В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Теория вероятностей даже в кратком изложении, должна оставаться математической дисциплиной. Написанный вариант «Курса теории вероятностей» наиболее близок к полугодовому курсу, читаемому автором в последние годы в Московском ниженернофизическом институте (МИФИ). В зависимости от профиля вуза и математической подготовки студентов разделы «Элементы математической статистики», «Элементы теории случайных пгедисловив процессов» можно исключить из курса, сохранить в объеме гл. 10 и 11 или расширить. Гл.
10 легко дополнить, если воспользоваться книгой Н. В. Смирнова, И. В. Дунина-Барховского [161; сведения по теории случайных процессов можно найти и книге Ю. А. Розанова [13). Обзор важнейших результатов, методов и направлений теории вероятностей содержится в книге Ю, В. Прохорова, Ю. А. Розанова [121. По ходу изложения «Курса теории вероятностей» дается решение некоторого количества задач. Это не устраняет необходимости в самостоятельном решении задач, которые приведены в конце глав. Некоторые из задач являются существенным дополнением к изложенному в основном тексте. Знаком «отмечены более трудные задачи или задачи, в формулировке которых кратко вводятся понятия, не определенные в тексте.
При подборе задач были использованы многие задачники, учебники н монографии (в частности, Я, [71, [91, [1Ц, [171, [!8)). Приведенный набор задач желательно пояолиить задачами, отражающими специфику вуза, в котором будет читаться курс, предлагаемого типа, В каждой главе принята своя нумерация формул, теорем, лемм. При ссылке иа формулу, теорему нли лемму внутри главы указывается только этот номер; при ссылке на формулу, теорему илн лемму из другой главы к номеру добавляется номер главы.
Например, (1,5.8) означает формулу (5.8) из З 5 гл. !. Я пользуюсь случаем, чтобы поблагодарить сотрудников Математического института, с которыми неоднократно обсуждались вопросы преподавания теории вероятностей. Особенно интенсивными были беседы с Л. Н, Большевым, В.
К, Захаровым, О. В. Висковым во время работы по составлению новой программы курса теории вероятностей. Мне были очень полезны хрятические замечания и советы Б. А. Севастьянова и В. Ф. Колчина, сделанные ими прн многочисленных обсуждениях различных разделов курса лекций по теории вероятностей, а также их замечания, связанные непосредственно с рукописью данной цинги. ВВЕДЕНИЕ До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были явления илн опыты, в которых условия практически однозначно определяют исход.
Классическим примером является механика. Пусть, например, на материальную точку действует сила тяжести. Если в некоторый момент задать положение и скорость материальной точки, то ее дальнейшее движение определяется однозначно, так как соответствующее диффереиппальное уравнение имеет единственное решение. Однако если эту механическую модель применить к реальным физическим телам, например рассматривать движение пули, то однозначно траектория уже не будет определяться.
Начальная скорость заранее точно неизвестна; прн различных выстрелах она может принимать различные значения. Таким образом, неопределенность здесь вносится случайностью начальной скорости, Если колебания значений начальной скорости невелики (иапример, меньше ошибки при численном интегрировании уравнения), то можно использовать детерминированную механическую модель, в которой движение однозначно определяется началь« ными условиями. Неоднозначность исхода при сохранении основных условий опыта наблюдается для широкого круга явлений.
При подбрасывании монеты мы не можем предсказать исход: выпадет монета гербом вверх или иет. Результаты нескольких измерений, полученных одним и тем же прибором в одних и тех же условиях, различны. Влияние очень большого числа разнообразных причин, каждая из которых в отдельности не может повлиять на результат опыта, приводит к тому, что результат опыта не определяется заранее однозначно; говорят, что результат такого опыта случаен.
Примеры случайных явлений можно указать во многих областях науки и техники (например, в физике, введение биологии, демографии„ в массовом производстве, в системах автоматического управления и т. д,). г!ндивидуальиые результаты опытов, подбрасываний монеты, измерений, ведут себя очень «ненравильном Однако прн наблюдении результатов большой последовательности опытов обнаруживаются интересные закономерности. Если обозначить Уг число выпадений герба при У подбрасываниях монеты, та оказывается, что частота Уг/У с ростом У становится близкой к )/2. Эго явление имеет общий характер.
Частота наступления какого-либо события в серии опытов, повторяемых в одинаковых условиях, с ростом числа опытов приближается к некоторому числу р, О < р < 1, Этот факт устойчивости частот неоднократно проверялся и может считаться зкспернментальио установленным. Изучением случайных явлений занимается теория вероятностей. Каждому событию приписывается особая числовая мера объективной возможности его появления — вероятность. Величина вероятности каждого события проявляется в той частоте, с которой оно встречается при повторениях опыта, Естественно потребовать, чтобы определение вероятности отражало свойства частот.
Пусть в каждом нз У опытов может наступить только одно из двух событий, А нли В. (Например, пусть У раз брошена игральная кость; событие А— прн одном бросании игральной кости выпало четное число очков,  — выпала аЗм) Обозначим С более сложное событие, состоящее в том, что произошло А илн В (в примере с костью С вЂ” число очков либо четно, либо равно 3). Обозначим ӄ— число опытов, в которых наступило А; аналогнчйо определяем Уз н Ус для событий В и С.
Так как в каждом опыте из двух событий А н В может наступить только одно, то Ус= Ух+ Ув. Нетрудно проверить следующие свойства частот: Г. При любом А ваадкннв 1$ 2'. Если Я достоверное событие, то Фо ч-=' (2) В гл. ( после обсуждения связи реального явления с его математической моделью будет дано аксиоматическое определение вероятности. 3', Если А и В ие могут произойти одновременно и С состоит в том, что произошло А или В, то — = — +— тс 1та Лв М=Ж М' Р) гллвл ~ ВЕРОЯТНОСТНЬ)Е ПРОСТРАНСТВА 5 1, Математическая схематизация случайных явлений Теория вероятностей, так же как и другие разделы математики, имеет дело не с явлениями окружающего мира непосредственно, а с их математическими моделями.
В математической модели должны быть правильно переданы существенные стороны изучаемого явления, а несущественные — отброшены. Слишком подробное описание изучаемого явления приводи~ к усложнению математической модели а может значительно затруднить дальнейшее исследование. Излишнее уп* Р щенке модели может привести к неверным выводам. асколько удачно введена модель, можно в каждом конкретном случае судить по согласованности теоретических выводов с опытом. В повседневной речи мы часто используем слова «вероятность», «случай», «событие». В простейших явлениях уже интуитивное представление о вероятности позволяет давать правильные ответы.
Например, хорошо известно, что вероятность выпадения герба при подбрасывании монеты равна 1)2. Обьяснеиие приводится достаточно убедительное; )) возможны два события — выпал герб, выпала решетка; нн одному из них нельзя отдать предпочтение, так как монета симметрична: 2) прн многократном повторении опыта частота появления герба близка к )~2. Первая часть этого объяснения является попыткой построить модель случайного явления; вторая часть— экспериментальная проверка соответствия модели фпзическому явлению. Однако прн незначительном усложнении опыта «повседневная интуиция» или «здравый смысл» могут подводить, Представим себе, что при каждом нз ! О под- схемхтизхция случАйных яВлений 13 брасываннй монеты выпал герб.
Предлагается угадать, какой стороной упадет монета в следукяцнй раз. Довольно распространено мнение, что выпадение решетки более вероятно. Этот «вывод«делается из наблюдения результатов подбрасывания монеты примерно следующим образом: длинные серии подряд идущих гербов встречаются не часто, а если известно, что длинная серия начинает появляться, то оиа должна быстрее кончиться и, следовательно, появление решетки более вероятно.
Отсутствие длинных серий гербов нетрудно заметить, даже если не записывать результаты опытов. Однако экспериментальнан оценка вероятности появления решетки после !О гербов требует ужефиксировапия результатов опыта. Нужно отобрать все це* почки кэ 10 гербов и посмотретьч сколько раз в следующем результате будет герб и сколько раз решетка.
Ответ 112 в этом более сложном опыте свидетельствует уже о более развитой интуиции. В качестве примера совсем неприемлемого рассуждения можно привести следующий: я не знаю, пойдет сегодня дождь или нет, еледоеаспе«ьно, его вероят. ность 112. Это — тоже модель, однако, к дождю она вряд ли имеет какое-нибудь отношение, О~метим, что в примере с монетой учитывалось ее свойство — симметричность.
В примере с дождем ничего не учитывается. Многообразие задач, встречающихся в приложениях, требует четкого определения понятий, связанных со случайными явлениями. Имеется широкий круг случайных явлений, когда при многократном повторении эксперимента в одних и тех же условиях доля наблюдений, в которых имеет место некоторое событие А, становится близкой к некоторому числу Р. Тем самым число Р является объективной количественной оценкой возможности появления события А, На языке математической схемы, которую мы должны построить, «вероятность события А равна Р». Таким образом, мы будем рассматривать вероятность как функцию от случайного события.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
