В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Оценим вероятность Р()~,— а~<5) Р ~— ' <— Так как о <2С, то Ч~„— а!<Л)>Р~~'— """! <л 'Р.1 и ири больших и Р'ц ' !(~) »Ф,("»»" ). По заданной малой вероятности нежелательного события !1,„— а! .»Ь можно так же, как в 3 3 гл. 3, найти и. Применение метода Монте-Карло к вычислению интегралов, а также сравнение его с другими методами даются а книге С.
М. Ермакова ~51, гл. Ф. Задачи к главе а 1. Складывается !О' чисел, кзжлое нз которых округлено с точностью до !О-»'. Предполагая, что ошибка от округлепвя независимы н равномерно распределены в интервале ~ — — !О-'», 2 1 — Ю- ), найти пределы, в которых с вероятностью, не мень- 2 шей 0,96, будет лежать суммарная ошибка. 2. Получить теорему Муавра — Лапласа в качестве следствия теорем 2.
! и 2,2, ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ В 161 3. Пусть случайное аеличииа са распределена по вэиоиу Г1уьссоиа с иараиетроы А. Найти Ипч Р~ — < х), 4. Случайные веЛичИНЫ Ст, С„.... $» ПЕЗааисииы; Р(сь= Ц 1 — Р ДА=О)=ра(и), А=1, 2, ... Найти 1Ни Р(вт+ ... -($„=тл),'если Р,(л)+...+р„(л)- )ь и Ф ари л- со. В. ГЧ. Чветачов ГЛАВА 9 ЦЕПИ 1ИАРКОВА $1. Определение.
Основные свойства Определение кепи Маркова как частного случая обп»ей схемы испытаний было дано в гл. 3. Дадим прямое определение. 1»оследовательностью Т испы»пан»»»1, являюи»ияся цепью Маркова с А» состояниями, будел» называть вероятностное пространство (Й, $, Р1, е котором где У ~а,=! ь 1 и элементы матрицы Р11 Реь ° Р»гг р Рм Ры Р»М Рм» Рл»ь " Ргпт (1 .31 удовлетворяют углов»»ю р,,~б, 1,1=1...„А»; Хр,,=1, 1=1, ..., ж. 1~ » (1 4) Алгебра событий б состоит нз всех подь»нои»еств Я; вероятность определяется формулой (!.6.61: РЮ= Х Р(1ь1». 1т1. (!ав.
° »т) Фл й «(1ь1»...1т11, 1, 1,2...„Ф, 1 О, 1, ...,Т, (1.11 и вероятности р (1ь1»... 1тД, приписываемые элементарным событиям»о = (1»1»... 1т), задаются 4юрл»уло»1 Р (1»1» " 1т) = ццрц»,рцц - " Р»т»»т, (1 2) 111 ОпРеделение. ОснОВные сВОястВд 133 Приведенное здесь определение цепи Маркова является более узким по сравнению с определением 5! гл.
3, Здесь числа р> (1.3) (>, 1=1, 2, >... >1>), явля>о>внеся вероятностями перехода йз со. стояния 1 в состоякие 1, не зависят от номера испытания, как и гл. 3. Такие цепи Гйзркова называют однородными. Утаержде. ине теоремы 1,2 верно только лдя однородных цепей Маркова. Условие (3.1.6) было проверено в гл. 3 для произвольной последовательности испытаний, Матрицы вида (1.3), для которых выполнено (1.4), называются стохастическнмн. Цепи Маркова часто используются для описания различных систем, которые могут находиться в одном из 1(1 состояний и в дискретные моменты времени меняют состояние, В этом случае номер испытания 1 естественно интерпретировать как время, а символ 1,— как состояние системы в момент времени 1.
С цепью Маркова естественно связать последовательность случайных величии $> = $> (1,1,...1, ) = 1„ 1=0, 1... „Т, являющихся номером состояния, в котором находится система в момент времени 1. Из (1.2) следует, что Раз=(о В>=11 ° Ат=(г) =Ч>Р>:.РК>о Р>г >>г Так как (В>=1-о $ =1-1 * с>=1->) (о> 1 =х ° ° 1>=(.>) =(1о1г "1>1>ог" 1г) Асо... С>о то Р(36=1>, $>=1г..., $>=1>)= 'М'х.~.," Рх>->г>РС>>>+>" Р>г-е>гюолго,, г =4гоРгоаг" Р.,;, 2~ Рс,>,о>Р>>о>>го>...Р>г х>т.
>>+т, .„, >г--> Из свойства (1,4) следует, что сумма в последнем равенстве равна 1. Таким образом, (Ро=(о Во> =1> ' Во>=1>) =>1>ор>,г, ' . Р>г >> (1 б) при любых 1„1„.. „1„=1, 2„..., 1)1 и любом 1= =0,1,2, ...,Т. ЦЕПИ МАРКОВЛ !Гл.з Докажем основное свойство цели й(аркова, определенной формулами (1,1) — (1А), Теорема !.1. Если а,— номер состояния Иена Маркова в момент 1, то РА+е-1! $о=(ю $~=!1 ", $~-*=1~-~ Ь= )= =Рйс+т =1! Вг=1) (1 6) и, кроме того, РЯ~+-=*)!3~ !) рсу нри любых!-0, 1, 2...,,Т вЂ” 1 и любых 1„, 1о .... 1, 1,1=1,2, ...,Л~.
Доказательство. Используя определение условной вероятности н (!.5), получим Р6.1-1!В.=1 °" $~- -1-и 6~=1)- Р(1о='е " 0е 1 й „3~,6 $~+,- В Р !4=!и ° ° ° ВФ-а=6-ь с1=6 «ирин ", т, „, юи =рм «!Р*и ° ° ° % т~ * Правую часть (1.6) запишем в виде Ра, -ЛЬ,= )-'"',=„","„'-"- ~~'РЯ,=е„..., $,.~=6, 3~=6 1~+~=1) ;Я~Р(йе=!и "Ее-е 6-, $~-0 Х«иош," Рй Рту (!.6) ро (1 ) ~«иРии «Ри 1! где суммирование проводится по каждому из индексов 1„1;, ..., 1, т от 1 до У, Утверждение теоремы сле- дует из (!.7) и (1.8).
Свойство (1,6) можно иитернре. тировать следующим образом: состояние системы в момент ! + 1 при известном состоянии в момент 1 не зависит от поведения системы в более далеком прошлом (в моменты з ~ П. Так же, как (1.6), можно доказать следующее равенство; Р($„, =1!$„~ В„, и =О, 1, ..., в — 1, 5,=1) = =РД„,=-1($,=1), (1.9) ! Ц опяадалання. основнын свояствл !65 прн любых!, 1, з, 1, В„<" (1, 2...,, 1(1). Если дискретные случайные величины $„3„.... $г, принимающие значения 1,2, ..., л1, удовлетворяют (!.6) нли (1.9), то говорят, что величины Ц, являются цепью Маркова. Теорема 1.2.
При любом з РЯ,+,=1~~,=1) =Р(~,=))~.=1). д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле (1.5) Р($,=1 $~+ =1)= Х ~ й;,р;,и "р~., й~рн,+г ° рч+, 1/ Ч . л~-балт '~+л-~= й!орье ' Р$ ~Гх ч1~...! ~ ! Х '.)", Рм „" рй ..1 (!.1()) л+о '' 1+л-1 Первый множитель в правой части этого равенства равен Р(5,=1). Если во втором множителе переменные индексы 1,+„..., 1,+, „па которым проводктся суммирование, обозначить 1оо „1, „то (1.10) можно переписать так: я чинь ° Рй,у Р(Д 1 еь 1) Р(еь 1)' 'с-~=' (1.11) Второй множитель в правой части (1,11) равен Р(5,=1~5,=1). Таким образом, поделив обе части (1.11) иа Р($,=1), получим утверждение теоремы, Так как условная вероятность Р(4~+,— — 1)$,=-1) не зависит от з, то мы можем положить Р й,+, — 1) $, = 1) = Ры (1).
(1.12) Функции Ры(1) в правой части (1.12) называют вероятностямн перехода. Рассмотрим несколько примеров. ЦВПИ МАРКОВА (ГЛ, В П ример 1, Блуждание частицы по целым точкам отрезка 10, п), описанное в $ 5 гл. 2, является цепью Маркова, в которой Ч! — — О, 1~я; !)А=1; Р!,с~1=Р Рц!-~=1 — Р=Ч, 1=1,2...„л — 1; (1.13) Р, =О, 1=0,1,...,л — 1. Из свойств цепей Маркова сразу следует (2.5.1). Действительно, по теореме !.2 ! (в!+! =!! !4з =Д+» =Р(в! =я) во =й+» Р($,~, = и ~ ф, =й — 1) =Р($, =- ~ ф =й — 1), П р и м е р 2. Пусть ! ! !! з з з ! 1 о 2 2 ! ! О Ъ 91=1 ча=ЧР=О (1.14) ! Р Цепь Маркова была определена как конечная последовательность испытаний.
Можно ввести беконечную последовательность испытаний, связанных в цепь Маркова. Распространение определения с конечной последовательности испытаний иа бесконечную проводится так же, как для схемы Бернулли в 3 4 гл, 3, Вероятности событий, которые являются объединением Так как переходы из 2-го и 3-го состояний в 1-е не происходят, то Р(с,=»=Р(~.=1, 1,=1, ",~!=1)= =Р(ч,=»РВ,=(Л.=))" РК,-1~~,,=»-®' и вероятность Р ($! = », рассматриваемая как функция от 1, имеет 11п! Р($!= »=О. $ !1 ОПРвделвннв.
Основныв сВОйстВА 1бт конечного числа событий вида ($,, = 1„ ..., "„, = 1,), ' вычисляются по формулам для цепи Маркова с конеч- ным числом испытаний. Если в примере 2 определить цепь Маркова с бесконечным числом испытаний, то (1,14) является вероятностью остаться в состоянии 1. Состояние ! цепи Маркова называется несуществен- ным, если существуют состояние ! и число 1, такие, что РО (1,) > О, Рт, (!) =О при любом !. В противном случае состояние называется существенным.
В примере! существенными состояниями являются 0 и и, а остальные — несущественные. В примере 2 состояние 1 — несуществениное, а 2 и 3 — существен- ные. Можно доказать, что система, описываемая цепью Маркова, уходит из несущественных состояний с ве- роятностью !. Пример 3. Положим /О 1! Р=~1 о), Ч,=1, Ч.=О, Если в момент ! =0 система находилась в первом состоянии, то в нечетные моменты времени система будет находиться всостоянии 2, а в четные †состоя- нии 1.
Таким образом, Р„(1) = =,, Р„(!) = —,, (1.13) 1 — (-1)! 1+( !)! Пример 4. Рассмотрим Т+1 испытаний Берл нулли; вероятность успеха в испытании с номером 1, ! =О, 1, 2, ..., Т, равна р, О < р < 1. Пусть случайная величина $1 — — 1, если общее число успехов в испы- таниях с иомерамн а=0, 1, 2, ..., ! было нечетным и $,=2 в противном случае. Интуитивно равенство РЙ~„=!1$.=!., $ =1, ", $~-,=1~,. 1~-!)- =Ра„,=!Д,= ), (1.1Е) 1, 1=!,2, очевидно: если в момент ! четность числа успехов известна, то четность в следующий момент определяется только результатом очередного испытания, а испытания по условию независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
