В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть $ принимает значения О, 1, 2, „г Доказать, что Мй ~ Р(йОьгп). м=! !9'. В задаче о случайном блуждании, рассмотренной в $ $ тл 2. обозначим т время до поглопсення в точках О или и Нанти Ма =М(ч ) $е = е), где сг — координата частипы в момент времени(. Указание: воспользоваться формулой (53) для составленяя уравнения в конечных разностях для Мь. 20. Пусть Мйг=пы Мйз=аа, Ой,=оы > О, Оса=паз > О соч (йг, йз) = паз.
Найти и и )), при которых выражение Мф» — ай,— ()) минимально, и П. пестанье ГЛАВА б ЗАКОН ВОЛЬ(ИИХ ЧИСЕЛ $ (. Неравенство Чебышева Числовые характеристики случайных величии, введенные в предыдущей главе, позволяют давать некоторые оценки распределений случайных величин. Т е о р е м а 1.1. Пусть 5 = 5 (ы) ~ О при любом ге Е ().
Если М$ существует, то при любом е > О Р(ь" е) ~ ((.() Доказательство, Проведем доказательство в сл)чае, когда 3 задана в абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (см. $ б гл. (). По определению математического ожидания имеем Мс = ~... ~ $ (и„..., и„) и (и„..., и„) Аи, би,„.би„. Пусть Й,=((ио .. „и„): 4(ио ..., и„): е)ы(л. Введем случайную величину О, если (и„..., и ) ЕИ'',,Я„ е, если (и„..., и„) Ей,. Прн любом (и„..., и„) ЕП имеем $ ~т), Умножим обе части этого неравенства на и (и„и„..., и„) н проинтегрируем по П.
Получим, что МС МВ. Отсюда след)ет утверждение теоремы, так как МП Р(Ф.)= Ра~е). Доказанная теорема позволяет легко получить не- равенство Чебышева, нввлввиство чввышввл Теорема 1,2 (неравенство Чебышева). Если случайная величина $ имеет дисперсию, то при любом е эО Р((6 — м~!р.»е) < ой. Доказательство, Случайная величина ($ — МС)'~О при всех е ЕЙ и Мт)=М($ — М$)'=(А конечно, Следовательно, можно воспользоваться неравенством (1.1), Таким образом, Р () $ — М$ ) ~ е) = Р (и ~ е') ..-9 = —,. Неравенстго Чебышева позволяет оценивать вероятности отклонений значений случайной величины от своего математического ожидания. Пусть проводится п независимых измерений некоторой неизвестной величины а.
Ошибки измерения 6„ 6„ .. „ 6„ будем считать случайными величинами. Предположим, что М6„=0, й 1, 2, ..., и, Это условие можно рассматривать как отсутствие систематической ошибки, Пусть еще 06„6*. За значение неизвестной величины а принимают обычно среднее арифметическое результатов измерений. Тогда ошибка в определении числа а будет равна Ч,= 4~+аа+ ° ° +ал и 1 113 Ойдо--„~Фбг+" ° +(Зба)= — „~ Мпв-б.
Предположим, что нам нужно, чтобы ошибка т1„не превосходила Ь с достаточно большой вероятностью, Наир имер, Р (~ г1„) < Ь) > 0,99. Это неравенство можно записать в эквивалентном виде Р(10„1Р~6) ~~0,01. (1,г) По неравенству Чебышева имеем оч„ в 1гл. в злкон аольших чнсвл Следовательно, (1.2) будет выполнено, если зй ь' -„ат(0,01 илн п > !00 —,. Таким образом, мы получнлн оценку числа измерений, необходимого для получения заданной точности. В рассматриваемой задаче оценка для и является завышенной.
Ее можно улучшить, если воспользоваться тем, что п„является суммой независимых случайных величин. Будет показано (см. теорему 2.1 гл, 8), что прн больших а величина т), имеет распределение, близкое к нормальному. Однако если о случайной величине ничего не известно, кроме математического ожидания и дисперсии, то оценку, которую дает неравенство Чебышева, улучшить нельзя.
Укажем распределение случайной величины, для которой неравенство Чебы. шева при данном Ь'= ()$ и з > Ь обращается в равенство. Пусть ьз ьь Р($0)=1 — -т, Р(5= — е)=РД=е) е зе' ' Тогда М$=0, ()$=М$'=( — еРй;,+ е' —,=Ь' Ьа Ьз яы Р()$).-.е»= —,',, Нетрудко получить еще ряд полезных неравенств типа неравенства Чебышева. Пусть ~ (х) — неубывающая неотрицательная Функция. Если существует М! $), то при любом е >О (1.3) Доказательство проводится так же, как доказательство теоремы 1.1. Из (1.3) нетрудно получить еще два не- равенства. Если Ме'4 конечно, то Р (з' х) ~<е-' Ме'4, Х > О. (1,4) Если.М)5)'" конечно, то Р(Д)=-х)~~а "М)$), х>0; лз>0.
(1.5) зякон еольшнх инока 5 2, Закон больших чисел Во введении был отмечен зкспернмеитальный факт, состоящий в том, что в некоторой длинной серии опытов частота появления события А сближается с определенным числом, которое можно рассматривать как вероятность события А. В математической модели серии опытов зтот факт будет доказан. Сначала дока* жем более общую теорему. Теорема 2.1. Если случайные величины 5„$„... , $„, ... попарно независимы и Ию „-т~ 0$„= О, (2,1) л-~ с то для любого е> О 1[шр(~ й'+й'+"'+"" ~'+ "+'"+ ~"~<е)=1. в-~ Л в До к аз а тельство.
Положим Ч = Ф— е Утверждение теоремы равносильно тому, что прн любом е>О (мо Р'() т(„— Мт(„(,3: е) = О. (2.2] в в Так как случайные величины $„...,$„попарно независимы, то (Ун„- — „',~ О~„. (2.Э) е =! По неравенству Чебышева Р(~н„— Меы) 3:е) ~--2е. Отсюда, воспользовавшись (2.3) и (2.1), получим (2.2), Теорема доказана, Случайные величимыЦ,...,5„, ... называютнвнор- Рвлированными, если сот Ц,Д~) О крн любых 1, 1,(чь1.
закон вольших чисел 1гл з В условии теоремы 2.1 можно вместо попариой независимости величин $о ..., йп.... потребовать, чтобы они были иекоррелированйыми, так как для иекоррелнроваииых величин сохранится формула (2.3). Если для величин $„..., $„, ... выполнено утверждение теоремы 2.1, то говорят, что к ним применим закон больших чисел, Отметим некоторые частные случаи етой теоремы. Теорема 2 2 (теорема Чебышева). Если случайные величины 4„$ы ..., $„, ... локарно независимы и 0$ь~С, й=1, 2,,, (2.4) где С вЂ” неколюрая постоянная, то при любом е ~ О В Р ~~ 5~+...
~зп М$~+... 4-М$„~ ) ' Теорема 2.2 следует из теоремы 2.1, так как из условия (2.4) следует (2.1). Теорема 2.3. Если случайные величины $„$„... ., „$,„... одинаково распределены, попарно независимы и имеют конечные дисперсии, то при любом е >О 1)гп Р ~ ~ $1+ ". +4л а ~ ~ е) еде а=М,'. Теорема 2.3 следует из теоремы 2.2. Действительно, Рад. й=1, 2, ..., существуют и равны между собой. Следовательно, выполнено условие (2.4).
В гл. 8 теорема 2.2 прн помощи характеристических функций будет доказана без предположения о существовании дисперсии. Теорема 2,4 (теорема Бернулли), /урсть р„— число успехов в п испытаниях Бернулли и р — вероятность успеха е отдельном испытании, Тоеда пра любом е>О 1)тР~~Ь вЂ” р~ < е) =!. Доказательство. Воспользуемся для р„представлением (4,4.18): р.=$ +ч + "° +$„ з»дачи к гл»ав а где й», 1=1, 2, ..., а, независимы н Р(р»=1)=р, Р (й» = О) = 1 — р = 0.
Дисперсии величии й», очевидно, сушествуют и М5»= р. 'Таким образом, доказываемая теорема сразу следует из теоремы 2.3. Схема Бернулли является математической моделью серии опытов, повторяюп(ихся в неизменных условиях. В каждом опь1те может произойти событие Л, которое мы иазвалн успехом. Согласно теореме Бернулли частота р„/и наступления события А сближается с вероятностью р. Этот же факт установлен экспериментально.
Математической моделью последовательности из и измерений неизвестной величины а является случайный вектор (с„й„.. „$ч), где $», й=1,2, ..., и, независимы, одинаково распределены, Ма»=а, 1)й»=бэ. По теореме 2.3 среднее арифметическое $~+" +1л и прн больших и мало отличается от измеряемой вели- чины а с вероятностью, близкой к 1, Задачи и глава 6 1. Предполагается провести 10 измерений хт, х„ ..., хм не.
известной величины о. Считая хо ..., х,э иеаависимыми иормальий распределенными случайными величинами с »ах» = а, Ох» =0,01, найти д„ если р~~ «»+«+ +'~ о~<д) 0,00, й. Пусть случайная величина 1 имеет нормальное распределение с параметрамн (а, о). Оиенпть по неравенству Чебыи~ева Р (1 $ — о 1 > йо) .
Сравнить с точным значением этой вероятности, 3. Доказать неравенства (1.3), (1 4), (1.5), ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСБЛ !гл е 4. Применим ли закон больших чисел к послеховательчостн независимых случайных величин см ча, ..., $а... „если Р йа = У7) = Р („=- Р З) = —, Р Ца = О) = ! — — У ! ! Зрт в уЪ 5.
Прнменнм лн заков больших чисел к послеловательностн независимых сл)чайных велнчнн $п Еа, ..., Ба, . „еслн онн нормально распределены с и,'„а=б, 0за =сбе, с > О, и > 0 — некоторые постоянныеа 6. Доказать, что к восхековательностн $м ья, ° ° ьь °" применим закон больших чисел, есак )сочф», $,))~С для всех й, 1=!,2, ... н соч($а, Ц)-ч.О прн ) — !) — ьхо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
