В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В курсах математического анализа прежде, чем приступить к изучению функций, довольно много внимания уделяется изучению ее аргумента — действительного «гл. ~ веэоятностные пэостэлнствл числа. Аргументом вероятности является случайное событие. Прежде всего мы займемся уточнением интуитивного понятия случайного события. Далее аксиоматическп будет введено понятие вероятности. Аксиоматический подход построения теории вероятностей, предложенный А.
Н. Колмогоровым в книге «Основные понятия теории вероягпостей», сделал теорию вероятностей математической наукой. Ее аксиомы и теоремы в абстрактной форме отражают закономерности, присущие случайным событиям массового характера, В настоящее время аксиоматический подход является общепринятым. ф 2. Пространство элементарных событий Чтобы избежать неясностей при описании случайных явлений, результатов опытов или наблюдений, мы введем ряд точных понятий. Назовем произвольное множество Я пространством элементарных событий, Элементы ««этого множества И будем называть элем«я~парными собыжияаи.
Эти понятия являются первоначальными. В реальном опыте элементарным событиям соответствуют взаимно исключающие исходы. Ввиду большого разнообразия случайных явлений нельзя дать более конкретное определение множества элементарных собыгий, Для описания каждой оеальиой задачи множество Й выбирается наиболее йодходящнм образом, Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества й, 1. Подбрасывание монеты один раз. Возможными исходами в этом опыте будут: выпадение монеты гербом вверх (или просто выпадение герба), выпадение решетки, Кроме того, монета возможно встанет на ребро, укзтнтся куда-нибудь и т, д.
Можно перечислить ряд исключающих друг друга событий, которые могут проязойти с реальиоя монетой. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от ряда несущественных исходов и ограничиться только двумя: выпадение герба (можно обозначить это событие Г, а», нли мг), выпадение решетки (Р, м« а П ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОВЫТИН 15 илп ыр». Таким образом, прн описании этого опыта мы полагаем Р ) а Й ( ы а аз а ) н л и Я ( ® ~ р 2. Подбрасывание игральной кости один раз. В этом опыте естественно выбрать Я= (<о„еа„еа„ае„еа„ыа), где «аз обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении Ф очков.
Имеем шесть исключающих друг друга исходов. 3. Одна монета подброшена и раз. Каж. дому исходу опыта естественно поставить в соответствие последовательность длины п по следующему правилу: если при й-м подбрасывании монеты выпал герб, то иа й-м месте последовательности пишем Г, а при выпадении решетки — Р. Так, последовательность ГГГ... ГГ обозначает исход опыта, заключшощнйся в том, что каждый раз выпадал герб. Элементарное событие ГГ...Г Р...Р аа Раа а-ю раа соответствует исходу, в котором монета сначала подряд ш раз падала гербом вверх, а оставшиеся л — ш раз— решеткой вверх. Таким образом, множество й состоит из всевозможных последовательностей длины и вида: ГРРГ... РГ.
Прн небольших значениях и все элементарные события нетрудно выписать. Например, при и=3 Й (ГГГ. ГГР, ГРГ, ГРР, РГГ, РГР, РРГ, РРР), Нетрудно проверить, что число элементарных событий прн любом и равно 2". Действительно, все цепочки длины п можно разбить на две группы цепочек вида (Г...», (Р...». Каждую нз этих групп, фиксируя второй знак последовательности, можно снова разбить на 2 группы.
Получим 2.2 групп: (ГР...), (ГГ...), (РГ...), (РР .. ), вегоятностиыв пуостгхнстзх ~гл Фиксируя третий знак, получим 2 2 2 групп, Продолжив этот процесс до фиксирования и знаков, мы получим 2" групп, каждая нз которых состоит из одной последовательности. 4. Работа телефонной станки н. Предположим, что мы наблюдаем работу телефонной станции в течение четверти часа и нас интересует число поступивших вызовов. Если телефонная станция обслуживает яезначительное количество абонентов, то за время наблюдения может ие поступить ни одного вызова, может поступить один вызов, два вызова и т. д, Достаточно ясно, что число вызовов будет всегда ко.
нечко. Однако разумно установить верхнюю границу числа вызовов довольно ззтруднительно. Проще не ограничивать возможное число вызовов и считать возможиымн исходами О н все натуральные числа: й = =- «О, 1, 2, ...~. Это предположение проще, чем довольно искусственный подбор верхней границы числа вызовов. Предположение о возможности любого числа вызовов кажется абсурдным. Однако если окажется, что очень большое число вызовов происходит с очень малой вероятностью, то это будет совместимо с нашим практическим понятием невозможности. Подобные ситуации возникают давольно часто, Например, в страховом деле при расчетах не ограничивается максимальный возраст; при измерении довольно часто предполагается, что величина ошибки может принимать любые значения, Если в рассматриваемой задаче с работой телефонной станции нас интересует не только общее число поступивших вызовов, но и моменты их поступления, то пространство элементарных событий нужно выбрать более детализированным.
Можно, например, исход нашего наблюдения описать ступенчатой функцией, постоянной между моментами поступления вызовов и имеющей скачки в моменты поступления вызовов. В этом случае 0 — множество ступенчатых функций. б. С т р е л ь б а п о и л о с к о й м и ш е н и. Введем в плоскости мишени прямоугольную систему координат иОо н каждому исходу опыта, попадание в определенную точку плоскостя, поставим в соответствие ноординаты этой точки.
Тогда множеством ээ является З М ПРОСТРАИСТБО ЭлеиеНтАРНЫХ СОБЫТИЙ 1Т вся плоскость или множество всех упорядоченных пар действительных чисел, Этот факт мы запишем следующим образом: ()=[(И О). ооон(оо, — оос р(оо» где и, о — действительные числа, В дальнейшем мы будем часто пользоваться такими обозначениями для различных множеств.
За скобкой ( будем писать обозначение элемента множества, а после двоеточия указывать, какие элементы включаются в данное множество. Например, множество точек замкнутогоединцчного круга с центром в начале координат будем записывать в виде ((и, о): и'+о'~1». 6, Б р о у н о в с к о е д в и ж е н н е. В микроскоп наблюдается движение малой частицы, подвергающейся большому числу ударов со стороны молекул. Наблюдение проводится в промежутке времени [О, Т) Исходом этого опыта будет определенная траектория дви. жения частицы. Если интересоваться перемещением частицы вдоль заданного направления, то в каждый момент времени 1, )Е[0, Т», положение ее проекции на заданное направление будет определяться координатой х(1).
В этом случае () = [х(1)» — множество непрерывных действительных функций, определенных на отрезке [О, Т). Введем еше два пространства элементарных событий, которые будут в дальнейшем часто использоваться. Назовем и-мерным дискретным пространствам элеменгнарных событий множество Я, состоящее из векторов (и„и,, ..., а,), координаты которых и, принимают конечное или счетное множество значений и„=ИА(1), иА(2),, Пространство элементарных событий примера 3 является дискретным. Каждая координата вектора принимает значение Г или Р. В примере 4 — одномерное дискретное пространство; множество значений его координат является счетным. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [гл.
3 [а Назовем и-мерным непрерывным нрое[иранопвом элементарных собьипий множествами векторов (и„и„..., и„), где ия — любые действительные числа. В примере 5 пространство элементарных событий является двумерным и непрерывным. $3. Случайные события В примере 2 пз й 2 мы перечислили все исключающие друг друга исходы, которые могут произойти прн бросании игральной кости, Однако в этом же опыте можно говорить, например, о случайном событ[п[, состоящем в том, что выпало четное число очков. Очевидно, что это событие происходит только в том случае, когда осуществилось одно нз трех элементарных событий: [э„а„[э,.
Если в этом примере взять другое подмножество множества ь), например А ([е[, м„ы,), то можно сказать, что при наступлении любого элементарного события из А, и только в этом случае, выпадает нечетное число очков, Пусть теперь И вЂ” произвольное пространство элементарных событий, Слу* чайными собэилиями или просто ссбьиииями будем называть подмножества А множества Й. Случайные события обычко обозначают большими латинскими буквами А, В, С и т. д. Событие в физическом опыте, которое описывается подмножеством А, происходит только в тех случаях, когда происходит какое-либо элементарное событие из А.
В примере 5 событием является, например, какая- либо область А илн В в плоскости иОР; событие в реальном опыте, соответствующее А, происходит, еслк произошло попадание в точку (и, о), принадлежащую множеству А. В примере 3 при и= 3 подмножество [ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР) множества ь) можно интерпретировать как выпадение герба при первом бросания монеты. Суммой двух событий А и В назовем событие А+ В (илн А ([В), состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих, по крайней мере, одному из событий А или В.
Можно сказать, что в реальном опыте событие, соответствующее А+В, состоит в том, что про- случайные совытня изошло А или В. Пусть в примере 5 событиями А н В являются попадания соответственно в большой н малый круг (рнс, 1). Тогда событием А+В является заштрихованная область на рнс. 1, а.
Произведением ЛВ (нлн А () В) называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В. Событие ЛВ происходит тогда и только тогда, когда происходит и А и В. Для примера 5 событие АВ изображено заштрихованной фигурой на рис. 1, б. Разностью А'~В называется событие, состоящее нз элементов множества А, не принадлежащих В (см. рис. 1,в). Событие А",В состоит в том, что А произошло, а В не произошло. Событие 11 назовем досгловерным; пустое множество (д назовем невозможным событием, Событие А =- И',А называется лрошивоиоложным событию А (см. ри=. 1, в), Событае А означает, что А не произошло. % ау Ф) в) в) Рис. 1. События А и В несовместны, если ЛВ=С1.
Тот факт, что А является подмножеством В, будем записывать так: А~В (или В "~ А). Это значит, что из наступления события А следует наступление В. В примере 5, если А ш В, то попадание в область А, содержащуюся в В, означает также попадание в В. Принадлежность элемента множеству обозначается символом ~. Например, ме.Й. Понятия произведения и суммы событий переносятся на бесконечные последовательности событий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
