В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 29
Текст из файла (страница 29)
9) и уравнение (4.3) имеет иа отрезке !О, !1 два корня х„х, (О~„х,<х,=1), Покажем, что ) хо Для этого достаточно показать, что Р(р, 0) ~х; при ао. бом !. Проведем доказатель. ство по индукции. При ! Р (Р~ 0) 'Ре ~ Ро+Ркх + + РХ+ ° ° = Ч (хг) = хо так как хт — корень уравнения (4.3). Предположим, что Р(рг —— 0)~х . Тогда, воспользовавшись (4.5), по. и лучим Рис.
9 Р(Р,.',-О) =Ч(Р(Р,=О)) ~ Д ~р (х,) хо Таким образом, при любом ! Р (рг = 0» хт. Переходя к пределу в этом неравенстве, получки Х хо Отсюда следует, что Х х„так как Х и х,— корнн уравнения (4.3) н хг — наименьший корень, Таким образом, в случае надкритических процессов А Р(С) < 1 и, следовательно, надкритнческне процессы не являются вырождающимися, Для вырождающихся процессов можно ввести случайную величину т — время до вырождения процесса. ч уикцня распределения т есть Р(.
< !) -Р(Р1-0). Нандеи асимптотическую формулу прн ! со для ~ (!) Р(т~» С) 1 — Р(Р~ О). Уравнение (4.5) для 9(!) запишется в виде Я (!+1) =1 — т (1 — Я (!)) (4.7) Рассмотрим сначала докрнтическкй случай. Для докритическнх процессов а=в'(1) < 1. Предположим еще, что конечен второй факториальный момент Ь=МР,(р,— 1)= р" (1), (4.3) фф ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПЕССОВ ьГЛ. Вв Рассмотрим критический процесс. В этом случае а=1, Ь > О и уравнение (4,9) запишется в виде + ) ~(» 2 где Ь,— Ь прн (- со, Отсюда -~-д — = 1 — ' Ю (!) 1, ! ~, (4.14) Равенство (4.!3) запишем в виде а(!+1)-а(!) —,()(!Н(!+!)+ (!), (4,18) где (!) =-, '() (!) () (!+ 1) — -',' а'(!) Используя (4,14), при 1- оо получим ои» ь ьв ор» Е!ООР+!» 2 2 а(Т+Ц вЂ” — — О, (4.16) Отсюда и нз (4.!8) вытекает„что ! ь 4 ! (+ !» Ф йй+ 2 + 6 (3)' где б(з)- О при з- оо.
Суммируя последнее равенство от з 1 до з ! — 1, прн ! — Оо получим в -! о(в» = 1 +'й~(+Х~ с-~ -."(~.в 'ь+ ' т в~вв)-вв вв+ вввв. в= в Таким образом, для критических еетеяи4ахся лроиессее е конечным моментом (4.8) при 1- оо имеем а (!) 2 (1 + 0 (1)), Мы рассматривали ветвящийся процесс, начинаю- щийся с одной частицы, Общее число частиц р„ в про- цессе, начавшемся с и частиц, можно представить в виде рт )таво+)Ч'+ ° "+рво р =а злддчя к Гллвп ы де случайные величины р,"', 1=1, „и, независимы ,1 имеют такое же распределение, как рассмотренная выше величина р, с )ье 1.
Величину )ь',ь можно интерпретировать как число потомков Ьй начальной частицы н момент Г. Нетрудно найти М)ь,: йй)ь, Мрп'+... +М)с)" - йй)ь,'" =лл, где и = М)ь)п = Ф' (1) . Событие ()ь(1) > О) можно представить в виде л л 0,>0)- () М,м>0)- () („, 0), * 3 * 3 Отсюда, учитывая незавнспмость величин й 1, ..., и, находим л Р(р,>0)-1-Т1 Р(р,'1-0)-1 — (1 — О(1)), йь1 где Ц(1)= Р(фп > О). Таким образом, зная поведение р, с )ее=1, нетрудно исследовать р, с р,=п. Мы рассмотрели некоторые свойства наиболее простого ветвящегося процесса, Систематическое изложе» нне теории ветвящихся процессов дается в кинге Б.
А. Севастьянова 11б), 1, Найти МИ~+„где сг-пувссоповский пронеся. Укзэзние. воспользозетьсв неззвнсимостьв и одпород. костью прирзщеинй. У, Оаозиечнм тз, й 1, 2, „„время между (й-1)-м н й-м скечкзми пувссоновского пронесся сь Нзйтп функцию рзспреде* ленин т (времени до первого скачке). 'ч'КЕЗЗНКЕ: (тт>1) (те О). а, Локззеть, что р(тг > г+з(чг > е) .р(т1 > г), где тт определена в задаче 2. 4' Найти совместное распределение величин ть те, определеннмк в евдвче 2. докнззть неззвпскмость г„ т,. э)2 влвыииты тио»ии слнчлииым п»оииссов (гл. 11 Указание: (тт > 1ы я~+те > 1») 4н О, йт, *О)+ +(йс О ь1.
') б'. ПУсть ж Оы це, ... — иезавксимые с»Учайные величины; Р(т «)= — е-Д1; т(! раиномарно распредежна на отрезке (ХТ)ь М )О, Т). Обозначим $, число величин 91, УДовлетворающих нера. венству я!<1, 1 1, 2, ..., ж »слит>Она! 0 прн т О. Найти вероятность Р(е«М Ь,-Ь, «т — «з, Фт — Фи «э — «е). Сравнить с (!1,2 2). 6, Найти Мй!й!+„где $1 — винеровскнй процесс, а=О.
(См, указание к задаче 1). 7. Пусть рт — ветвящийся процесс с Р(х)=Л(хн> рх'+! — р, Найти » ВМ Р(р1 0). ! ~о в. В задаче 7 при р 1/2 найти Вт *Мрт(рт-!) и Ор!. У казан не; используе (11А ч), получить уравнение для Вд 9. Случайный процесс 4 с непрерывным иремеяем называется цепью Маркова, если множество значений Ц конечно и выполняется условие вида (9.1.9). Пусть и цепи Маркова с двумя состояниями (1 н 2) прн 6 — ~О Р(б»=2(й»=1) Рте(«)=*а«+о(6), Р (з» = 1 Я е — — 2) = Рад(«) = 11«+ о («). Найти Р11(1)=РЯт !'(»»=1). 1, 1=1, 2. Указание: составить для Р11(1) систему дифференциальных уравнений.
10'. Пусть т»(1), «1, 2;суммарная длительность пребы. влияя в состоянии «за время 1 з цепи Маркова, определенной в задаче 9. Составить дифференциальное уравнение для ЛЕ(ен 1т, 1~1-т,«») бе Указание: воспользоваться формулой полнота математн чесната ожидания. 11 ° . Движение точки но прямой управляетсв цепью Маркова. определенной в аадаче 9. Если в пепи Маркова состояние 1, то точка движется вправо со скоростью оы а если состояние 2-то влево со скоростью ез. Пусты~(1)-координата точки в момент(. Найти Мз(1, х)=М(п(1))9(0) х, $(0) «), «=1, 2. Уиазаине: составить дифференциальное уравнение для мл(1, х)1 использовать разепство ма(1, х) я+ма(1, О). ЗАДАЧИ К ГЛЛВИ 11 19*, Рсжпть задачу 11, нспольауп следувтжее равепство1 , (1),отт,(1)-о т,(1)+х, где тг(1), т,(1) определенм в задаче 16.
1З*. Двпженне точкн по прямой управляется пенью Маркова, определеыноп в задаче 9. Если в кепн Маркова состоянне 1, то точка двнжется вправо со скоростмо о, а и состовннн 2 точка двнжется влево с постоянным ускорением а. Пусть т)(1)-коорднната точкв в момент 1 Обладает ли процесс з)(г) свойствои внда (9.1.9)1 Составить нптегральное уравнение для Ма(1, х) )Л(т)(1) )з)(0)=х, В(0) й), й=1, 2, )(адтн д(а(1. х) Указание: Мв(1, х) х+Ма(1, О); ыспользовать преоб.
рвзоваине Лапласа. ПРИЛОЖЕНИЯ !. Доказательство теоремы о предельных вероятностях в цени Маркова Пряведем доказательство теоремы 3.! гл. 9 без кслользоза. ння теорин натрия. Докажем сначала две леммы. Положим пс (!) гп!и РлЯ у!Я пзах РссЯ, с Лемма 1. При любил ! суи(итпвуюж пределы )(ж ес Я дс, Ба Ус(С) с)с с ) Ф с»п ус в» !с!- Доказательство. Используя ураененне (924) с з ° 1, получим ас У ЕС(с+1) Н Х Р )(Пп 1 Х ' )(!) С(!) с с У)(с+!)»!пах Я рсзРасЯв»псах ~ч~~ ~рсзуу(!)»1сс(с). с ам! таким образом, последоаательностн ос(с) н уу(с) монотонны к ограничены.
Отсюда следует утвержденна леммы !. Лемма 2. Если выполнена условия всисрачм 9.3.1, жо суи(всж. вуюа аооаопииме С, 6 (С > О, О < б С !) спалив. чжо у)(ссгв) — в)(пгюв»СЬп, и 1, 2, Доказательство. Для любых С, ) В сс О» чь! Рсз(се) — ~ Ргз(св)»~>,'+с(а(с,с) +ф'-ьа(с, с), аас ! и ! ь где баб, !) РСз(св) — Р)з((в), ~~'.с~ означает суммирование по всем й, пря которых йа(С, С) положи!ел!пи, а лв' -суммиро- вание по остальным й. Отсюда ~+аз(с !)»-~~'„', азр д (с) ПРИЛОЖЕНИЯ Тэк как в условиях теоремы 9.3.! вероятности перехода Рту ((е) > 0 ври всех й (, то прн любым й 1 дэ((, )) ~~~,",+ (Рю(тт) — Руэ((М < ~~'„~ Р~а(те) ~( (2) э э Эп! и в салу конечности числа состояний д = тпэх ~~Р+ (Рта (те) Р~э (т 'й < И Р) й) е Оценим теперь разность уу(пта)-оу(пта), Используя уравнение (9,24) с э=)а, с=псе, получим ут((в+ Ц те) — от((п+ Ц (е) =спек (Рп((п-(-1) т ) — Рут((п-ь () ~ ц) а(е) уа(е)) эт( э) ') а = п)ах ~»' ЬЭ(й )) Рр~(пте)м й)» ~п1ах.)У,+ да(( ))УтРМе)+~~~ Да(), ))о,(п)т) Отсюда, используя (!).
(2) в (3), найдем Ып+ П те) — (((+ П те) ,((рт (пт )- (п1е)) Х+ йа(й ))~ к) ь = д (тт(пте)-от (пте)). Отсюда н нэ неравенства (3) следует утверждение леммы. Перейдем к доказательству теоремм. Так как последовательности о~(т), ут(т) монотонны, то о< ~,()) <,д, аОт ~р,(т), (4) Отсюда и иэ леммы 2 находим 0 а»()т — д~«~От (псе) — от (псе) ~Сд», Следовательно, прн и о получим От=дт=дт " )Рр(т) — д)(ар,я-9() а 1 ,<, Ь;(~ — 1(е) — о, Ц вЂ” ~ те):~С . (3) Полохтитечьность дс следует нэ неревенств (4).
Перекодя к пределу при т — ~ ю и э ( в уравнении (9,2А), получим, что д~ удоюютэоряют ураваенню (9.3.2), Таким образом, теорема дока за а а. прилад(ения В 2. Двумерное нерыйдьное распределение В 4 4 гл. 4 было дзио определение п.мерного нормального распределения (см, (4,4.14)). Рассмотрим болев детально случай а 2. В формуле (4.4.14) положим а 2, 1 (1-Р') М' агт (! -Р') аг — ы (1-р') агат Тогда азт аее! (1-Рз) агое гда с)(сг хе) ~ + з 2Р Г(хг аа1д)з е(хе ае)е (кг аВ (хе ае)1 1. () ог аз агат "г(айдем одномерные плотности распределснпя.
По формуле (4,3,9) Ю 3 1 — Осе «и Рй (хт) — бхе. ,1 2матаз $1 — рз "З Отсюда, воспользовавшись заменой з — и формулой хе — а, а, 9 (хт, хз) — ~ — + ее- 2р» — ~ ° Г(х -Ме е х,-а,1 1-Р' ~ аз оз получим Ш-ен з 2паз )г 1-ре Формула (4.4.14) в случае двумерного нормального распрсделеппя запишется в воле -фа<,хи Рй4 (хн хз)= е ~ (1) 2на„ае $~Т вЂ” Ре НпИЛОЖВНИЯ к; — ае'е у)слагая а=~а-р — ~( У1 — р4, найдем ае !е, ад* ее е' 1 еае 1 р (х,) —:ю~е ' ° = ) е ' йа 4е Р2н ')2п,) н, следовательно, !х, - а,)» еае Ф получим сот (Хе, Ве) =М !Ве — пе) (Че — пе)— Ю Ю 1 р р — «)!х ) ° — ) ) (хе — ае) (хе †) е е е(хе 4ка, 2паеое у 1 — ре,),! Отсюда заменой переменных хе — йе ке ле Уе= Ус=в ое уг) — р' ое $~1-ре получим ее ее е е (! — ре) а,ае е.
à —,(ке-'ох хе+ах) сот (ье, Ве) = уеуее Фелуе' 2н Интеграл в круглых скобках можно рассматривать как матеметическое ожееданне нормально распределенной случайной величины с параметрамп (ру», !). Следовательно, этот интеграл равен руе н а ке ы -Р*) сот(вт, $е)=(1-Ре) а,а, ~ — "' е ' 4Уе.
1 рх (хе) == а У'2н Из агой (!армуды получим важной ае, ат па лт, и, формулу плотности распределения $е. Такпм образом, одномерные распре- делении величин 4т, Че являются нормальнымн с параметрамп (а,, ае), (ае, ае) соответственно. Следовательно, а Мье = от, (ейе = о(, Меч =ам (3$е — — пе. Полагая в формуле (5.1.7) л=2, у(х„хе)=(хе-п,) (хе-ае), ПРИЛОЖКНИ% Последний интеграл является дисперсией нормально распределенной случайной величины с параметрами (О, 1/ р'Т вЂ” р' ). Сле. довательио, втот интеграл равен 1/(!-р') н соч(йт, 4) ро,ал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
