В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Событие А, + А1+... + А„+... = 0 А„ и=! ВЕРОЯТНОСТНЫВ ПРОСТРАНСТВА Сгл состоит из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий А„п = ), 2, ... Событие () А„=А,А,, А,, состоит из элементарных сов ! бытий, принадлежащих каждому событию А„. и= (, 2, ... Для произвольных событий непосредственно нз определения легко проверить, что А А = А, А + А =- А, А А =- Я.
Часто оказываются полезнымн следующие равенства: А+В= АВ, (ЗА) (А+В) С = АС+ВС, (3.2) Докаткем, например, второе. Нужно убедиться, что множества, стоящие в обеих частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть произвольное е~(А+В)С, Тогда м~А+В и мбС. Из м~А+В следует, что м принадлежит хотя бы одному слагаемому. Пусть, например, мб А. Из а~ А и м~С следует по определению произведения событий, что м~ АС, и, следовательно, м~ АС+ВС. Таким Образом, любой элемент множества (А+В)С является элементом множества АС+ ВС, т. е.
(А+В)С~= АС+ ВС, Предположив, что м~АС+ВС, мы, используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, покажем, что любой элемент АС+ ВС является элементом (А+В)С. Отсюда следует доказываемое равенство, так как множества его левой и правой частей состоят из одних и тех же элементов. До проведения доказательства равенств полезно, считая А, В, С множествами на Плоскости, сделать рисунки множеств, стоящих в левой и правой частях доказываемых равенств. й 4. Аксиомы теории вероятностей В конце 3 ) было отмечено, что вероятность будет рассматриваться как функция от случайного события. В $ 3 было дано точное определение случайного события.
Функции действительной переменной определяются обычно не для всех действительных чисел, т 4! ЛКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ е! а только для их части, называемой областью определения, Вероятность тоже не всегда удается определить для любых подмножеств (случайных событий) множества Й. Приходится ограничиваться некоторым классом подмножеств, от которого естественно требовать замкнутость относительно операций, введенных в предыдущем параграфе. Пусть Й вЂ” произвольное пространство элементарных событий, а 4! — некоторая система случайных событий. Система событий <Т называется а.<гсброй собып<ий, если !.
ЙЕ$. 2. Из того, что А Е3 и )уЕ3, следует, что А !! 6 <у, А + 8 Е Ь А '', В Е Ь Из ! и 2 следует, что 8=Й ~ЙЕ<<!. Наименьшей системой подмножеств, являющейся алгеброй, очевидно является система $ = «<<з, Й). Нетрудно проверить следующее утверждение. Если От — система всех подмножеств множества Й, то т' — алгебра. Если Й вЂ” конечное множество, то система всех подмножеств будет также конечным множеством. Для Й нз примера 2 $ 2 можно выписать все события алгебры $, состоящей из всех подмножеств Й: Е<; «ы,), «а<<), ..., «Л441; «<ч<, «з4), «<44„<а<)...,, «а<4, <о<); «со<, <44, <а<), «<э4~ а<4~ <аз.
а<4~ <а4~ <Р4) =Й В этом примере алгебра $ состоит из 2'=64 событий. Если множество Й состоит из У элементов, то число всех подмножеств равно 2". Действительна, число последовательностей из О н 1 длины й< равно 2", а между такими последовательностями и подмножествами Й можно установить взаимно однозначное соответствие по следукчцему правилу: элемент с номером< из множества Й включается в подмножество, соответствующее данной последовательности, если на <-и месте последовательности стоит 1. Приведем еще один пример алгебры событий. Пусть Й= ««и о): О С и < 1, О < о с.
1) — единичный квадрат йл вероятиостныв пространства (гл. ! в плоскости, В курсе анализа доказано, что объединение, пересечение и разность квадрируемых фигуР является квадрпруемой фигурой, Следовательно, система $ квадрнруемых подмножеств квадрата ьл образует алгебру событий. Алгебра событий $ называется п.алгеброй илн борглгвской алгеброй, если из того, что А„ Е вч я = 1, 2, „ ., следует Я А„~Ь, Я А„~Ь. Рассмотрим следующий пример. Пусть О=(п! — со < и< со1- чпсловая прямая, Определим систему множеств Я», состоящую из конечных н бесконечных отрезков, интервалов н полуинтервалож [иь и»1=(и и!»».и» п»1 (яг, ие1 (и: и! < н»»гг!), (пг, и,) =(и: и, ~и < пт), )ит, пе)= (и: и! < и < яе), где и,, и, — действительные числа (и! »С ие) и, кроме того, в строгих неравенствах ит, и» можно ааменвть па — от, + ю.,'Эта система Я» не валяется алгеброй; ианример, сумма множесп! ( — со, — !)+(), + се) яе входит в Я», хотя каждое слагаемое принадлежит я», дополним 8» всеми конечнымн суммами множеств нз 8,.
Новаи более глврокая система множеств Я является алгеброй, Назовем о.алгебру Я' мшгамальиой о-алгеброй, порождеииой $, если любая другая о алгебра, содержапгая множества из (), содержит также все множества пз '.$*, Множества из минимальной о-алгебры рассматриваемого примера называются борща»слили. 9 частности, борелевскнм ююжесгвом является каждая точка числовой прямой (вырожденный отрезок (я,)= = (и,, иг)). Так как множество ракиоиальиых чисел гт счепю, то пх можно перенумеровать: )т=(гт, г„, ..., г, ...1. Тогда )т = () (г 1 и, следовательно, )т является борелевскнм множс»= ! стаом.
Из Г)~$» н »сея» следует, что множество ирраанонзльнмх чисел Й',Я~Я», т. е, тоже является борелевским. В дальнейшем мы обычно будем рассматривать те модели случайных явлений, в которых можно ограничиться алгеброй событий и ие переходить к о-алгебре. Теперь мы можем ввести понятие вероятности события. Числовая функция Р, определенная на системе событий $, называется вероятностью, если А1.
3.— является алгеброй событий. А2. Р(А)~ О для любою А ч ту. аксиомы таОРйи ввРОятнос тая (4,2) имеет место равенство (йп Р(Ао)=0. (4.3) Тройку (ью Ь, Р), в которой ф является о-алгеброй и Р удовлетворяет А2 — Аб, называют вероятностным пространством. Если вероятиосгь Р удовлетворяет А1 — Аб и алгебра $ не является о-алгеброй, то функцию Р можно доонределить на множестаак ил минимальной о-алгебры й», порожденной $, Приведем беа докааательства следующую теорему. Теорема о продолжении вероятности. Прете троятность Р рдовветеоряет А1 — Аб и й» вЂ” минимальная о.алгебра, порожденная и.
Тогда сьнесгпврст и пртполг единственная Фрн«цил Р' (Л), «вторая определена на 8», ийовгетвортт А2 — Аб и совпадает с Р 1Л), «седа А бв. Таким образом. малого сраэу счнтатгь что в А1 система ф является о. алгеброй. Простое вероятностное пространство соответствует "Римеру 2 из р 2. Множество всех возможных исходов, при бросании игральной кости состоит из шести элементов ьй=(со„м„..., ег,). Пусть алгебра событий $ Аз. Р(и)=). А4 (ансиома конечной аддитивности).,Если А и В несовместны, то Р(А+В) Р(А)+Р(В), Не вдаваясь в детальное обсуждение связей опре. деленной таким образом вероятности с действительно.
стью, отметим только, что аксиомы А2, АЗ, А4 пол. костью аналогичны свойствам частот (1) — (3) (см. введение). Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности: Аб, Для любой убываюи(ей последовательнослги А,=оАа~...~Ао~... (4А) событий из )у такой, что Я Ао=а), ВИРОятнОстные НРОстРанствд ггл, ~ состоит из всех подмножеств ьа. Произвольное случайное событие А~ф можно записать в виде А = = (еаь, «ь„..., ее,„), где индексы )„а„...
„(а все различим и каждый из них может быть любой цифрой от 1 до б„й — число элементов в А. Событие В, состоящее в том, что выпало четное число очков, запишется в виде В=(св„ае„сеа). Здесь й=З, (,=2, (а=-4, аа = 6. ДлЯ пУстого множества 4О' положим а =О. Определим на множестве (т функцию Р(А) формулой Р(4)= б ' (4.4! где й †чис элементов в А. Эта функция определена на алгебре Я (аксиома А! выполнена); из определения следует, что Р(А):ъ0 (А2), Р(а)) =-1(АЗ), так как ь) состоит нз 6 элементов.
Пусть теперь А = «а;„...,сае ), В= «сан, ..., са; ) и АВ =- йу (например, А = «ау,), В = «еа„ау„)). Тогда А +  — — «ач„ап,, ..., Вп (А+В=- «е„св„аа,)). По формуле (4.4) находим Р(А)=— Ф 6 Р (В) а Р(А+В) = ь Отсюда сдедует, что выполнена аксиома А4. Аксиома А5 в случае конечных 3 следует нз предыдущих аксиом. Деаствнтельно, в атем случае в (4Д), начнная сненеторогеа, все ссбыеня совнадут с н, а Р(а)=-О (согласно А4 нмеем Р(л).=Р [А+ Ф).=Р(л)+Р~вь отсюда Р(н)=0). Таким образом, введенная формулой (4А) функция Р(А) является вероятностью. По формуле (4,4) вероятность выпадения й очков (событие «еа)) равна 1уб.
Этот результат согласуется аксиомы твоени ввгоятноствп 25 с интуитивными представлениями. В рассматриваемом п ямере в случае симметричной кости естественно читать все возможные исходы равновероятными. Нетрудно задать на )у в рассматриваемом примере ф)икции, отличные от функции (4А), Пусть задано 6 произвольных чисел р; -:': О, » = 1, ..., 6, удовлетворяющих условию р,+р»+... +Р,=1, Определим на 6 функцию Р(Л), поставивсобытию Л = (еч„е„,...,м,,) в соответствие число Р(Л)=р, +р, +...+р, (4.5) При Различных наборах р,, р.„..., р, будем получать разные функции Р(Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
