В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Пусть А„ †событ, состоящее в том, что прн й-м перекладывании (й = 1, 2, 3) был переложен белый шар. Положим й ==(А~А~Аз. АвА: Ав. А1АзАз~ 41АзАз Здесь, например, элементарное событие А,А,Х означает, что первый переложенный шар был белый, а два других — черные. Событием А, является следующее подмножество Я; А 1АГАвАз АаАвАз А~АзАэ, А1А,А,). Нетрудно яроверцть, что на введенные формально обозначения для элементарных событий можно смотреть как на произведения случайных событий. Если состав шаров в данной урне известен, то мы легко можем определить вероятность события, состоящего в извле. 55 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ 1ГЛ.

3 чении из этой урны шара определенного цвета. В рассматриваемой задаче состав шаров в урне становится известным, если известно, какой шар в данную уРнУ был переложен, Таким образом, мы можем считать, что заданы вероятности Р (А,), Р (А„), Р(А, ! А,), Р (А,)А,Л,) н т.

д. Например, Р(А,)=-- —,, Р(Аа!Аа)=-, Р(Аз! А,А,) = 5. (1.1) При определении второй и третьей вероятностей мы использовали то, что во вторую и третью урны был переложеи белый шар н их состав стал соответственно: 3 белых, 2 черных; 4 белых, 1 черный, Аналогично монсно приписать значения другим условным вероятностям.

По заданным условным вероятностям так же, как в в 2 гл, 2, стр. 43, мы можем полностью восстановить распределение вероятностей на подмножествах 12. По Формулам (2.2.2) и (1.1) находим Р (А,Л,А,) = Р (А,) Р (А, ~ Л,) Р (А,1Л,А,) = 2 В 4 24 5 5 5 1з5' Аналогично приписываются вероятности другим эле- ментарным событиям. Окончательно получим (1.2) По этим вероятностям однозначно определяется ве- роятность любого случайного события. Пусть ВИ1 =!, 2, 3,— событие, состояшее в том, что после пере. кладываиий в первой урне оказалось 1 белых шаров. Р (А,А,Аз) = 1тл З4 125 ' 12 Р(А,А,А,)= 1, 6 Р(АаЛзАз)= ТЯ а Р(ЛАЛзАз) = — „* Р(АаАаЛз) = —, 6 Р (ЛаЛ а'1з) = я; а Р(А,А,А,) =-;~.

з ц конечные пОследОВАтельнОсти испытАнии аз Тогда А,А,А„), А„А,А,. А,А,А,) В, = (А,ААА„ В, = (А,А,А„ В, = (А,А,А„, А,А,А„А,Х,А,), Р(В,) = —,, Р(В,) = —,, Р(В,) =- —, !4 ео е! !Ез ' Вероятность сохранения состава шаров †6011. Таким образом, более вероятно изменение состава шаров в первой урне, ио наиболее вероятным составом является первоначальный состав. В решенной задаче легко проверить, что (1.2) определяют распределения вероятностей.

Дадим теперь общее определение последовательности нз п испытаний, в каждом из которых может произойтн один из У исходов. Исходы в каждом испытании занумеруем числами: 1, 2, ..., й», Под лос»сдозатсза»»ость»о из и испытаний мы будем понимать (см. гл. 1 5 6.2) дискретное вероятностное пространство (!1, '(Т, Р), в котором !1=((1,1,...1,)», 1»=1, 2...,, й»; й 1,..., и, (1.3) и вероятности р (1,1,... 1А), приписываемые элементарным событиям»з=(1„1,... 1„), задаются формулой р (1 1. 1.) = р (1 ) р Ю 1») р (1» ! 1»1 ) р (1.( 1 " 1„ ,), (1.4) Ц р(1,»0, Х р(1,)=1; »,~3 2) р(1,!1,)~0, ~ р(1,)1,) 1 ири любом 1,; », (1.5) где числа р(1,), р(1,!1»), ..., р(1„)111,...

1,,) удовлетворяют условиям: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ [тл. 3 3) Р(1»(1,1»).= О, ~~,", р(1„(1»1»)=1 при любых 1, 1,' '!,=! л) Р(1„) 1„..., 1„,) О, ~ Р(1,[1„..., 1„!)=) 1 ! при любых 1„1,, ..., 1„,, Сн»!Вол 1», й=), 2, . „и, В обозначении элементарного события (1,1,... 1„) будем интерпретировать как наступление исхода 1„ в испытании с номером й, Формула ([.6.6) с числамй Ри»!1»!...

и„«„! =Р(1!1» 1,) задает распределение вероятностей, если Х Р(1»1ь ..- 1,) =1 и (!.6) Для доказательства (1.6) заметим, что Х, Р(1,1." 1.)=, Х (,ХР(1,1," 1.) = »е " 1д=' р (1,)... р (1„, ~ 1,... 1„,) х .~ Х Р(1„~1, .,)~= Х Р(1!)Р(1:)1!). Р(1„-»1[1! 1„-,), так «ак ~ч'., Р(1„)1,, 1„!)=1 согласно().Б). Далее 1 =! а мы можем выделить сумму по 1„, и вновь воспользоваться (1.5), Повторив этот ![ропесс и раз, получим (),6). Таким образом, мы определили вероятностное пространство, являющееся математической моделью последовательности из и испытаний. Нетрудно проверить, что число Р(1»'[1,1,...

1„,) является услов- !а! последовательность назхвисимых испытании а! ной вероятностью появления в й-м испытании исхода ! при условии, что до этого была получена цепочка исходов (1,1,... 1„,). Более общая схема получится, если считать, что множество исходов в отдельном испытании — счетно. Решенная в начале параграфа задача является следующим частным случаем рассмотренной общей схемы испытаний: л = 3, Ф = 2. 1) Р(1)=-, Р(2)= ~; 2 3 2) Р(1!1) 5 ' Р(211)= в Р(112)= 5 Р(2!2)= б, 3 2 2 3 3) Р (1 1 11) = Р (1 ! 21) = 3, Р (21! 1) = Р (2 ! 21) = —, Р(1112)=Р(1!22) = 5 ' Р(2!12)=Р(2122)= 3, где исходы а!» и «2» соответствуют извлечению белого и черного шара, В данной задаче оказалось, что вероятности Р(!) )а) ие зависят от !.

Это естественно, так как на состав последней урны влияет только цвет шара, переложенного из второй урны, и если этот цвет уже известен, то неважно, что было переложено во вторую урну из первой, Последовательность испытаний, в которой условные вероятности р (!»(1, ... 1~ ,) не зависят от !г, ..., 4 „ Р(1,11,... 1,,) =Р)',~,~„ называется келью Маркова, Более подробно такие испытания будут рассмотрены в гл. 9. В случае, когда р Д )1, ...

1,,) не зависят ог 1„ ..., 1, „ последовательность нсйытаиий называется иоследолплмльностью независимых испьиланий. й 2. Последовательность независимых испытаний В $ 1 было дано определение последовательности независимых нсиытаний как частного случая общей схемы испытаний. Дадим прямое определение. Под последоаашельносгпью и независимых испытаний, 62 последовательности испытании игл ь в каждом нз которых может осуществиться один из У исходов (обозначим исходы 1, 2, ..., У), мы будем понимать вероятностное пространство (1), бь Р), в котором Й=((1,1, „.. 1„)), 1ь — — 1, 2, ..., М, й=!, 2, ..., и, (2.1) н вероятности р(1„1,...

1„), приписываемые цепочкам из результатов отдельных испытаний, задаются формулой Ф где р,' ьб, й=1... „У, Х р„-— !. ' д=~ В данном случае равенство р(1 1,...1) =1 проверяется аналогично равенству (1,6). Число р„я=1, 2, ..., М, входящее в (2.2), является вероятностью появления исхода й в фиксированном испытании. Действительно, если событие А,(Ф) заключается в том, что в первом испытании наступил исход й, то А,(л)=((1,1,... 1„): 1,=й) Р(А,(й))= Х Рьр~," Ю„=р.

диалогично вычисляются вероятности событий более общего вида. Например, для А1~...~ ((и ''> ~ю)=((1~(а ' ° (в)' (~~=~о '' ~ 1~ =(Д имеем Р (Аг,... ~, ((;, ° ", (,)) = рь„рг, рь; Верна следующая теорема. З Т! ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ ЕЗ Теорема 2.1. Собьипия А =Ач...г,(~ ", ~а), В=В!,...г,(уг, ..., И иезаеисипм, если ((а... 1,) Г) (1«... 1а) = З'. Проведем доказательство в частном случае.

Пусть А-((1«...1„): 1,=2), В=((1,...1„); 1,=1, !«=3). Тогда '4В (('а' ' '!а) 1а 1г 1 !а 3)' По формулам (1.6.6) н (2.2) находим Р(А) = 2, Ргдг, Рг„=Р„ г ...г 1 Р (В) = ~,'г Рггргргарарггрг ° ° Рг„= Ргрг и Р (А В) = Х Рграрг»Р»рга ° ° Рга Рграра ° Отсюда Р (А В) = Р (А) Р (В). Следовательно, события А и В согласно определению (2.4.1) независимы, Общий случай рассматривается аналогично, Схема независимых испытаний является математической моделью серии испытаний, повторяющихся при неизменных условиях. Примеры таких испытаний можно найти в задачах к данной главе. Независимые испытания при йг 2 называют испытаниями Бернулли. В этом случае исходы 1 и 2 называют соответственно «успехом» и «неудачей», и нх вероятности р, и р. полагают равными р и а= 1 — р.

Элементарные события в этом случае естественно обозначать цепочками вида ага«нг... г. (2.3) По формуле (2.2) имеем Р(УУНННУ... У) р д" ", (2,4) б4 последоэлтвльиости испытх иин ггл, з где го †чис «успеховг (У) в последовательности (2.3), Во многих задачах мы часто каждому элементарному событию ставим в соответствие определенное действительное числа, например, размер выигрыша, число успехов в (2.3) и т. д. Пусть задано вероятностное пространство ((«, $, Р). Назовем случайной величиной действительную функцию от элементарного события: в = э (иг).

Для дискретных вероятностных пространств случайной величиной мы будем называть произвольную функцию от го, а в общем случае, рассматриваемом в гл. 4, на функцию 5(эг) будут налагаться дополнительные условия. Случайные величины часто обозначают греческими буквами, Обозначим р„= р„(УУН!!НУ... У) случайную величину„равную числу успехов в первых и испытаниях схемы Бернулли. Тогда, например, при и =4 имеем р«р«(УУНУ) 3 р« (НННН) О н т.

д. Найдем вероятности событий (р„=пг) =((УУНННУ... У): р«(УУНННУ...У) =пг). (2.5) Теорема 2.2. Если р„— число успехов во испвипоиилх Бернулли, гпо Р(р„пг) =р„(пг) =С„р"'д"-", (2,6) пг 0,1,2,...,и. Доказательство. Каждая цепочка вида (2.3), обозначающая элементарное событие из множества (2.5», содергкнт ровно гп успехов, и, следователыго, вероятности всех элементарных событий из (2.5) одинаковы и определяются формулой (2.4).

Характеристики

Список файлов книги