В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Следовательно, число элементарных событий в А„равно й=СлеСй "и и по формуле (6.!) Р(Л )=Р (т, )У М)= т=О, 1,2 ... (63) ,"Ч Здесь и в дальнейшем предполагается, что С„=О при т > и, Набор чисел Р„(О, й', М), Р,(1, й!, М), .. называют гиперееометрйчееким распределением. В приложениях к выборочному контролю роль шаров играют !У изделий проверяемой партии. Число М пгнмегы вавоятностных лвоствхнств 31 бракованных изделий (белых шаров) неизвестно. Может оказаться, что сплошь все изделия проверить нельзя: «х слишком много или проверка приводит к уничтожению изделия (например, потребуется прп проверке установить срок службы лазшочкн). Тогда из всей партии изделий отбирают для проверки небольшую часть из и изделий.
Если среди выбранных изделий М и оказалось е бракованных, то полагают — ж —. Формула (6.3) используется прн оценке отклонения У ' от —, В рассмотренной ситуации неизвестным параметром является число М. Рассмотрим пример, когда требуется оценить не.
известный параметр У. Пусть )У вЂ” неизвестное число рыб в некотором водоеме. Можно провести отлов М рыб, пометить их н пустить обратно. По числу гл помеченных рыб в повторном отлове из а рыб можно делать заключенна о велнчике Ф. Оценим по формуле (6.3) вероятность получения какого-либо выигрыша в «Спортлото» по одной карточке. Участник лотереи из 49 номеров отмечает 6 (49 шаров, среди которых 6 белых; Ф=49, М=6). После того как участник сдал карточку, проводится выборка и = 6 номеров.
Если число т номеров, отмеченных участником н попавших в выборку, оказалось больше 2, то участник получает какой-либо выигрыш. Если событие А-получение выигрыша, то А= А,+А,+А,. Поформуле (6.3) можно составить следующую таблицу: Р (А,) = — 0,00000007(Ы ввяоятностные п»ост»»нствл !гл, < Отсюда Р(4) =Р(А«)+Р(А»)+Р(А»)=0.981362 Искомую вероятность находим по форл<уле (6.1) Р(А)=-1 — Р(А) =0,018638, Пример 2.
Ребенок, играя десятью кубиками, на которых написаны б) квы М, М, Т, Т, А, А, й, К, И, Е, сложнл слово «<ЧАТЕМАТИКА», Можно ли счи. тать, что ребенок грамотный? Ре ш е и и е. Сначала дадим математическую формулировку задачи. Если предположить, что ребенок неграмотный и родители ие научили его складывать сдииствеииое слово, то естественно предположить, что расположение кубиков «математика» не более привлекательно по сравнению с остальными. В таком случае можно ожидать, что «ласс»<ческая схема окажется достаточно подходящей.
Оцеиим вероятность события А, состояшего в расположении кубиков «математика». Пространством элементарных событий являются всевозможные перестановки 10 кубиков. Таких перестановок !О!. При этом кубики с одинаковыми буквами мы считали различными. Подсчитаем, сколы<о элементарных событий входит в А.
Кубики с б)квами, отличными от М, Т, А, должны стоять на определенных местах, 3 кубика с буквой Т можно расположить на трех местах 3! =-6 способами; куб«ки с буквой М располагаются двумя способами и с буквой Т тоже двумя. Сочетая каждое расположение с каждым, получим, что А состоит из 2 2.6=24 элементарных событий. По формуле (6.1) 24 ! ии 5! нн <5 !»О; Эта вероятность очеяь мала, и событие А можно счн. тать практически невозможным, Если же оно осуществилось, то следует считать нашу гипотезу о неграмотности ребенка неверной.
Однако при большом числе испытаний по данной «программе» даже неграмотный может сложить слово «математика»; в среднем из з е! пРимеРИ ВеРОятиОстных пРОстРАнстВ зз Ю Х,р.=!. Для любого А Е Д: положим Р(А) =- ~ р„. ае(а, м„еА) (6 А) (6.5) Если (6.5) — числовой ряд, то сходнмость его следует из (6.4)' Тах же, как в $ 4 в примере с костью, можно показать, что функция (6.5) удовлетворяет аксиомам Д2 — А4, Проверим А5. соеытве л„в последовательности (4.1) запишем в виде Ла = (<зи шь еаиши ° ), 2 В.
П. Чаетаеоь )5 )20 неграмотных ! будет ошибочно считаться гра- мотным. Пример 3. У человека в хармане и ключей, нз которых только один подходит к его двери. Ключи последовательно извлекаются (без возвращения) до тех пор, пока ие появится нужный ключ. г(айти вероят- ность того, что нужный ключ появится при й-м из- влечении, решен ие. Будем продолжать извлекать ключи, после появления нужного ключа, до конца. За мно- жество элементарных событий примем всевозможные последовательности из и ключей. Таких последова- тельностей и!. Последовательностей, у которых нужный ключ находится на определенном месте, очевидно, (и — !)(, так как одно место занято нужным ключом, а остальные и — ! ключей можно на и — ! месте рас- ставить (и — !)! способами.
Таким образом, искомая вероятность равна (и — !)(Си! = )уи. 6.2. Дискретное вероятностное пространство. Пусть Й=(ы„а„..., м„, ...) — Счетное множество, а Я— набор всех его подмножеств. Очевидно, что (у является о-алгеброй. Пусть р„, и= ), 2...— последователь- ность неотрицательных чисел, удовлетворяющая усло- вию ВегоягнОстгтые п»острлистнл (гл г где ( ( ) .с ) ( ) < ( (и) < ... „„ бан и > ) последовательность нндечсаа зленентаРных сабь тна лз ли Язлаетсн ""д последовательностью соатветстеующен паследавательностн нз Аи- ! Из )сдавая (4 2) следует, что й(а) — и со пря л — со Если бы зта было не тан, то пронзведенве в (4 2) не было бы пусг и По формуле (б б) наладим и Ф р (Ли),3 рг оп ~'„р,* а=1 и=и (иг Отсюдз, прн л — ~ ио следует (4 3), таз как правая часть последнего неравенства является остаткам сходящегося ряда, Нетрудно проверить.
что все распределения вероятностей на множестве т) можно получить в виде (6.5). Заметим, что прн р„О, л„ьй), можно ограничиться конечным прострайством элементарных событий ь)=(та„пт„.. „от.„». Тогда грормула (6.5) задает распределение вероятностей на конечном пространстве 1 элементарных событий. В случае р,=р,=... =рм= и, р„=0 при л > У получаем классическое определение вероятности, Огметим еи(е, что л-мериое дискретное пространство элементарных событий, введенное в $ 2, является счетным и отличается от рассматриваемого случая только обозначениями элементарных событий, В дальиейпгем будем называть и-мернетм дискретным Вералптнослгным лрослтрансглвом тройку (ь), ~~, Р), в которой аз= (итг и„..., и„» — л.мериое дискретное пространство элементарных событий, тт- — система всех подмножеств множества ьз и для лгобого А е,(4 Р(А) »т, Р,оои,но ...
ии(г„) (66) (и1 (и), ... и (ги))«Л где р„,о,>..и р)" О и с!з ри,тгп...ии(г„)=$. Заметны, что замена вектора (их((й, ..., В„((и)) последовательностью (их((г), .... пи((и)...,) приведет к тому, що Мне. нтество () будет узге несчетнйн. 6,3, Геометрические вероятности. Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. з Е( ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСГРДНСТВ зб К описанию такой ситуации было приспособлено геометрическое определение вероятности, Пусть О. является квадрируемой областью плоскости.
Рассмотрим систему )у квадрируемых подмножеств (), Для любого А Е О- положим Р(А) =„— „ ил. А пл. й По теореме о продолжении вероятности фупкпио (б,у) зюжио определить иа множествах, входящих в и-алгебру 8', порохгдеи иую алгеброй й. Во многих задачах можно ограничиться событпями нз алгебры й. Мы пе будем вычислять верояти*стгг новых (по сравиенк|о с (й) собьггий иэ $'. Приведем только в качестве примера событие )(, состоящее нз точек с раииоиалькыми координазаии. Событие ДБЯ'. и э 4 в одномерном случае этот факт был установлен.
рассуждение для двумерного случая проводктся аналогично. Для вероятностей событий из Гу' сохраним старое обозиачеике Р (ие будем вводить Р', как в теореме о продолжении). Покажем сначала, что вероятность событии ((х,, уе)), состоящего из одной точки (хе, уе)„равна О. Действительно, так как ~~((кы у.)) <= ((, ): (и — ")з+(~-у.)'~ Ц, то, используя (ба), получим О,Х Р (((хе. Уе))),К ~ —" Отсюда при и ее находим, что Р((хе, уе))=0, й(иоясество)т счет. ио.
Перенумеровав точки (х„, у„), получим й О ((х„, уп)). ач! Отсюда и из формулы (б.а) следует, что Р(к) =О. Б схеме геометрических вероятностей выбор модели, подходящей для описания реального явления, более затруднителен по сравнению с классической схемой. Если выбрать разные модели реального опыта, тодля одного н того же события в разных моделях можно получить разные вероятности.
На выборе разных математических моделей основан известный парадокс Бертрана (более подробно см. Б. Б. Гнедеико [4), гл. 1, $ 6, стр. 36 — 37), Решим следующую задачу. Задача Бюффона. Плоскость расчерчена паРаллельнымн прямыми, расстояние между которыми Равно 2а. На плоскость наудачу брошена игла длины 2( 24 (гл 1 ВРРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (1 с, а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую. Решение. Дадим сначала определение подходящего пространства элементарных событий.
Пусть и— расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, а у †уг, составленный игф лой с этой прямой. Пара чисел (~р, и) задает поло- ! и жение иглы с точностью до выбора конкретной прямой. Поскольку иас интересует Рис. 2, только взаимное располо- жение иглы с ближайшей прямой, то можно в качестве Я выбрать ирямоугольнкк й=((<р, и): О ='<р -".и, О~п -'а). Пересечение иглы с прямой происходит в том и только Рис, 3. в том случае, когда (рис. 2) и ~!з!и <р, Таким образом, интересующее нас событие А = ((<р, и); и и 1 з) и <р) является множеством, заштрихованным иа рис. 3.
Так каи пл. А = ~ 1 э(п ~р йр = 21, пл, й = аи, 0 пгимвгы вк гоятностных пгостглнств то по формуле (6.7) находим Р(А)= —. 2! ая ' (6.8) Схема геометрических вероятностей успешно применяется в астрономии, атомной физике, биологии, кристаллографии. 6,4. Абсолютно непрерывные вероятностные пространства. Пусть 11 = ((и„и„..., и«)) — п-мерное действительное евклидово пространство, и (и„и„,, „и„) — неотрицательная функция, интегрируемая по Риману по любой квэдрируемой области из й.
Будем кредполагать, что существует несобственный интеграл по Й от функции и (ао и„..., и„) и ~... ~ я (и„..., и«) Ни,...диа =1. Обозначим 6 алгебру, порожденную квадрируемыми областями в 12. Для любого А Е (у положим Р (А) = ~... ~ и (и;... иа) Ии,...Ии„. (6.10) А О соответствии математической модели опыту можно судить по результатам экспериментов. Пусть игла была брошена и раз и л«раз произошло пересечение. При больших п частота — „ж Р(А) = —. Отсюда а 2Е можно получить экспериментальную оценку числа а яж2 —, ° —. Приведем результаты некоторых экспеа га' риментов с бросанием иглы, заимствованные из книги М, Кендалла, П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
