В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Среднее арифметическое чисел, полученных в и испытаниях, близко к (1. 1). Это следует нз близо- сти значений частот к соответствующим вероятностям. Действительно, пусть получены следующие значения: у„у,, ..., у„, где ухЕ(хо х„, ..., х4. Тогда Ю.ту»+" ° +в» »1х»+л»х»+ ..+ли»Ф и и Частоты пх)л значений х должны быть близки к р„и, следовательно, " .= Р,х,+р.,х,+...
+р х, (1.3) 106 числоВые хАРАктеРистики случайных Величин (гл. а Точная формулировка н доказательство свойства (1.3) будут даны в гл. б, Перейдем теперь к определению математического ожидания. Наиболее удобное н простое определение математического ожидания произвольной случайной величины вводится при помощи интеграла Лебега. Математическим ожяланнем случайной велнчвнм ь, ааланной на вероятностном пространстве ((7$Р), наанаасгся чнсло М1 = ~ Ь (го) Р (Вм), еслн интеграл дебета, стоян!ай в правой части равенства, сунтествует (см.
(21, стр. 74, 3!9-324). Испольауя ннтеграя Стялтьеса, можно МЬ записать в внае МГ ~ аВРь(л), Чтобы не пользоваться теорией интеграла Лебега, ограничимся определениями математического ожидания для случайных величин, заданных на дискретном и абсолютно непрерывном вероятностных пространствах (см. 9 б гл. 1). Математическим ожиданием Мь случайной величины (, а(пта), заданной на дискретном вероятностном пространстве (ьа, $, Р) (9 б гл. 1), назмвагптсл шсло М1 = Х 1 (юа) р.
(1.4) ач! если ряд абсолютно сходится. Если этот ряд не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание не существует. Математическим ожиданием МЬ" случайной' вгличинсг " Ь= ~ (и„и„..., ив), заданной на абсолютно непрерывном ввроятностномв пространстве (Я, 3, Р) (см. 9 б гл, 1), назгявается число Мь=)...)ь(ио..., и„)я(и„,..., и„)йи,...йи„, (1.5) если интеграл абсолютно сходится, млтвмлтическое ожидлнив Если интеграл (1.5) не сходится абсолютно, то гово- рят, что математическое ожидание М~ не существует. П р и м е р 1.
Найдем математическое ожидание выигрыша ~ первого игрока в примере 1 2 ! гл. 4. В этом примере ()=((, р), р((())=р((р))=-,', дг)=1, др)= — 1, По формуле (1,4) МС=~(() Р((())+С(Р) Р((Р)) =-,' 1+-,' ( — Ц =6, Пример 2, Пусть в дискретяом вероятностном пространстве (2 6 гл. 1) й= — (1, 2, ..., )», ! р, =,, Величины р» удовлетворяют (!,6.4): »(»+!) М ЮЬ »=1 »-! Положим 3,=$,(Ф)=( — 1)», $»=3»(а)=( — 1)»й. Так как ряд,,», — сходится абсолютно, то М$» су- ~"-ф ( !)» „~ »(»+Ц ществует.
По формуле (1,4) "% =,л'.. 1»(й)р» = » 1 »= 1 » 1 '+' » Полагая в разложении (п(1+л) = Е ( !)»" »=1 » с» ( — ))» х=1, получим » — „— 1п2. Таким образом, »н! 2ев числовые хАРАктеоистики случайных величин !Гл. В М$,=1 — 2!п2. Однако Мй, по определению не суще» "р ! ствует, так как ряд ~„(( — !)Ай[ ° — „,! расходится. 2=1 Пример 3. Пусть в абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (!1, рт, р) 5 6 гл. 1) Я=((я, о)."иг+ог«"91, н(и, и)= —, (и, о)е!1.
Рассмотрим случайные величины: 42=г йг+иг, $,=й, если й — 1 =' $'йг-(- оо' г< й, й = 1, 2, 3; ! !'ар+но, ЕСЛИ Григ+ар<1, 1, если 'г' и'+ ор~~ 1. По формуле (1.5) находим М~„= ) ') В (и, ) а йь'42А При вычислении етого интеграл» естественно перейти к полярным координатам: и=рсоарр, о ра!прг. Тогда Ммьо = Д $2(рсояй р ра!и рр) — "г(рррр. гр 2 г 2 РР!2 М~ ~— — ! ) — р(р Йр = — ) р'г(р: — ° — ~ = 2 в3 а'з!о о гм г 2 з мр,= ' ! рр()ррр.р)гррр~.(рррр)-~~, г грр р $ з мй, —,' ~ й,г ~ рчр+ ~ рйр)=та, Отметим, что в данном примере величина $, абсолютно непрерывна, $2 — днскретна, а "ар — смешайного типа. Действительно, р г ~1,(л)=-р(4 <л) = Ц а„г(иск= —, лба,31, ыгрт<рр З!1 м»твмптнчвское ожидпиив и, следовательно, рд(х)= — х. х~«0, 3«; рт,(х)=О, хЯО, 31.
2 Так как Д»=й) «(и, о): й — 1.")" и» ~( о» ~ Ц, й=1,2, 3, то Р($,=1) = 1~9, Р($» =2) = 113, РД =3)=-6~9. Нетрудно проверить, что О, х < О, Г»,(х) = х»/9, О ~х 1, 1, х>1. Если уже известна плотность распределения слу- чайной величины или вероятности значений дискретной величины, то может оказаться, что математическое ожидание удобнее вычислять не по определению, а по формулам, которые мы получим в качестве частного случая следующих двух теорегл.
Т ее рвиа 1.1. Пусть (5„$„..., с„) — дискретный случайный еекпгор, для которого Р($,=х»», $»=х»», ..., $,=-х „)=р„,, ~0, »г *Л' ' Фз Х» -.Х»„* Если ряд ~ «д(хм, ..., х»„)«р„сходитм" ь~ ся, то спучайная величина Ч=й(~»о $„° ° °, з,) имеет нателатическое ожидание М»1 = ~~'„, 'у(х»„..., х»„) р„„. (1,6) »» " »» Теорема 1.2.
Пусть($г, $, ..., й,) — абсолютно непрерывный случайньш" вектор с плотностью распределения р»,, » (х„х„..., х„). Если интеграл ) «я(х„..., х„)«р»„,а (х„, ..., х„)г(х»...Их„ 11О числовые хАРАктегнстики случхиных ввличин 1гл. 5 сходится, то математическое оясиданив случайной величины т) уД„..„$„) существует и Мп= ) ... ~ я(х„...,х„)рь,.а (х„...,х)дх,..а(х„.
Отсюда, полагая н=1 и у(х)=х, получим формулы для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения илн по вероятностям значений дискретной случайной величины. Если ~ Р($ хь)=*!, тоизформулы(1.Б)получим ь~ ! М$= ~~~ х„Р($=х„). Ф ! (1 Я) Если Рь(х) — плотность распределения в, то из формулы (1.7) следует, что М$= ) хрь(х) й.. (1.9) Математическое ожидание случайной величины =т)(е„) у($,(э,„), Ф,(м„), *, 4„(м„)) по формуле (1,4) запишем в виде * МЧ = Х,Ю (ьг(мм) $з М,) °, $„(э )) р„.
(1.11) Доказательство теоремы 1.1. Проведем доказательство для случая, когда случайные величины $„(„, ..., $„заданы иа дискретном вероятностном пространстве (Я, $, Р) (см, $6 гл. Ц, По определению случайный вектор называется дискретным, если существует такое множество точек (хео хь„..., хь„), я = 1, 2, ..., что млтемАтичаское ожидАнив Преобразование (1.11) к виду (1.6) основано на «приведении подобных членов», Введем множества А„=(т: $,(в )=хво ..., $„(м )=х,п).
(1,12) Очевидно, что любая пара множеств А» н Ао 1~й; не имеет общих элементов и 0Аз — — (1,2,3,...,т,...», Ф=! Если М!) существует, то ряд (!.11) сходится абсолютно и его члены можно произвольно переставлять. Тогда (!.1!) можно записать в виде Ф МЧ= Д Д к(э ( ). ° ° ° ь,(м ))р ° Из этоги равенства с учетом (1,12) получим Мт)= Х Х И(х!!, . „х,),,„ й ! шеАз ,~, я(хз!...,, х~,„),~~ р . а=! юбла Отсюда следует формула (1.6), так как р,„=р($,=хы, ° ° °, $„=хм)=р, пзела " " ь! "' ь' Если абсолютно сходится ряд в (1.6), то, начав с (1.6), можно аналогичными рассуждениями получить формулу для Мт! в виде (1.!1).
Доказательство (!.6) для случая, когда дискретный случайный вектор задан на абсолютно непрерывном вероятностном пространстве, а также доказательство теоремы 1.2 приведены ие будут. Эти доказательства при условии использования только фактов из курса обычного анализа потребовали бы введения дополнительных лишних ограничений на рассматриваемые случайные величины.
Приведенное для дискретных пространств доказательство дает достаточно хорошее представление о связи формул (1А), (1,5) с (1.6), (!.7), 112 ~!ислоеые хАРАктеРистикислучАйных Величии 1гл. Б Воспользуемся формулами (!.8) и (1.9) для вычисления математических ожиданий случайных величин, распределения которых были приведены в т 2 гл. 4.
!. Нормальное раенредехенае. Плотность распределения вепичииы $ задана формулой (4.2.3), Заменяя в (!.9) ре(х) по формуле (4.2.3), получим а 1*- в1' 1 М$ = ~ хе " дх. р 2~~ Заменой переменной интегрирования х = ау+а приведем М$ к следующему виду: Ю УВ М$= — ~ (ау+а) е ' ду с в* ~о в> 1 ду ОР 4 уй Уа 1 Так как функпия уе ' нечетная, а — „е ' яв* !'Еп ляется плотностью нормального распределения с параметрами (О, Ц, то в правой части последнего равенства первое слагаемое равно О, а второе а.
Таким образом, для нормально распределенной величины М» =а, (!.13) 2. Показательное распределение. По формулам (1.9) и (2,4) находим М$= ( хр»(х)дх=. ( ахе ™д»= —, 1 СФ в 3. Равномерное распределение. Подставляя (4.2.б) в (1.9), найдем М$= ~ хрт(х)дх= — ~хдх, свойствА МАтвмлтическОГО Ожидлния !!а Отсюда о+а Мь= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
