В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115264), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Справедлива следуюшая теорема, Теорема 5.1. Если случайные величины ((т и $, независилеы„п)о независимы и случайные величина т), = -ф Ю Ча=ф.($*) Доказательство, Пусть В, и „— пронзволь. иые борелевские множества '). Тогда Р(т(,е.Вм т),~В,)=Р(фД,)~В, (р,(йе)~В,)= =Р6 Еф т(Вх). $збф '(В.)) (52) ") См. сноску иа стр. 92. «щ ехнкции от слтчхнных величин 99 Так как множества «р (В,) и «р (В,) борелевские, а случайные велнчины $, н $, независимы, то согласно определению независимости в форме (4.2) имеем Р(~,Е р; (В,), й,б р,- (В«)) = '=РД,Е р; (В,))РД,Е р,— (В,)).
(5.З) Очевидно, что (В ~«рГ'(В;))=(р ©~В;)=(т);~В;). Отсюда и нз равенств (5.2) н (5.3) получаем Р (т(, б В„т), Е В,) = Р («), Р В,) Р (т(, Р В,) для любых борелевскнх множеств В„В,. Теорема доказана. Если на исходном вероятностном пространстве задано несколько случайных величин ($,, $„ ..., 9„), то сложная функция «) = «р(а„ ..., $„) также является случайной величиной для достаточно «хороших» функций р(и„ и„ ., „ и„); например, достаточно потребовать, чтобы <р (и„и„..., и„) была непрерывной.
Можно доказать следующее утверждение, обобщающее теорему 5.): если $„$,„..., с„, «)„«1„..., «)„— независимые случайные величины, то случайные величины Ю«=ч1(9, "., г,.). 1»= р«(ч ", ).) независимы. Закон распределения новых случайных величия, являющихся функциями от старых, очевидно, определен, так как онн заданы на том же вероятностном пространстве. Можно найти функцню распределення новой случайной величины т) =«р($).
Для зтого достаточно знать только функцию распределения $. Действительно, Гч(х)=Р(«р(5) <х) Рйб«р '( —, х)). (5.4) Так как множество «р "( — со, х) борелевское, то вероятность в правой части (5А) может быть вычислена по Ге(х), Аналогично находится функция распределення, когда «)= т(ь« ° ° «ь«). 4» случляныа Величины «ГЛ, А П р и ме р 1. Найдем закон распределения линейной функции от нормальной случайной величины.
Пусть случайная величина 4 имеет нормальное распределение с параметрами (а, а). Покажем, что случайная величина и =- А$+В, А ч~ О, имеет нормальное распределение с параметрами (Аа +В,)А )о). Плотность распределения ра(и) величины с задаемся формулой (2.3). Пусть сначала А >О. Тогда к рч(х) =Р(А%+В < х) = Р ~В < — у- ) = ~ ре (и) ди. Отсюда, так как рт (х) и гч(х) непрерывны при любом х, следует, что существует р (.)=Р (.)=р,~ — '') Р=„— ')' = — 'р,("=').
(б.б) Если А < О, то р„(х)=Р(А$+В<х) =Р~$> — ' — „В) = А ! Р(ч - — ) — 1 — ) ре(н)с(и Ф 1 /х — В'1 Арт(, Х /' Объединяя эту формулу с (б.б) и используя (2,3), по- лучим Ух — Вт (л)ра(, л ) где а, = Аа+ В, о, =) А ) о. Тео р ем а 5.2.
Если случайные ееличиныЦ, и $, абсолющио непрерывны и независимы, то слрчийнал вели- ~51 Функции от случАйных Величин нп чина $,+$, тоже абсолютно непрерывна и ее плот- ность распределения определяется по формуле р(,,4(х)= ~ р~,(и)рг,(х — и)ди. (5.6) Д о к а з а т е л ь с т В о. Найдем сначала Ри,им(х) =Р($,+$, < х) =Р(Д„~,)~ 0„), ГдЕ Ок=((и, О): и+О(Х). ТаК КаК ПО УСЛОВИЮ тЕО- ремы величины $, и ск независимы, то их плотность совместного распределения согласно (4,9) равна рида (и, о) = р;, (и) ра, (о), и, следовательно, по формуле (3.3) найдем Г~,, м (х) = ~ ~ ри, (и) рм (о) ди сЬ = ок Ф к -иик - ) ии( ~( ) иини )и Ю Ф Отсюда, полагая о г — и, получим Ю к Рм+г, (х) = ) рг,(и) ди ) рм(г — и) дг= Ю Ф к ю к ~~ ~ р(, (и) рн (г — и)г(и )Нг = ~ ри,,и,(г) г)г, -ю / ь где рг,, м (х) = ) р~, (и) р4 (х — и) ди.
Теорема доказана. Отметим, что вместе с (6.6) верна формула рг„т, (х) = ~ рь (.т — и) р(, (и) г(и. ь Используя формулу (5.6), можно показать, что сумма независимых нормально распределенных слу- слпчдииыи величины !гл. ь !02 чайных величии имеет нормальное распределение. В гл. 7 этот факт будет установлен при помо!ии ха- рактер!готических функций. Рассмотрим следукицнй пример. Пример 2. Пусть случайные величины 5! и $, независимы н имеют распределения соответственно равномерное (см. (2.5)) и показательное (см. (2А)): (1, если х~~О, 11, '10, если х60, 11, /е л если х~>0, !(О, если х<0, Требуется найти рм ы(х).
По формуле (5.6) получим Ю ! ры, ы (х) = ~ рь, (и) ри (х — и) !1!ь = ( р. (х- и) И.и, Подыитегральная функция р;, (х — и) > О, если 0 < и<х, и р;,(х — и)=О в остальных случаях. Таким образом, прн 0 <х.-1 ре „ь (х) = ~ л" ст-ы!(и = 1 — с-ч о и при х)1 ! рв, а, (х) = 1 е !""ч! !1и = (е — Ц е""', Окончательно получим О, если х~ О, ры+е,(х)= 1 — е ", если 0<х~1, (з — Це " если х>1, Задачи и главе 4 т, В задаче 20 гл. ! доказать, что $т, че пезависпмм. 2.
Случай!тач иеличипа Ч распределена иормальчо с параметраин о=о, оАЬ а) Найти плотность распределеиии рм(х). ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4 О) Найти плотность распределения нелнчнны т)=е» [догаряфмнческн †нормальн распределение). О. Плотность распределения 4 аадвна Оормулой —, если х~!, С х= хз' О, если х< 1» ! распределення Н.й. - -.уго С, ~ — <Ч<ф) 4. Случайная величина с нмеет показательное распределение. 1 Найти плотность распределеина »!= в , 1 †' 5. Функкня распределения г" [х) величины с строго монотонна н непрерывна. Найти закон распределения велнчнны т) Рф), О. Случайные величины ч„кз неэаьиснмы, одинаковораспределены н нмек»т показательное распределение.
Найти плотность распределеннн нх суммы. 7. Величины $» н 4» неэавнснмы н равномерно распределены на отрезках [О. !), [!. 2[. Найтн плотность распределения [»)2». 8. Точка наудачу бран»сна на отрезок [О, 1[, Ее коорднна»а равна О. ь»Ыз ° х.' 1 ° е ~~Ы х.' )йь Найти совместное распределенно ьт, аз. Будут лн этн эелнчпны неззвиснмы! 9.
Совместное распределение [к„че) задано Оормулзмн Р ф,= — 1,$з= — Ц=Р [$,-О,йэ= — Ц=Р [$»=),йз= — Ц=.ь- ° 1 ! Р4,= — 1, $,=Ц--, Ра,=о, Ь=Ц=Р(~,=1,5,=Ц- —. 4' ' ' 8' Найтн оДномеРные РаспРеделенив 4», ьз н РаспРеделеннЯ нелнчин»)»=$»+$з, т)з=с»кз, 18. В предыдущей задаче найти совместное распределенне нелнчнн Чм тп 1 кезаннснмы !» [ьт 2' йт равномерно распределена на отрезке [О, Ц. Найтн распределение аелнчнны ~х+»ьз 12, Найти закон распределения сумммдвух неэаннснмых сиучайных зелнчнн, каждая нз которых имеет распределенне Пуассона. 13.
Пусть н полнномнальной схеме [сн. 4 2 гл. 3) л пронззольно, Л'=3. Закон распределення чнсел нсходон раэлнчных СЛУЧАЙ ЫЫВ ВЕЛИЧИНЫ (гл. е типов чо йз, сз определяется формулой (3.2.7». Найти Р(ьетА-Ш!, йз- л! »сз =шз» тде тт+жз+же =л. 14. Обозначим т число испытаний в схеме Бернулли до появления первого успеха включительно. Найти закон распределения с. 13. Велнчкна тп! равна числу испытаний в схеме Бернулли до 1.го успеха включительно, з т!и — число тжпытаннут, прошгд. вих после 1-го успеха до 2-го успеха. Най!и совместное распределение тт', тм'. Коказать их независимость. 13. Найман закон распоеделения веЛичины т .
равной числу исшх~зний в схеме Бернулли до воявления лого успеха. 17. Величина ст, ьч, независимы и одинаково распределены: Р(4-=й)=-Р(ьез»=-й)=2-», »= 1, 2, ... Нанти распределение $,-~ $з непосредственно по поредело!!ию. Сравнить с задачей !б прн ~ ==2, р = 4= 172. 18.
Пусть со йз... „5ч-пезавнсимыс одинаково распределенною абсолютно непрерывные случайные величины. Прн каж. дом ы расположим числа 2»(ы», »=-.1, 2,,, л, в порядке воз. рас!виня и перенумеруем: Чт -т»тч ... ~т)е. Таким образом, Ч,(ы) яаляетсн пзоменьшны нз чисел (',(ы),. 'ск(ы)) Чи(ы»вЂ” наибольшее из тех жс члсел и т. д. Най!и плотности рзспредс. лсикй: 1» Ч~', 2) !»ох 3) И„„! < л! < л; 4) (т)м, т»»). 19. Пусть ()=(ы,, мз, ып ыД и элементарные события равиоасроятям. Положим Ь ((от» — й~ (ии) = йз (мз) =-йз (ых) = $» (ыз) = = Ц(ыД=-!.
В осгальпых с,тучаях я!. ",з, $з равны О. Доказать, что случайные величнкы $т, йз, Сз попарно независимы. но ие валяются независимыми в совокупности. 20. Машина состонг кз !ОООО деталей. Кзжлзядстальнезазнсимо от других оказыааешя неисправной с вероятностью р!, причем для и,=- !000 деталей — р, 0,0003; дла лз деталей — рз ==00003 и для из=7000 деталей-па=ОООО!. Машина не рабо. таст, если в ней неисправны хотя бы две детали.
Найти вероят. ность того, что машина не будет работать. глава й ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН й 1. Математическое ожидание. Определения и примеры Функция распределения Рс(х) полностью опреде- ляет распределение случайной величины. Однако в ряде задач достаточно использовать более простые характеристики случайной величины. Одной из таких характеристик является среднее значение случайной величины илн математическое ожидание. Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть 0= «мо ы.„., „ы,) и элементарным событиям м„прил писаны вероятности р '" О, й=1, 2, ..., М, ~~р =1. Положим ь ~(м») хы Ф=).
2, ..., )У. Средним зна- чением случайной величины ~ естественно назвать Р1х~+ Р»х»+ ° ° ° +Рлхл. (1.1) Предположим, что имеется серия из п независимых испытаний, каждое нз которых заключается в том, что введенная выше случайная величина ~ принимает определенное значение (например, проводится а изме- рений неизвестной величины а; однократное измере- ние за счет ошибки можно считать случайной величи- ной Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
