В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Параметр 1 обычно интерпретируется как время. Если 1Е(0, 1, 2, ...), то говорят, что С,— процесс с дискретным временем; если же (ЕЛО, Т1 то ~,— процесс с непрерывным временем. Действительную функцию $, (ы,) яри фиксированном м, называют реализацией илн птраекторпей случайного процесса. Если фиксировзть 1= г'„то $о(а) является обычной случайной величиной. Функции распределения Р, (х) = Р ~$, < х) задают распределение значений процесса в каждый момент времени.
Зная только Р,(х) при всех 1, мы еще ничего не можем сказать о зависимости значений процесса в какие-либо фиксированные моменты времеяи. Таким образом, естественно задать всевозможные совместные распределения Ром ~ (х, х„..., х„)=Р($ц < х,,, $~ < х„), (1,1) где 0 '-.Г„ < 1, < ... 1„, и = 1, 2..., В гл. 4 мы покззалн, что можно построить вероятностное пространство и определить иа нем случайную величину с заданной функцией распределения. Аналогичная задача построения подходящего вероятностного пространства для семейства случайные вслнчин 4 с заданными пухссонозский нэопесс аспределеииями (1.1) является значительно более сложной задачей и выходит за рамки настоящей книги А, Н.
Колмогоров (8)). Частный случай этой э~дачи был разобран в з 4 гл. 3, ц следующих параграфах мы опишем несколько типов случайных проиессов и вычислим для иих вероятности отдельных событий. Тпп пропесса будет определяться свойствами, которымн должны обладать величины зн Построения подходящих вероятностных пространств, на которых люжио определить Ц, с заданными свойствамн, приведены не будут. й 2. ()уассоиовский процесс Случайный пропесс $~ с непрерывным временем называется процессом с независимыми приращениями, если при любых О 1, < (, « ...
1„, 1„..., 1, Е(О, со), п=1, 2, ..., случайные величины ги, Фп — Ь„.", В~„— Ь„, независимы. Пуассоновским процессом называеоюя про- цесс ~о удовлетворяющий следующим условиям: 1'. ~,— процесс с независимыми приращениялш, 2". При любых 1„< с,, з приращения 5ц — $п, $п+,— Ь,+, одинаково распределены (однородность по орел~ели).
3'. $, (м) = О, ы ~ Я. 4'. УУри й О Ра„=о) =1-И+о(й), Р(й„Р=2) =о(й), Р(з =1)=ли+о(й), О<2< Пуассоиовский пропесс $, можно задать на вероятностном пространстве (Й, $, Р), где множество Й совпадает с множеством ступенчатых функций, у которых имеются только единичные скачки, а моменты времени, соответствующие скачкам, не имеют точек накопления. Теорема 2,1. Если си — пуассоновский процесс, то Р($,=й) 'а,' е-хе, А О, 1, 2, ... 19Я ЭЛЕМЕНТ»» ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»ГЛ. И Доказательство.
Пусть ф,(х) Мх» — произ. 4 водящая функция «». Посвойству 1' величины «»+» — «„ «» независимы. Следовательно, ф„„(х) = М.т'»+» = Мх(»»+» Ьй"» = ~р» (х) Мк'»+* Е», Так как по свойству 2' величины «„» — «» н « — «„= «» одинаково распределены„ то Мх~»+» ~»= Мх»» н прн И О согласно 4' Мх~» =-1 — »И+ хйй+ о (И), 1х(«~ 1. Таким образом, »р»»» (х)»р» (х)(1 — АИ+х) И+о(И)). Отс»ода ч"+»(х)„~ ( ) = — А (х — 1)»р, (х)+ о(1).
Переходя к пределу при фиксированном х и И- О, получим = — А (х — 1)»р, (х). Решение »тото уравнения с начальным условиеи »р„(х) 1 определяется формулой »Р (х) =-е"'"-" =- ~~' — е-"'х». (М)» Полученная производящая функция является производящей функцией распределения Пуассона. Теорема доказана. Используя доказанную теорему, можно найти совместные распределекня «»„..., «» при любых (,<...<(„ Очевидно, что («»,=й» Ь,=И ° ° «»„=И.)- =(Ь, И» Ъ» — И,="ИА — й» ",܄— $»„,=й.— И.- ) (уь 1) винввовскип пооцзсо ,. Ь,~Ь,~... ~йх.
Отсюда, учитывая независимость и однородность приращений, получим р(зп-й,, ..., ~„=Ь.)- <хе, ° "„, (х(.—,)) - ° (зз-ьд1 * -х (Хр Е йх х $ ( х Зх-в) два свойства пуассоиовского процесса сформулированы в задачах 4 и 5, а 3. Вннеровскнй процесс В $ 2 был рассмотрен процесс, в котором изменения происходят скачками. Здесь мы определим процесс, имеющий иепрерывпые траектории. Винеровскиле про« цвесом называете з олучабнелб процесс "гл, рдовлетворлюи(ий условиям: Г. еь,— процесс с независимыми приращениями. 2'.
гури любых Г, < Е„з прираи(вник 3,,— $,,; ех,+ — 'ех,+. одинаково распределены. 3'. $Ф(еа)=0, ырра, 4'. При и 0 М~~а = аЬ+о (Ь), М ( $з (х = о (Ь). Мвх=ЬЬ+о(Ь), — оо <а < оо, 0 < Ь оо. Теорема ЗЛ. Если Ц вЂ” винеровский процесс, шо х и р(3, < х) = = ) в Ии, Уъы ~ Доказательство. Похожими,(з) Мв"~е. Здесь аРгумент характеристической функции обозначен буквой в Пусть з фиксировано. Так же, как в доказательстве теоремы 2.), найдем ~...
(з) =~,() М'" --'~ =Ь(в) М '". 7 в. и. чистхиов 1э» элементы теОРии случ»нных'пРоыяссоа 1гл. ы По формуле (7.2.11) Ме ' "=1+(»М3» — М$»+0((»(аМ($»(). Отсюда н нз свойства 4' следует Мене» 1+ 1» (ай) — ' 2'+ о (6), Таким ооразом, уа+» (») ~1+ 1» (ал) — '— '+о (й)) ~, (») »а»)=»и -(в.-Ф~ » ен.а.
Переходя в этом равенстве к пределу при Ь- О, получим (,'»а ! Ра (»). Ф$ (а) /. »»Ь Т Ж (, 2 ! Отсюда, учитывая начальное условие уа(а) = 1, найдем а мо-(-) — ' 7„ (») е Полученная характеристическая функция величины $, соответствует нормальному распределению с параметрамн (а1, р'й). Теорема доказана.
Найдем совместное распределение $,,, ..., $,, Совместное распределение приращений т)» $а — $~», »+» й=1, 2, ..., я. Да, О) легко выписывается. Тогда, используя равенства — т) +т(„..., $а„— - »1„+т)а+... +и„ получим Р($а <Л ° Ь, <Х„. °" Ь <.Ха) р(т), <ко Н,+т), <к„..„т(,+... +ц„<х„) = (а,-а(~»-с»,))а ая'-ст а, ..а ., 3 а» 3'БУТ*= .д в я твящияся пвоцвсо где 0.= ((и„, . °, иь)т ит < хт, их+«1 < хы ° ° ° °,, «,+и,+ ... +и„< х„). й 4. Ветвящийся процесс Ветвящийся процесс — зто процесс размножения н превращения частиц, в котором частицы развиваются независимо друг от друга. Дадим определение ветвящегося процесса с дискретным временем.
Пусть ~з(1), А ), 2, ..., п, ,; 1 О, (, 2, ..., — независимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины с общей производящей функ- иней ф(х)-;;, х-р„. Величина $„(1) будет интерпретироваться как число непосредственных потомков частицы с номером й, существовавшей в момент 1. Случайный процесс р„ определяемый равенствами Фг(1)+$,(1)+...
+$„(1), если р,>0, рч= з РФ+1 =1, О, если р,=0, называется еелыяи(и«се. Прн исследовании ветвящихся процессов часто используются производящие функции. Положим Ф (х) Мх"4. Отметим, что Ф, (х) ~ х, Фз (х) Ч~ (х). Так как р,+„является суммой случайного числа независимых слагаемых, то, положив в теореме ! А гл. 7, ~гс„(х) = Ф„, (х), 'Мх) =% (х?.
фт, (х? =% (х) получим Ф~+1 (х) = Ф1 (т (х)) (4.!) !Ва элементы теОРии случАйных пеоцессов !Гл. и Это функциональное уравнение позволяет найти производящую функцию Ф,(х) при любом 1. Полагая 1 1, 2, ... в (4.1), получим Ф,(х)=ф(ф(х)), Ф,(х)=ф(р(ф(х))), ... Очевидно, что Ф,(х) является 1-й итерацией функции ф(х): Ф,(х)=~р(ф ... ~р(х) ...). Найдем А, Мр,. Продифференцнруем (4,1) цо х: еФ~„.д(х) еФ аф 1 ох еф Ех ' Отсюда, полагая х = 1 и а = А, = ~р' (1), получим А,+т А,а и, следовательно, А,=а'. Поведение А, прй 1 - оо качественно различается в следующих трех случаях: а<1, а=1, а>1.
При а<1 среднее число частиц А, стремится к О при 1 — оо, А, ! прн а ! и А, — оо в случае а > 1. Ветвящиеся процессы с а < 1, а= 1 и а > 1 называют соответственно докритическими, критическими (еслн 1р(х)чих) и нодкритическими. Аснмптотические свойства ветвящихся процессов в этих трех случаях существенно различны, Исследуем условия вырождения процесса. Обоз. начим С событие, состоящее в том, что Р,=О прн некотором 1. Очевидно, что (Р,=О) с= (р~+т- — О), 1 =1, 2, ... (4.2) Событие С можно представить в виде С 0 (пт О). м1 Согласно (1,5.9) Х Р(С) = 1пп Р(И~--*О). Если А 1, то процесс называетоя выроясдаюи(имея. Докрнтнческие процессы (а <!) являются вырождающимися, так как при 1- оо 1 — Р(3А1 О) Р(рт>0) р ~р > — <2М(А$2ат О.
1к Покажем, что вероятность А удовлетворяет уравнению ф(х) =х. (4.3) Ветвяшнйся пгоцвсо 197 Т к как Ф (х) ЯвлЯетсЯ 1-й итеРацией ф(х), то наРЯдУ (4 ц имеет место равенство Ф~, (х) =ф(Ж(х». (4.4) Фчевндио, что Ф,(0)=Р(р, 0). Полагая х *0 в (4.4), полу~им Р(Р„„=О)-ф(~ (Р,-О», (4,5) ()тсюда при 1 — со найдем 1, ф(),). (4.6) Таким образом, Х является корнем уравнения (4.3). и тех случаях, когда (4.3) имеет единственный корень Рис. з. иа отрезке [О, 1], этот корень совпадает с Х.
Пусть ф(х)чьх. При хЕ[0, 1] имеем ф'(х) >О, ф" (х) >О. Следовательно, р(х) на отрезке [О, 1] возрастает и обращена выпуклостью книзу. Параметр а = ф' (1) определяет угловой коз$$нпиент касательной к гра4жку у = ф(х) в точке х* 1, Следовательно, при а = 1 граФик у ф (х) касается у=х в точке х= 1: прн а(1 касательная к у ф(х) проходит выше у х (Рис 3). Таким образом, при а~1 уравнение (4.3) имеет на отрезке [О, 1] единственный корень х=1, н, ~~~довательно, ветвящийся процесс вырождается, если о~1 !эз вламвнты тво ии свгчаииых пгоцессов !гл, и При п>1 касательная к графику р =<р(х) про. ходит ниже у=х (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
