В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Нетрудно проверить, что все онп удовлетворяют аксиомам. В частности, при р, =р» = ... =р = †. формула (4.5) совпадает с (4.4). Приведенные примеры показывают, что вероятность не определяется однозначно системой аксиом. В рассматриваемом опыте с костью любая его мо. дель, определяемая формулой ($.5), является с точки зрения математики безупречной.
Однако конкретный опыт мои«ет хорошо описывать только одна модель, или, точнее, несколько довольно близких, Разумеется, не может быть математического доказательства соответствия данной модели данному явлению. Выбор модели осуществляется на основе не вошедших в систему аксиом дополнительных соображений с привлечением проверки практикой и опытом.
Так, выбор формулы (4А) связан с соображениями симметричности кости. Если кость несимметрична, то подходящую модель нужно выбирать среди вероятностей (4.5), когда р; отличны от 1/6. Пусть, например, кубик игральной кости склеен из плотной бумаги н к грани противоположной грани с «6» прикрепленасвинцовая пластинка. В этом случае будет выпадать всегда «бм В формуле (4,5) нужно положить р,=1, Р, =Р» = .. =Р»=() рассмотрим еще две математические модели опыта, заключающегося в подбрасывании двух ьюнет одного достоинства. М де. ь !.
Поло "нм и=(е»„ы„ы»), где элемент"Рное событие э», означает, что обе монеты выпали ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПГОСТРАНСТВА 1ТЛ. $ геРбами ввеРх, ме — обе монеты выпали Решетками ввеРх, ее,— монеты выпали разными сторонами, Если считать элементарные события равновероятнымн, то вероятность события А=(ее„эе), состоящего в том, что монеты выпали одинаковыми сторонами, равна Р,(А).=2!3. И 1. г. Пу. а-(ГГ,ГР,'РГ,РР), где знак Г на первом или втором месте в обозначении элементарного события означает, что на первой или на второй монете выпал герб; Р аналогично связано с выпадением решетки. Считая элементарные события равновероятными, для события А=(ГГ, РР) получим Р,(А) = =2~4=1!2.
Получили две разные вероятности одного и того же события. Экспериментальный выбор подходящей модели может быть проведен следующим образом. Подбросим М раз (М-достаточно большое) пару монет; пусть Мл раз произошло событие А. Если частота М„~М ж2,'3, то считаем подходящей модель 1; если Мх)Мж!)2, то выбираем модель 2, Эта задача выбора нз двух моделей (нлн двух гипотез) является одной нз задач математической статистики. Более подробно она будет рассмотрена а гл. 10. В задачах, подобных задаче о подбрасывании двух монет, практически всегда правильный выбор может быть сделан из соображений симметрии. Подбрасываются две физически различные монеты, поэтому естественно считать множество И состоящим из 4 элементарных событий, которым естественно приписать одинаковые вероятности. Модель 1 казалась бы более естественной, если бы можно было себе представить монеты физически неразличимыми.
Опыт показывает, что в действительности монеты ведут себя как различимые. Однако, этот достаточно очевидный факт для монет, оказывается неверным для некоторых типов частиц, Бозе и Эйнштейн показали'), что некоторые типы частиц ведут себя как неразличимые. Рассмотренный пример показывает, что нельзя слишком полагаться иа нятуицию; подходящей моделью может оказаться совершенно неожиданная. ") Подробнее см. Феелер 1!71, га.
11, 4 $, етр. 32. слвпствия нз аксиом а 5. Следствия из аксиом укажем сначала несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно вытекают из аксиом Ай А4. Из равенства А+А Я и аксиом АЗ и А4 следует, что Р(А)+Р(А)=1 и Р(А) =1 — Р(А). Отсюда и из аксиомы АЗ, полатая А=(е, получим Р (а) -а. (5.й) Есля А;, А„..., А„попарно несовместны (т. е. А,.А~-— В при любых 1чь!, 1, 1=1, ..., л), то Р(А,+А.,+... +А„) =Р(А,)+Р(А,)+...
+Р(А„). (5.3) формула (5.3) следует по индукции из аксиомы А4. Для любых событий А н В имеет место формула Р(А+В) =Р(А)+Р(В) — Р(АВ), (5.4) Действительно, представим события А+В и В в виде А+В А+ЗА и В=ВА+ВА. В правых частях этих равенств события, являюваиеся слагаемыми, несовместны, и, следовательно, к правым частям применима аксиома А4, Таким образом, находим Р (А+В) =-Р (А)+Р(ВА), Р(В) =Р(ВА)+Р(АВ), Из двух последних равеяств сразу следует (5А).
Из (5 4) и неравенства Р(АВ)~0 для любых А и В получаем Р(А+В)~Р(А)+Р(В). (5.5) Отсюда по индукции для любых А„ А„ ..., А„ находим Р(А+А,+... +А„) ~Р(А,)+Р(А,)+... +Р(А„). Если событие А влечет за собой В(А~=В), то Р(А)" Р(В). (5,6) вввоятнсстные пгостРАнствх ггл. ! Действительно, в атом случае В А+АВ н, следовательно, Р(В) = Р (А) + Р (А В) ~ Р (А).
Так как йуаАсй н Р(1о)=0, Р(й)=1, то отсюда н нз (5.6) для любого события А получим О ..Р(А) 1. (5,7) Рассмотренные свойства были получены как следствия А2 — А4. Можно показать, что А4 и А5 зквнваленткы следующему свойству о-аддитивности (нли счетной аддитивности) вероятности: если в последовательности А„Ад, ..., Ац,, ° . события попарно несовместно! и А= () А„Е~, то в=! Р(А)= ~,', Р(А„). (5.8) Отметим без доказательства еще два свойства, связан.
ных с аксиомой непрерывности А5. Если А,с А, с... с А„!=. А„, !с... и А = 0 А„или л ! А!~А,~...-!А„~А„„!э... и А = () А„, «и в=! Р (А ) = 1нп Р (А„). (5.9) В явном виде вероятность довольно просто задается в случае, когда й является счетным множеством; обычно нетрудно рассмотреть случай несчетного зв (напрнмер, прямая нли плоскость), но для системы $, являющейся алгеброй. Более сложные случая рассматриваются с помощью теоремы о продолжении вероятности, приведенной в 9 4.
Если вероятность задана на алгебре ф, то, зная, что ее единственным образом можно продолжить на минимальную о-алгебру порожденную (у, мы можем воспользоваться формулами (5.8) и (5.9) для вычисления вероятностей событий нз $', пэимяэы ввэоятностных пэостэанств эв а 6, Примеры вероятностных пространств 6,!. Классическая схема. Пусть й = (м„м„, ..., м,), алгебра событий )г состоит нз всех подмножеств А=(м, ° гэ„-'м») (~!1<!э<". <!»~з, й= Р(А) = —. (6.
!) Определенная этим равенством функция Р(А) удовлетворяет всем аксиомам А! — А5. Это классическое определение вероятности. Событие А происходит, если произошло одно из й элементарных событий, которые иногда называют благоприятствующими А. Распространена следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события Л называется отношение числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов.
Из формулы (6,!) следует, что события, состоящие из одного элементарного события, равновероятны: Р((ЮЗ)) =... =Р((,,)) = — '. (6.2) Если заданы вероятности (6.2), то из формулы (5.3) следует, что вероятность любого события А = (м,, мц, ..., гэ,») =-(м„)+(гэ;,)+ ... +(м,,) определяется формулой (6.!).
Танин образом, классическая схема может служить моделью тех случайных явлений, для которых представляется естественным предположение (6 2). Обычно это предположение оправдано в задачах из области азартных игр, лотерей и т. д. Это объясняется тем, что при изготовлении игральных костей, "арт и организации лотерей заботятся о соблюдении 'равиовозможностн» различных исходов, Такие же требования предъявляются к организации выборочного контроля и выборочных статистических исследований. В задачах по теории вероятностей, предназначенных для упражнений, довольно часто приводится только о"исание опыта или явления и не дается математнчеформулировка. Предполагается, что решение должно состоять из двух частей; Веэоятиостиые пуостРАиствА !Гл.
1 зо 1) выбор подходящей модели для описания данного в условии задачи опыта и математическая формулировка задачи; 2) решение математической задачи. Пример 1. Из урны, содержащей М белых и !У вЂ” М черных шаров, наудачу извлекается сразу и шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных и шаров окажется ровно гп белыхй Решение. Слово «наудачу» в оинсаипях опыта встречается довольно часто. В данной задаче предполагается, что шары были хорошо перемешаны, что все оии одного радиуса, одинаково гладкие и отличаются только цветом; выбирающий шаров ие видит, В таком случае естественно нредположнть, что все элемеитариыенсходы опыта равновероятны и применима классическая схема.
За элементарные события естествекно принять любые подмножества по и элементов, выбранные из множества У шаров. Из школьного курса математики известно, что число таких подмножеств равно Сй, Таким образом, в формуле(6.!) нужно положить э=Сй. Каждый набор шаров, входящий в интересующее иас событие (обозначим его А ), состоит нз двух частей: !) т белых шаров и 2) и — и! черных шаров. Все такие наборы можно получить следующим образом. Сначала выберем части наборов из белых шаров; число таких частей См, .затем отдельно составим части наборов из черных шаров, "число таких частей С$:и. Объединение любой части набора из белых шаров с любой частью набора из черных шаров дает полный набор шаров, принадлежащий А .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
