В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Последовательность (Р„(х)) слабо сходится к функции распределения Р(х), если !!щ Р„(х)=Р(х) »» -»»» при любом х, в котором Р(х) непрерывна. Теорема 2.4. Если последовательность функций распределения Р„(х), и = 1, 2, ..., слабо сходится и ненрерывнои функции распределения Р (х), то Г„(х) — + Р(х) при и- оо равномерно по хЕ( — оь, + оо). Доказательство. Из монотонности и ограниченности функции Р(х) следует, что для любого е>0 можно выбрать конечное число точек х, < х, «...
<, хн так, чтобы на каждом нз следующих множеств ( — со =х, х ), !хм хь), . °,, !хн, хм+~ — — + оо) приращение функции Р(х) не превосходило в, Пусть хЯх„х„,). Так как Г„(х) — Р (х) = = (Р„(х) — Р„(х„)) + (Р„(х„) — Р (х„)) + (Р (х„) — Р (х)) и ! Р„(х)- Р„(хя)1«Р„(хь„) — Р„(хь) < «( Р. (хе+») — Р (хе+») (+ (Р (хь) — Р.
(хь)! + + Р (хь» г) — Р (хь), (Р(хь) — Р(х)( Р(х +,) — Р(хь) в т1 хАРАктееистические Функции 1ЗЗ в силу монотонности Р„(х) и Р(х), то ! Р. (х) — Р (х)1-=(Р. (х ° ) — Р(х- )1+ + 2 ( Р„(хА) — Р (х„) (+ 2 (Р (х„+,) — Р (хь)). (2.13) По условию теоремы Р„(х„) Р(х,) при и со.
Следовательно, из (2.13) с учетом выбора 1хе, х„,) получим, что ( Р„(х) — Р (х) ( < 5е при п > п,(й). Полагая и,= гпах п,(й), получим Оклик (Р„(х) — Р(х)(< 5е при п > п, и любых х. Теорема доказана. Приведем формулировку теоремы о непрерывности соответствия множества характеристических функций множеству функций распределения. П)сть 1„(1), и = = 1, 2, ..., †последовательнос характеристических функций и Р„(х), п = 1, 2, ..., †последовательнос соответствуюпгих функций распределения. Теорема 2.5.
Если )„(1)- )(1) при и- оодля любого 1 и 1(1) непрерьюна при 1=0, то 1) ~ (1) — характеристическая функция, соответствующая некоторой 4ункции распределения Р(х); 2) Р„(х) слабо сходится к Р (х) при п — оо. Обратно, если Р„(х) слабо сходится к 4ункции распределения Р(х), то 1„(1) Г(1), где 1(1) — характеристическая 4ункция, соотвепитвующая 4ункции распределения Р (х). В следуюпгей главе вта теорема будет использована для получения предельных распределений для сумм независимых случайных величии, Приведем формулировку еще одной теоремы, которая часто используется при исследовании предельных распределений. Пусть Р„(х)=РД„~х], и=1, 2,..., — последовательность функций распределения. Обозначим т„"" = М ВА.
Теорема 2.6. Если при всех й, й=О, 1, 2...,, 1)гп л4'=т'А'( оо, то сущгствует Функция распре. к щ 164 ПРОИЗПОЯЯШИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ!ГЛ, т деления Р(х)=Р(6 < х) такая, что т'а!=Мйа. Если згиоиу условию удовлетворяет единственная функ!(ия Р (х), то Р, (х) ири и — оо слабо сходится к Р (х). Задачи к главе 7 1, Пусть 5 в неотрицательная целочисленная величина с производящей функцией о(х).
Найти производящую функ- цию распределения величины 26+ 1, Найти ~ЧР ~х"Р (Г, ~ и), » о \й е х»Р $»~ и) ~Р х»Р (х 2п) » е »=з 2. Найти производящие функции величин т, т„, определенных а задачах 14, !6 гл. 4, Найти Мт, От, МТ„„ОТ„. 3. Найти производящую фуякцво величины ч, определенной в задаче 16 гл. 5. 4. Найти производящую фунипню случайной величины, рас.
пределенкой по закону Пуассона, Докззагь, что сумма независи- мых пуассоноаских величин имеет пуассоновское распределение. 5. Случайные величины ч, $м $...... $» независимы при лю- бОМ и =1, 2, ...; Р($» 1) ! — Р(за=О) Рх Ч ИМЕЕТ РаСПРСДЕ- ление Пуассона. Найти производящую фуикцюо величины т) ьет+... +яч, ц=б, если ч=о. 6. Вычислить характеристические функции следующих зако- нов распределения. а) бяиомиального; б) Пуассона; в) показа- тельного; г) равномерного иа отрезке ( — 1, 1), 7. Найти законы распределения, соответствующие характе- ристическим функциям; соз г, созе), !ч ~ — ) соз й!.
ь=! 'х 2 ) 6. Величины сп зз независимы н одинаково распределены, их характеристическая функция равна !(г). Найти характеристичес. кую функцию величины йг — 4. 9. Величины $х, (,з, $а независимы н нормально распределены с параметрами (1, 1), (О, 2), ( — 1, !). Найти: а) Р (ьт леча+аз < О)! б) Р() 2Ь вЂ” Ь44з! < 3).
16, Локазать теорему Пуассона прн помощи теоремы 2.6. ГЛАВА 8 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 5 1. Закон больших чнсел ! (пз Р ~ ~ ~*+ ~'+ ' ' '+1" — а ~ < е) = 1, Д о к а з а т е л ь с т в о. Характеристические функции 11„(1), 1=1, 2, ..., одинаковы. Поэтому можно по- ложить 11 (1) =1(1). из существования м$„следует, что верно разложение (7.2,9): 7' (1) 1+ Па+ 1е Я, где е(1) О прн 1 — О. Положим Ч = Чл = (1.1) Так как случайные величины независимы, то по тео- реме 2.3 гл. 7 Отсюда по теореме 2.1(3') гл. 7 находим В этом параграфе будет доказана теорема 2.3 гл.
6 без предположения конечности дисперсии. Случайные величины бесконечной последовательности $„$„... ..., $„, ... называются независимыми, если прн любом п независимы величины $„$„.. „$„. Т е о р е м а 1, 1. Пусть случайные величины сч, $„... $„, ... независимы, одинаково распределены и имеют математическое олсидание М$л = и, Ф = 1, 2,... Тогда при любом е > О пРедельные теоРемы [гл е Заменяя в этом равенстве 1((уп) по формуле (1.1), при любом фиксированном т и а- оР получим (т) = ~1+1 — а+-е ~ — )~ е"", (1.2) тая как е((!а) О при и оо.
Таким образом, при любом Ф последовательность )ч (1) сходится к функ- ции е'", являющейся характеристической функцией постоянной величины а. Функция распределения Р (х) постоянной а равна 1, если х>а, '( О, если ха~а, По теореме 2.5 гл. 7 прн любом хна Ищ Р„(х) = Г (х), (1.4) 6~ Ф так как хе а — единственная точка разрыва функции Р(х). Пусть задано е > О.
Тогда Р ( ( ׄ— а ! < е) = Р (а — е < т)„< а+ е) „'Э: и 2 ~~Т)„< и+. Е) гч (и+е) гч ~п 2 ) Точки х=а+е и х=а — е)2 являются точхами непре- рывности функции (1.3). Следовательно, при и оэ Рч (а+е) — гч (а — '~)- р(п+е) — г ( — — "1 =1, "Ю ~а~, 2~ 21 Отсюда и из неравенств 1 ' «Р ( ) т)„— а ! < е),Р Р» ~а + е) — Г„„(а — 2) следует утверждение теоремы. 2 2. Центральная предельная теорема В 3 3 гл.
3 была доказана теорема Муавра — Лапласа, согласно которой число успехов р,„в и испытаниях схемы Бернулли при больших и имеет распределение, близкое к нормальному, Если воспользоваться тем, что р„ представляется в виде суммы независимых слагаемых (4.4.!8), то теорему Муавра — Лапласа можно сформулировать в следующем виде, »»! центР»льн»я ПРедельн»я теоРемА !ат Если случайные величины $О $„..., $„, ... Неацвисииы, Р($„!)=! — Р($„=0)=р, то при и оо, о<р<! <х)- — ( е»»(и (2.!) равномерно но х ~ ( — оо, оа).
Утверждение (2.!) сохраняется при достаточно об»цих предположениях о законе распределения слагаемых $». Докажем следукнцую теорему. Т е о р е и а 2. !. Если случайные величины $„$„... ..., $„..., неаовисиечы, одинаково распределены и ймеют конечную дисперсию, то при и оо ривноиерно по х~( —, ) и' еде и=М»„, от (У$„. До к а з а т е л ъ с т в о. Положим 3,4-!»+ ° ° +$« — «а Кч $» — а ты= а )~а 1о уп Разложим характеристическую функцию величин $» — и по формуле (7.2 )0): ~Е», (!) = 1 + )!М ($» — и) — — М (С» — и)»+ т'е (!), где е(!) 0 при ! О. Так как М(»ч» — и) О и М(⻠— и)»=о', то ~»» "() 2 + (2.2) Отметим, что в атом равенстве функция е(!) не за висит от й.
По теореме 2.3 гл. 7 (!)=(! — '* +! Е(!))". '~„п»-»» »ш! е е) центРАльнАя предельнАя теоремА 1$9 (т)„— Л„)$' В„сходятся при и — ео к функции = ~ ехр(' — — )) л(гл, то говорят, что случаг)нал ае)гз,) личина т)„при п — оо асимитотичесни нормальна с параметрамге (А„, ) 'В,). В гл. 3 теорема Муавра — Лапласа, являющаяся частным случаем теорем 2.1 и 2.2, была применена к оценке отклонения частоты от вероятности.
В качестве примера применения теорем 2.1 н 2.2 оценим число испытаний в методе Монте-Карло, необходимое для вычисления кратного интеграла с заданной точностью, Пусть функция 7(х) =) (х„х„..., х,) определена на з-мерном единичном кубе е'. Требуется вычислить интеграл а ) ... ) )(х)л(х. Пусть известна постоянная С такая, что 17(х)~~С, х ~ )', Обозначим $ = Д„..., $„) случайный вектор, равномерно распределенный на (г. Тогда рк(хл, ...,х,)=1, если х~(г, и ре(х„..., х,) ° О в противном случае.
Математическое ожидание случайной величины т) = 7" (9) найделг по формуле (5.1.7): (.тл, ", ха)ра(хл " -;)бхь )...) 7(х)л(х=а. Таким образом, Мт) совпадает со значением вычисляемого интеграла. Так как )г(х)(е,,:С, то оа = От) = ~... ~ (~ (х) — а)е дх ~ ~4Се. Пусть теперь случайные векторы за =(зал..., йе,), й= 1,, „п, независимы ') и распределены равномерйо е) Случайные векторы фа, А=(,,„, а, веааввсямы, есав Аая любых е.мерных лрямоугоаьявков ВА, А=), ..., п, Р $т~Вл, ..., йе~Ве)= Р(йтйВД Р($айВе). прядильные творимы !Ео на единичном кубе )г. Тогда случайные величины т)а = ! !за), й = ), ..., и, независимы и одинаково распределены. По закону больших чисел случайная ведичина С Чт+ "+Че и при больших и близка к постоянной а=М»)а. Предположилт, что нужно вычислить а с точностью Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
