В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В этом случае для а тоже можно найтн доверительный нктервал. Дадим сначала определение распределения у' и Стьюдента, Пусть 3, $„$„..., $„— иезавнсимые нормально распределенные случайные велпчины с параметрамн (О, 1). Расо!геделеиие случайной величины Ь' = $1+ Ц+... + Ц называется распределеннем (!' (хл — квадрат! с л степенямг! свободы. Распределенне величяны т„=- = с/~гг !(*„° — „называется распределением Стьюдента с гг степенями свободы. В книге Н. В, Смирнова, И. В.
Дунина-Барков. ского !161 показано, что р(х га,а г — (О~х+!а. г-г — =" сг т'г~ — ! / где ! „„, определяется условием р(1 та-г( ~ (а. а-г) =. 1 — а, т„г имеет распределение Стьюдента с и — 1 степенью свободы, ! зг =--„~ (х — ху*, г=г Сравнивая (2.8) с (2.7), можно заметить, что замена в (2.7) параметра о' его оленкой з' приводит к замене нормального распределения распределением Стьюдента.
Доверительные интервалы для параметра а были прнведены в случае, когда х„имеют нормальное распределение. При большнх и можно найти для параметра а=Мх„ приближенные опенки интервального тяпа без предположения нормальности х„. Пусть о* = =Оха.Тогда по центральной предельной теореме распределение величнны хг 1-ха+ ° .. +ха — аа х — а а К"а аг (!Я стАтистическАВ пРОВеРкА Гипотез Газ близко к нормальному с параметрами (О, 1), н, сле- довательио, (~м~ ')- -" или о и (," "~ „- < <х+и„— т )'а т' Ка практике в последнем приближенном равенстве неизвестный параметр о' заменяют его оценкой э'. Естественно зто приводит к уменьшению точности (2.9). $ 3. Статистическая проверка Гипотез ЗЛ.
Проверка гипотез о законе распределения. Рас- смотрим следующую задачу. По выборке х„х„, ..., х„ нужно решить, является лн заданная функция Р(х) функцией распределения случайной величины х„, а=1... „и. Ограничимся случаем, когда Р(х) непре- рывна. Разобьем числовую ось на следующие интер- валы: ( — оо ==г„г,), (г„г,)... „(г„г„+, — — + оо), (3.1) где г, <г,«... г„, <г,. Если величины х, имеют своей функцией распределения Р(х), то можно найти следующие вероятности: Р„=Р(х Е(гм г,))=Р(г,), Р~ =Р(хАЕ(гь г~+ь)) =г (гт~т) — г (гю), 1=1,2, ..., г — 1, р„Р(х„Е (г„г„,)) = 1 — Р (г,).
Со случайными величинами х„, х„..., х„естественно связана полниомиальная схема с а испытаниями, в ко- торой результатом й-Го испытания является попада- ние значения х, в какай-либо интервал (3.1). Обозна- чим ж, =т,(х„ х„ .. „ х„) число значений среди х~(ы), к,(то)..., х„(то), попавших в (г„ г„,). Если "аше предположение о законе распределения х„ верно, то тл~ должны быть близки к Мт,=яро 1=1> 2, ..., г. щ злемвнты мхтемхтичвскои статистики ггл, ш Общее отклонение всех т~ можно измерять, напри. мер, суммой Г ~~ (т,— пр,(. Обычно в качестве меры отклокекия используют 1=! (3.2) Р (т»„, < х» Р (»(„', < х), (3.3) где случайная велнчнка д'„, имеет распределение К' с г — 1 степенями свободы; г, р, > О, ..., р, > О постоянны.
Используя (3.3), можйо выбрать такое «крктическоех значение С, что пря нашей гипотезе вероятность события (3,4) очень мала и его мом1но счктать практически невозможным. Если же событие (3.4) фактически наблюдалось, то говорят, что выборка обнаруживает значимое отклонение от проверяемой гипотезы. Это указывает на несовместимость нашей гипотезы с наблюдеиныии значениями х,(ы), ..., х„(ы). Таким образом, правило проверки нлп статистический критерий состоит в таи, что гипотеза отвергается, если произошло событие (ЗА) и гипотеза ие противоречит наблюдениям, если проажшло противоположное событие. Вероятность события (ЗА) а,=Р(и„, „>С) в случае, когда гипотеза верна, является вероятностью отвергнуть правильную гипотезу.
Если зздать а, то число С можно, воспользовавшись (3.3), приближенно определить из уравнения и=Р(у',, >С), В котя книги приведены таблицы чисел»(«,„, для которых Р(у,'„>т',)=а, Выбор а зависит от рассматркваемой практической задачи. Часто допускают значения а=00), и=005. Если используется критерий с Оказывается (см. »16), гл. 7, 5 3), что для любого х при и-'00 т 33 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТВЭ ~вв О=0,0(, то примерно в (% случаев будет отвергать- ся правильная гипотеза, 8,2. Выбор из двух гипотез.
Пусть в случайной выборке х,, ..., А„ величины х„ нормально распре- делены с параметрами (а, о). Параметр о известен, а относительно а имеется два предположения, илн две гипотезы Н, и Н„ согласно которым а =а, н и =а„ (а, < а„) соответственно. Одну из гипотез назы- вают основной (например, Н,) илп нулевой, а дру- гую — конкурирующей. В 2 2 было показано, что не- смещенной и состоятельной оценкой математичес- кого ожидания а является х =(х„+...
+х„)/о. Таким образом, в рассматриваемой задаче естественйо выбрать ту гипотезу, к параметру а которой блитке х. При любой нз гипотез (Н, или Н,) химеетнормальноерасо2 пределеиие с (Ах= — „; Мх=азавнситот гипотезы, Сле- довательно, распределения х при Н, и Н„различны, Вероятности событий, вычисляемые йрн гйпотезах Н, и Н„будем обозначать соответственно Р, и Р,. Выберем некоторое число С, а, < С <а,. Крите- рий можно сформулировать следуюшим образом: если х>С, то принимается Н„а если х< С, то прини- мается Н,.
Если верна гипотеза Н, и произошло событие х > С, то принимается Н,. Вероятность отвергнуть Н„ когда она верна, равна и Р (А>С). Если верна гипотеза Н, и произошло событие х<С, то принимается Н,. Вероятность принять Н„ когда верна Н„равна )3=Р„(х < С).
Вероятности а и б низьмают оероятностягги оигп- бок )-го и 2-го рода соответственно. Вероятность при- нять гипотезу Н„когда она верна, назгсгают Агоп(- костью критерия. Очевидно, мощность равна ) — (3. Среди критериев с фиксированной вероятностью а естественно выбирать критерий с большей мощностью. ща элементы ялтемлтичвскон стлтистнки ггл, 1о Отсюда Ул (С вЂ” а„) — =и, в= — из. Подставляя в это равенство значение С нз (3,5), по- лучим о,— о~. г но+из = р и о (3,6) Для заданных и н р равенство (3.6) используется для нахождения и. Если п менять нельзя, то (3.6) используется для выбора а и ().
Прн заданных а и и величина () определяется однозначно. Величины м н )) выбнрзютси в зависнмостн от степени нежелательности связанных с ними ошибочных решений. Иногда «степень нежелательности» можно выразить довольно точно. Пусть, например, прн некоторой уирощеиной проверке бракованное изделие может быть пропущено с вероятностью и и хорошее изделие принято за бракованное с вероятностью )). Если бракованное изделие продано, то за его гарантийный ремонт нужно платить Р рублей, Если хорошее изделие забраковано, то теряется его стонмость Я рублей. Пусть в проверяемой партнн из У изделий примерно М брако.
ванных. Тогда средние потери при контроле этой партия равны (Ми) Р+(Ф вЂ” М)Я. (3,7) Пусть а задано. Тогда р'л1 а=Р,(к ~С)=Р, (= >(С вЂ” а) — ). о! л о )' Так как $'и(х — а,)уо нмеет нормальное распределеу л нне с параметрами (О, Ц, то (С вЂ” а„) — =и„, где и„ определено уравненнем (2,6). Отсюда С=а,+и„=. (3 6) Тогда ошибка второго рода равна )) = Р,( < С) =Р„('=" .< (С вЂ”,) —" ).
~о~у л о АЗ1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 1ВТ для выбора а и 1) н)жно найти минимум (3.7) при пзличии связи (3,6). Перейдем теперь к задаче выбора модели опыта, состоящего в подбрасывании двух монет. Обозначим число выпадений двух монет одинаковой стороной в и опытах. Вместо моделей 1 и 2 мы будем теперь говорить о гипотезах Н, и Н„. Рассмотрим величину р„/л. Так иак р„/и имеет при гипотезе Н„1=0,1, бйномиальное распределение, то М вЂ” =аи 0 — = —, И» Р«ст А а и' где 2 2 ! ! а =- о = — — а =- а' = —. (3.8) 3' ~ 3 3» 2' » Если р«/и > С, то будем принимать Н„а в противном случае Н,, Если биномнальное распределение заменить аппроксимирующим его нормальным, то для вычисления С сохранится формула (3.5) с о а„ а вместо (3,6) получим о,п„+ о,из = (а, — а,) р' л. (3.9) При и =)) =-0 05 имеем и = иа =-1,65.
Подставляя зти значения и (3.8) в (3.9), получим 3 3 н, следователько, можно положить и 80, По формуле (3.5) С = 0,5+ 1,65 — -0,61, 2 г/го таиимобразом,гипотеза Нт принимается, если р„/л > >0,61, в противном случае принимается Н,, 188 элдыенты ылтпилтичпскои стАтистики !Гл. 1а Задачи к главе 10 !. Используя таблицу случайпык чисел, получить реализа- кпго случайной выборки хм х„..„х„«де х» равномерно распре- лелены иа отрезке (О, Ц. Вычислить ч и'=х= "', (от)*= — Ат (х» — х)з. хт+" +хч, 1 ч и ' и†)ь »а~~ Сравнить с Мх» и (?х».
Значения х» ваять с точностью до 10-», л~ 100, 2*. Пусть х„ хе, ..., х„- произвольная случайная выборка с Мх»=а, Оха пе, М (х» — а)' < со. Пок»ззть (см, задачу 14 к гл. 5), что л ! чч (о')"= — у (х»-х)ь — и- ! 2.ю з т является несмещенной оценкой ое. доказать, что зта опенка являетсн состоятельной. У к а з а и н е: воспользовавщись равенством 1 (от) =- — ~„(р» — р)'. и — ! 2ы »=г где р»:х» — а, р (р~+" +у„)(п, доказать, что (? Пп')") = -+(? б / и ~па? ' Ь > 0 — некоторая постоянная. 3. ПУсть хь х„,, ха — слУчааиаЯ выбоРка, в котоРой ха равномерно распределена йа отрезке (а.
Ь], Являются ли опенки я* пйп (хн,... х ), Ь'==щах (х„..., ха) и«смещенными оцепкамп а н Ь сов»ветс~венке? У к»авиве: воспользова~ьсн репмннем задачи 18 гл. 4. 4. Пусть х,, хз...., х„— случайная выборка,в которой плот. ность распределения х» равна ев-х при А ~а. Являетсв лп опенка ! П'= — — +ПИП(ГН Х,, „„Ха) ВЕСМЕЩЕННОй Я СОСтоятедьиОй и оценкой а? б. Ыспользуа метод наибольшего правдоподобна, найти по дв выборке хт, хе, ..., х„, где Р(х»- гп) — е-», Опенку Парамет- ра А. Будет ли этв опенка несмещенпои и состоятельной? О. Перемен иые х в у связаны линейной зависимостью р = «-Ь бх, Дтя олрелслеяня неизеесчиык параметров м н () прн зздаикыл виаченнпх хт измерены значения р! =а+()хг+бг 1=1, и, здцдчи к главк ~е где ощнбкн измерения б; незазнснмы, нормально распределены, й(б( О, Обт и'.
Функция праедоподобня В ,—, —,О (. (ун ..., р„; хт, ..., х„; а, (т, оз(=(дион) ' е где (г=-з г (рт — и — (Ьд . Минимизируя О, найти оценки иан(к ,ъ о Лм Гь1 большего правдоподобия параметров а, О, оз и предположении, сто ~~Рис=б. (Если условие ~Как(=О пе выполнено, то мозгно с=а / н перейти к новым переменным ц' к; — ( ~кфп,) 1=1 ГЛАВА 11 ЗЛЕААЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ $1, Понятие о случайных процессах Случайные процессы являются моделями многих реальных процессов. Два примера таких реальных процессов (работа телефонной станции и броуновское движение) обсуждались в 2 2 гл. 1. Схрчайньси процессом называется семейство случайных величин $,=3~ (е), заданных на вероятностном пространстве (Я, $, Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
