В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 22
Текст из файла (страница 22)
м2 Таким образом„получили новое доказательство тео- ремы Пуассона. х АР*ктвгистичвскив Функции й 2. Характеристические функции. Определения и свойства Пронзводяцше функции определены для целочисленных случайных величии. Для исследования распределений произвольных случайных величин вводятся характеристические функции. Комплекснозначной случайной величиной будем называть функцию $, (и)+ (-!5,(ы), где юЕ(), Я„, $,) — случайный вектор. По определению положим М(ь,+ ~|,) =М~,+ 'МВ,. (2.1) Для математического ожидания от комплекснозначиой случайной величины легко проверяются свойства 1' — 4', приведенные в 4 2 гл.
5. В дальнейшем мы нмн будем пользоваться без дополнительных оговорок. Понятие независкмости для комплекснозиачных случайных величин не будет введено и свойство 5' использоваться не будет, Характеристической функцией действительной случайной величины 5 называется 1! (1) = Меиз, (2.2) где ! †действительн число, — со < г' < ео. Если случайная величина $ дискретна, то по теореме 5.1.! !1(!) ) еи'р!(х) йх. Ф (2.4) М(созФ= ~~.", соз(гхь)Р(5 =х,), ь 1 М(з)п Щ=,„'',, з!п((ха)Р($ =ха).
е=! Отсюда и из (2.1) получим Й(1)=Деи'»Р(з хь) (2.3) Используя теорему 5,!.2, для характеристической функции абсолютно непрерывной величины 5 будем иметь 146 пРоизводящне и хАРАктеРнстические ФуБкпии(гл. т Если случайная велнчина $определена на дискретном нлн абсолютно непрерывном вероятностном пространстве, то по формулам (1,4) и (1.5) соответственно получим й(1)= Х ен'(" »р Р((евь)) =рь (2 3) и (1) ~ ~ене(„...,и„» ( и)Д й (23» Теорема 2.1. Пусть ~ьЯ вЂ” характеристическая функция случайной величины е.
Тогда 1'. ~е(1) определена при любом 1~( — оо, оо). 2, ~,(0)=1, »1,(1)(к,-.1. 3'. Если т» = а$+ Ь, еде а и Ь пост оянньее, епо Дч (1)— чь) (а(,) 4'. Соответствие, устанавливаемое формулой (2.2), между множеством характеристических функций 1 (1) и множеством функций распределения, является взаимно однозначным. Докажем 1' — 3'. Так как при любом действительном е » е'и ( „1, — оо с, х с.
оо, то доказательство первых двух утверждений легко следует из формул (2.3) †(2,6). Третье утверждение получим нз следукипих равенств: ь (1) Айеие4ьь „еееьМевее, еиь~ (а() Лля дискретных и абсолютно непрерывных величии по функции распределения определяются соответственно вероятности значений и плотность распределения. Тогда по формулам (2.3) и (2А) однозначно определяется ~1(1). Обратное утверждение. следует нз формулы обращения 1 с "ие> — е" и" г"е (хе) — Ге (х,) — „11пь ~,.
11 (1) Щ. (2.7) хлРАктеРистические Функции 147 з 2) доказательство этой формулы приводится в более полных курсах теории вероятностей (см,, например, д. А. Боровков (2)). Найдем характеристические функции некоторых распределений, Пример 1. Пусть $ — целочисленная случайная величина с производящей функцией фе(х). Очевидно (см.
(1.2) и (2.3)), что ГФ) =ее(ет). Пример 2. Если Р(еь=а) =), то по формуле (2.3) Уе (() =Е2". П р и м е р 3. Пусть $ нормально распределена с параметрами (О, )). Тогда кк Ю к> 1 як-— ре(х)= — е ' 72(г)= — 1 е 2 Дх, 2К ' Гк2я Так как при любом 1 в силу иечетности подыитеграль- ной функции В ~ е ' з)п~хдх=О, то ~е(2) имеет действительные значения и ~Е (1) = — = ~ е -' соз 1х дх. = Р 2,) Прн формальном дифференцировании этого равенства по 2 справа получается интеграл, сходящийся равномерно по 7 в ( — оо, со). Следовательно, Ф кк ! г Й(0= — = ~ хе ' з)п!х2)х. )' 222 149 пооизьоляшне и хАРАктеРистические Функции игл.
7 Отсюда интегрированием по частям получим ы Я ()) = = 1 з(п 1х т)е Ф ° — !+» Г = (з|п1хе ' /~ — 1 ~ в Асоз1ллх РГ2а ~ Я\ ф = — 1~1(0. Таким образом, функция ~т (г) удовлетворяет уравнению л1е (Π— - — 1)'Т(1) 41 и начальиомУ Условию )ь(О) =1, Отсюда И ~е (1) е Пример 4. Пусть случайная величина $ распределена нормально с параметрамя (а, о), Найдем 11(0).
$ — а Положим т)= —. Случайная величина и имеет нормальное распределение с параметрами (О, !), и, сле- И довательно, )ч(г)=е ' . Тогда по утверждению 3' теоремы 2.1, йолучим аи* а 11(1) =(ач„(1) =есм Тч(о1) =е Таким образом, аЧ* 11(1) =е (2.8) Зная характеристическую функцию, можно легко найти моменты случайной величины.
Т е о р е и а 2.2, Есвп существует й-й молвит М($1» < оо, й 1, то существует нвпрврывиал й-л производиал )1 Ю и Гтм (О) = )А М$А. Доказательство, Докажем теорему, например, для абсолютно непрерывных величин. Если существует зы ххглктввистнчвскив Функции 1ея й.й момент, то существуют все моменты меньшего порядка.
Так как ! ~ 1хеырт(х)Ах ~ )Г (х!ра(х)бх=М1$1(( со, Ф -ю то интеграл в левой части неравенства сходится равномерно по 1. Следовательно, можно дифференцировать под знаком интеграла Я(1) 1 ~ хе""ре(х)г(х, 11 (О)=1Мз, О~ Пусть теперь существует производная порядка 1, 1(й и 1и1(1) Р ~ сапер (х) 1. Ю Отсюда Я~+О(1) 1~+1 ~ х~+1е~ыр (х) (х так как интеграл в правой части последнего равен- ства сходится равномерно по 1, Таким образом, ф~о (О) Р+, МУ+, Теорема доказана.
В следующей главе мам потребуются разложения характеристической функции по степеням 1 в окрест- ности точки 1 =О, Если существует М$, то ~1(1) = 1+11М$+ 1е(1), гле е(1)- О прн 1 — О. Для доказательства (2.9) представим ~Е(1) в виде )Е(1)=и(1)+1о(1). Из существования М$ следует существование 1т(1), а также и'(1) и о'(1). По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеамо и (1) = и (О) + 1и' (О) + 1е, (1), о(1)е в(О)+1о'(О)+1е,(1), 1ао ПРОиоеодящие и хАРАктеРистические Функции 1гл т где е(1)- 0 при 1- О.
В предположении существования Мсо дадим другую оценку остаточного члена в (2.10). Из равенства ~~а 1 ~ Уа,(и о следует, что !гга — 1( ) Ни=1х1, так как ((е"'!е„(. о Тек как г'* — 1 — (х=1) (е'" — 1)г(и, о то воспользовавшись оценкой 1г'а — ! ! "-'~(х(, получим, что !К1 '(е'" — ! — (х)~; ) иди 1х !" 2 о Применив зту опенку к равенству =1 ) (г'Р— 1 — (у) ду, о ка гоа — ! — )х+ -2- получим к' 1 (х1' г'" — 1 — )х+ — ~ < —. 2 ~ б Отсюда ~ох» г"" =! + 11х — е-+ !2, (1, х), 1)г (1, х)[» ~(гх(о. где е,(1), е (1)- 0 при 1- О.Складьовая два последних раеейства, пол учим (2.9), так как Д (0) = 11 Мф. Аналогично проверяется следующее утверждение, Если М»а существует, то ~е(1) =!+(!Ма — МГо+1 е(1), (2.10) хлэлктеРистические Функции 15! Заменим в этом равенстве х на $ и вычислим математическое ожидание от обеих частей.
Получим следующее разложение: )1(1)=!+1ЕМ$- ~.М$~ (.Я(1), У(1)<+1М(Ц. Для характеристических функций имеет место теорема, аналогичная теореме 1,3. Теорема 2.3. Если случайные величины $„$„..., $ незааиси,ны, то й,+и+... 1„(1)=Ь,(1))ы(1) "° Й„(1) До к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать теорему для и 2, так как общее утверждение можно будет получить по индукции. По определению характеристической функции (1) = Меи ии+ Ео = Ме'Й1.
Виы = юы+ы =М (сов($1+1$1п 1$з) (соз 1$ +1 3!и 1$ ). (2,12) Дальше нужно сделать следукчцее: 1) перемножить выражения, стоящие в круглых скобках, и перейти к сумме математических ожиданий; 2) математические ожидания от произведений заменить на произведение математических ожиданий (это возможно, так как функции от независимых случайных величин являются независимыми случайными величинами); 3) полученное выражение вновь разложить на множители.
В результате этих преобразований знак математического ожидания в правой части (2,12) появится перед каждым слагаемым в круглых скобках, Таким образом, !е,+ы(1) = = (М соз 1$ + 1М з)п 1$ ) (М соз 1$ + 1М з)п 1 $ ) = -Мене -Ме'Н=]и(1) ~з,(1). Теорема доказана. Пр имер б. Пусть $, и $, независимы и нормально Распределены с параметрами (а„о,), (аи о,) соответ- !вз пзоизводяшие и хяяяктввистичвскиз егнкцин !гл т ственно.
Найдем распределение суммы $, + $». По формуле (2.3) »»»»» <ф» ~, (С) =е"" е ):, (() —,'"*' Отсюда по теореме 2.3 получим е»н й,.ы(1) =й,(!) й,(!) =е" где а=а,+а,, о»=о';+о',. Так как полученная характеристическая функция является характеристической функцией нормального распределения, то по теореме 2.! (4') сумма В,+$, распределена нормально. Пусть задана последовательность функций распределения Р„(х), я = 1, 2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
