гп.
Например, при а = 1000, и= 500 н р= д = — найти чнс- 1 2 ловое значение вероятности (2.6) довольно трудно. Прн вычислении вероятности события, состоящего в том, ( — оо ~а~к е Ь -(-оо), пто Дм! Р()ь„гл) ° е * (! +а„(гл)), )' 2ллре где )се„(<СД/л лРи лмК(а, Ь1, С>!! — Иоептолимал. Исказительство. Коаффипиент С,",' в (2.6) запишем в виде л1 т)(л — ш)! ' (З.З) Так как т=лрфх )' йрТ, л — ш=пг — «,„)Глрз, то, воспользоааншнсь форм)лой Стирлинга 1и л! 1п )гБл+л !и и — л-1- О ( — ), /1т (, л )' получим (пеп) !п )Г2ии!+(оп+хм у'йрг)1п (лр+х„у'йра)- /1Т вЂ” пр — х У лре+О( — 1, (З.б) (п (л — гл)1* !и )ГБ7л — ш)+ +(пд — к„) лрг) 1и (пд-х г' лре)- -игфх,„р прф ЬО( — 1, Логарифмы в !З.б) при помощи формулы 1п(1+х)=к ке)2+0(кь) запишем в виде )п(ар+к„)гире) )пир+)п(1+х,„']/ М =.
'и г арг !пир+хм тх — — — — -,' О хм 4, /4* ) у ир 2 лр ( лйьрх (3.6) !и (лд — хм )Гйре) =- !п пг — хм 1гг — — — +О ~~ — ), Гр км 2 по ' дж з Утверждение теоремы можно получить из (2.6), (З.З), (3.4), (З.б), (3,6).
63 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИИСПЫТАНИЙ !Гд, з з ь! НРедельные теОРемы В схеме БеРнулли ав При качественной оценке условий применимости приближенной формулы к~, Р(р„=т) ж е (3.7) )'запри нужно оценить величину остаточных членов в (3.6). Г!ри и оо сумма остаточных членов стремится к 0 при любых фиксированных р н а, 0 < р < 1. Однако при конечных значениях и сумма остаточных членов может быть очень большой, если р пли д малы. Хоовне приближения формула (3.7) дает при р = д = 122.
сли в этом случае провести более точную оценку остаточного члена, то в формулировке теоремы можно заменить )а„) <СФ й на (а„) <С(п. Формулу (3.7) часто используют при и „!00 и прд > 20. Указания о границах применимости формул (3.2) и (3.7) являются очень приближенными и носят скорее качественный характер; к ним следует относиться с осторожностью. Отметим еще, что в условиях теоремы 3,2 из того„ что и ос, следует стремление к бесконечности гп.
Это значит, что т и п в (3.7) должны отличаться друг от друга не очень сильно; например, для Р(р,= — 0) локальная теорема дает плохое приближение. Т е о р е и а 3.3 (интегральная теорема Муавра— Лапласа). Если р, 0 < р «1, погьполнно, пюпри и оо Ь кк Нь ПР Р (ૠ—" Ь7! — =~ е ' е(х — 0 $ пРЧ,~ 2Я равномерно по а, Ь, — оо <а -.Ь<+со. Доказател'ьство. Приведем доказательство этой теоремы сначала при фиксированных а, Ь, — оо < а < Ь < оо. Очевидно, что вероятность события (а « ~ ь:"Р «- Ь).МОЖНО ПрсдетаантЬ В ВИДЕ Г«йпе Р(а<йа- — пр «Ь)=Р„(а, Ь)= ~~~, Р(р„=т), (3.8) где х ==~ н суммирование распространяется на )' пРЕ 79 пОслед вьтельиости ислытлний 1гл. ь 1 8 = Е ф(хл) к а1кы Р лРЕ Т„= ~~' па(гл)ф(х )=, 1 к а(а. ь1 К лле к' 1 ф(х)==а р' кл Так как а+1 — лр т — лр 1 йх„=х +а — х р лла р «рт р лрЧ то 5„можно записать в виде суммы Ял ла ~~~~ ~1р (Х ) кьХ„, к а1а.
Ь) которая отличается не более чем двумя слагаемыми от подходящим образом выбранной интегральной сум- мы, соответствующей интегралу ~ф(х)бх, Следова. тельно, ь 1(щ 8„=) ф(х) дх. а (3.10) Используя оценку для сь,(лт) из локальной теоремы, получим (Т„(а, "~ ф(х„) йх 1иа(т)( ==3„. к а1а, ь1 Таким образом, при л- оо Т„О. (3,11) Утверждение теоремы для постояииых а, Ь следует пз формул (3.8), (3.9), (3.10), (3.11). зиачеиия пь, для которых х ~~а, Ь), Применяя к слагаемым (3.8) локальную теорему, получим Р„(а, Ь) Б„+Так (3.9» где » э1 пявдвльнь»а твоявмы в схеме ввгнтлли 71 Из доказанного н из теоремы 2.4 гл.
7 следует равномерная сходимость. Приближенная формула ь и Р ~а~~ — '" Р<Ь)ж ') е ' дх (3.12) используется в тех случаях, когда возможно использование (3.7). Численное значение интеграла можно найти, если воспользовазься таблицами для функции к и* Ф,(х) ==) е ' »»и. (3.13) Формула (3.12) позволяет оценить близость частоты и вероятности. Пусть р — вероятность успеха в схеме Бернулли н р„— общее число успехов. Частотой успеха называют отйошение Р„~а, Оценим вероятность события (~»-'" — р~<Л).
Если и достаточно велико, то можно воспользоваться формулой (3.12). Тогда Р(ф — р~<б)=Р~ — б '~/-"<"" "'<б ~~ -")= — е з дх=2Ф,(Л ф' — ), (3.14) .~Я д1 1 так как функция =е ' — четная. Значение г' 2л Ф„~Л ~ — ~ находится по таблице в конце книги. Ре/ Часто возникает обратная задача: сколько нужно провести испытаний, чтобы частота р,»п отличалась от вероятности р ие больше, чем иа Ь, с вероятностью 1 — 2а (о мало)Р Такого типа задачи возникают при использовании метода Монте-Карло (метод статистических испытаний). Идея метода заключается в моделирования случайного процесса нли последователь.
ности испытаний, вероятностные характеристики которых просто связаны с подлежащими вычислению вели- последовательности испытании 1гл. а 72 чинамн. Если много раз бросать иглу, как описано в задаче Бюффона (см. 2 6, гл. 1), то частота р„!л будет мало отличаться от вероятности р пересечения иглой какой-либо линии. Зная величпну отклонения р„~л от р, можно оценить ошибку в определении числа и. В таких задачах естесзвенно считать р неизвестным. Тогда, чтобы подобрать наименьшее л, при котором вероятность отклонения будет равна 1 — 2а, нужно согласно (3.14) решить уравнение 2Ф,(Ь )/~ — ") =1 — 2х. Решение будет зависеть от неизвестного р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
