В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ГЛАВА 7 ПРОИЗВОДЯЩИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ф)7ИКЦИИ $1. Производящие функции. Определение и свойства Среди дискретных случайных величин особенно часто используются величины„принимающие только значения А=О, 1, 2, ..., Я РД=й)=1. Такие случайные величины называют целочисленными.
Производящие функции являются удобным аппаратом исследования распределений целочисленных случайных величин. Производящей функцией А(х) последовательности действительных чисел а„а„а„... называется степенной ряд А (х) =а,+а,х+а,х'+..., (1.1) если он сходится при 1х) с. Д, где ег >О, х — действительная переменная. Производящую функцию ~р(х) =,"~', р,хе (1,2) последовательности чисел ры й=О, 1, 2, .
„такой, что р ~~0 и ,Х,» =1 (1.3) будем назъ|вать вероятностной производящей функцией. Если ре=р(5=й), Ф О, 1, 2, ..., то мы иногда будем вместо Ч (х) писать Чт(х). По теореме 5,1.1 Ф ар)(х) = Х х"Р(3=2)=-Мхт. (1.4) е в 1вз пРОизВОдящие и хАРАктеРистические Функции 1гл. 1 Теорема 1.1. Пуста «р(х) — вероятностная ~роизводяецая функция, определенная формулой (1.2). Тоеда 1'. ф(х) определена враждой точке отрезка [ — 1, !1. 2.
'ф(!)=1. 3'. Соответствие, устанавливаемое формулой (1,2), между множеством производягцих функций ф (х) и мноясеством распределений «р» является взаимно одно'значна«м. Л о к а э а т е л ь с т в о. Первое утверждение теоремы следует из того, что степенной ряд в (!.2) мажорируется пря «х««1 сходяшимся рядом в левой части (1.3). Равенство ф(1)=1 совпадает с (1.3), Третье утверждение теоремы является следствием единственности разложения функции в ряд Тейлора.
Теорема доказана. Используя формулы для козффициеитов ряда Тейлора, можно явно указать распределение «р„», соответствующее вероятностной производящей функции ф(х). Имеем ов р„= —,, фм(0), я=О, 1, 2, Пример 1. Пусть случайная величина $ имеет биномиальиое распределение Р($ — т) — Ср д, т — О, 1...,, н.
По формуле (1.4) фь(х) = ч~р» С,",р"а" "х" (рх+«1), А О Таким образом, ф! (х) = (рх+ «)1". (1.5) По производящей функции легко определить моменты случайной величины. Особенно просто находятся математические ожидания — (Š— я+ !). (1.б) Математическое ожидание (1.6) будем называть й-м факториальным моментом. Зная факториальиые мо- пРОизВОдящие Функции менты 1-го и 2-го порядков, можно найти дисперсию по следующей формуле: 0$ = М$ Д вЂ” Ц+ Мь~ (М«), (1.7) Теорема 1.2, Если конечен й-й факториальнмй момент, то существует лееоетороннля производная ~р~~" (Ц и М$($ — Ц...($ — й+Ц=ча«'(Ц; (1.8) е частности, М$=<р,(Ц, (1.9) Доказательство.
Прн любом )х(<! функцию о (х) можно дифференцировать сколько угодно раз. Таким образом, при любом й определена й-я производная <р'«'(х]= ~ т(т — Ц...(т — й+Цх «Р(к=т). Ф=О (1.10) По условию теоремы конечен Ьй факториальный момент М«(в — Ц...($ — й+!) ~ т(т — Ц.. ...(т — й+ Ц Р ($ = т), являющийся суммой ряда (1ЛО) в точке х =1. Следовательно, по теореме Абеля ~Г<«' (х) непрерывна в точке х='1 и )пн «р<«'(х)=,~~'„т (т — Ц...(т — й+ ЦР(3=т) = « 1-0 ы=в =«р' '(Ц Теорема доказана.
Пример 2. Найдем М$ и 0$ случайной величины $, распределенной по бнномиальиому закону, Дифференцируя (1.5) два раза по х, получим «еа(х) =пр(рх+о)' ', <рО(х) = и (и — !) р'(рх+г))-*. !4О ПРОИЗВОДЯЩИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ «ГЛ. 7 Отсюда, воспользовавшись (1.8), прн х 1 получим И4='р«(1) лр(р+4) '=лр, Мй(й — 1) т«(1) =п(л — 1) р'(р+д)" '=л(п — 1) р*.
По формуле (1.7) С«$ = л (л — 1) р*+ лр — л*р' =- пр (1 — р). Легко вычисляется й-й факториальный момент бнно- миального распределения, Так как чф (х) = л (л — 1)... (л — й+ 1) р' (рх+ 4)" ", М$($ — 1)...(3 — а+1) =п(л — 1)...(л — 1+1) р». (1.11) Применение производящих функций к изучению сумм независимых целочисленных случайных величин основано на следующей теореме. Теорема 1.3.
Если случайнмввеличинм $„$„... ..., $„независимы, лто «)«,+....«„(Х) =~с«, (х)" ° ° ч«„(х). Доказательство. Воспользуемся представле- нием производящей функции в виде математического ожидания (1,4). Тогда Ф«,.~... «(х) =Мх«' '" «Р = М(х« ... «Р). (1.12) Случайные величины х«, х«... „х" независимы как функции от независимых случайных величин, Следовательно, М(х«* ....х«)=Мх« ... Мх"..
Отсюда и из (1.12) следует утверждение теоремы, так как Мх"»=%»(х) П р и ме р 3. Найдем производящую функцию би- иомиального распределения при помощи теоремы 1.3. Число успехов р„в схеме Бернулли имеет биноми- альное распределение. Представим р, в виде суммы независимых слагаемых (см. (4.4.!8)); р.=$.+1.+". +$,. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ где Р(й„))=1 — Р($„=0)=р, й=1, 2...„н, По теореме 1.3 фи„(х) = фт, (х) грм (х) - - И„(х) Производящие функции слагаемых получим по фор- муле (1,4): .о,~ Таким образом, фи„(х) =(Рх+ОУ' Найдем производящую функцию случайного числа случайных слагаемых.
Теорема 1А. Пусть иелочиохенныв величины т, $„$„, ..., $, независимы при любом и=1, 2, 3, ...; $„, 4=1, 2, ..., Одинаково распределены, Положим Ь =3~+3~+ "+$, ~О=О тогда фг (х)=ф,(фт,(хЦ. (1.13) Доказательство. Вероятиостьсобытия (~,=т) представим в виде Р(~„=т) = ~ Р(У=А, ~, и), ьо Так как (т=й, ~„=т)=(т=й, 4~=си) и события (" и), ((;з=т) независимы, то Р( =й,(„т) Р( й,~, )= =Р(э=и, $1+.
° ° +$» т) Р(У й) Р($,+... +$ =т), Тогда Р(~„т) = Х Р( =Ф)рйг+~, +... +~ =т), Умножив обе части этого равенства иа х" и просум. мировав по т=О, 1, 2„.. „получим фг (х) = ~ Р(т й) ~ х"'Р($,+... +$» — — т) )зя ЦРОизводящнв н хдРАктеРистическив Функции [гл. т Ряд в круглых скобках является производящейфункцией распределения суммы Е, +...
+ $а. Так как слагаемые йо 1=!... „А, независимы и одинаково распределенй, то х'"Р($,+... +$а — — пз) =грт,+„.+т (х)=~грй, (х))», Следовательно, грт (х) = ~ч.", Р(у=й)[гр4(х)1а=грт~грт,(х)1. Теорема доказана. Если воспользоваться условными математическими ожида. пнями и форчулой полного матема~ического ожидания (3 й.т), то можно дать более нарочное доказательство теоремы !.4. Действительно, по формуле (3 6,3) Мх т =М(М (х")т)). Так как М(» т(т) М(х '...х «~т)=[Ф (х))ч, то Фг (х)=М((~рт (х))т)р ф (Фз, (х)). В намеченном доказательстве основная трудность заключается в проверке равенства з~+...+т т М(х (т)= (Мх ') нли эквивалентного ему равенства М(хЬ+'"+~т ) р й)=Мер'+"'~~а. Интуитивно оно ие вызывает сомиеиий, Установим еще свойство непрерывности соответ.
ствия множества производящих функний множеству распределений. Теорема ).5. )густо гзри любом фиксированном и, л ), 2, ..., ггввледоватеяьнавить ()т» (и)) являвлзвя нРоизводя!цие Функции распределением вероятиостеи, т. е. р,(п)~0, ~, р„(п) !. ,(!лл того чтобы при любом 4ихсироваппом Ф !нп р„(п)~ра (1.14) (1.15) Х ра ь о необходимо и достаточно, чтобы при любом хч(0, 1) Ип! ср„(х) =!у(х), (1.!7) л м !р„(х) = ~~.", ра(п)ха, <р(х) = ~~,", реха, <р(Ц=!. л о ьо До к а а а т ел ьс т во. Пусть выполнено (!.15) и (1.1б).
Представим разность <р„(х) — !р(х) в виде !р„(х) — <р (х) = = ~ (р„(п) — рг) х" + ~'.~ р„(п) х" — ~~'.~ р ха, ь~з ФвИ! ь и+1 где У вЂ” некоторое целое число. Пусть х~~0, 1) фиксирован. Докажем (1.17). Так как О~рь(п) 1, О -ра~1, тодля любогофиксированного е>Оможно подобрать У так, чтобы при любом и В Ф Ю Тогда прн данном Ж М 2 !Ч„(х) — р(х)1ч= .'Е !ра(п) — ра! х'+ з а Сумма в правой части зтого неравенства может быть сделана меньше е/3 при достаточно больших и, так Я4 ПРОИЗВОДЯЩИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКНПИ!ГЛ.
7 как содержит нонечное число стремящихся к нулю слагаемых. Равенство ~р(1) 1 следует из (1.16). Пусть теперь выполнена (1,17). Докажем (1,!5) от противного. Предпололсим, что (1,!5) не выполнено. Тогда найдутся две подпоследовательности п' и а такие, что 1пп р»(л„') =- р», Ищ р»(п ) = р„, (1.18) «„-л т лт-л « причем (р») и (р») не совпадают.
Тогда по доказанной части теоремы из (1.18) следует, что л 1(щ р" (х) 7р (х)= тхт р»х ' л' -~,т »«в ИП» фл-(Х) ~р(Х) С р Х» лт 'т »«Р и р(х)~ф(х). Это невозможно, так как предел (1.17) существует. Теорема доказана. Пример 4. Пусть р« — число успехов в и испитаниях Бернулли и р„— вероятность успеха в одном испытании. Будем предполагать, что существует Ищ пр«=А, 0< А< Ро. Воспользуемся теоремой 1.5 для вычисления Ищ Р()»„=»п). Положим А„=пр„. «т По формуле (1,5) Следовательно, »т ИП»,р (Х) Р» <л-П А«Е-А.Хт Отсюда по теореме 1.5 Ьт 1пп Р()А„=Л7) — 'е-».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
