Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Исследовать влияние малых сил трения иа движение шара в случае, когда в отсутствие трения шар двигался бы так, что угол между осью симметрии и вертикалью был бы постоянньгм. 'Эгоэ означает, что сцепление Лиска с плоскостью в «точкен сот~рикосновсния таково, что плотапка в месте контатгга нс скользит по плоскости и не проворачивается. Потерями энергии на трение качения пренебречь. 50 Задачи 19.21 б) Найти уравнения движения описанного шара, если он катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. 9.21. Найти отклонения к востоку н к к>гу от вертикали свободно падающего с высоты Е> тела.
Начальная скорость тела равна нулю. 9.22. ' Сосуд, частично заполненный постепенно затвердевающей эпоксидной смолой, приводят во вращение с угловой скоростью ш вокруг оси ЛВ, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси СЗЗ с угловой скоростью ы> (рис. 60). Кахун> форму примет, затвердев, поверхность смолы? Рис. 60 Рис. 61 9.23. Частица движется в центральном поле ~1Я. Найти уравнение траектории и закон движения в системе координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью ЕЕ, параллельной моменту импульса М.
9.24. Найти малые колебания частицы т, прикрепленной пружинками яеесткости х> и й к рамке, вращающейся в своей плоскости с угловой скоростью ЕЕ (рис. 61). Частица может двигаться в плоскости рамки. з 9.25. Пладкнй параболоид йе = — *+ Л вращается вокруг вертикаль- а 1> ной оси е с угловой скоростью ш, При каком значении ш нижнее положение неустойчиво для частицы, находящейся внутри параболоида'? Ускорение силы тяжести К вЂ”.. (О, О, — д)- Задача В. С. Кузьмина и М. П Переиьрейзена 51 110.
Уравнения Гсснияынона. 6 кобан Пуассона 10.3) 9.26. Рамка с частицей массы т, закрепленной на пружинках (длины которых 1, коэффициенты жесткости 1 и натяжения нри неподвижной рамке 1) вращается с угловой скоростью П вокруг оси я, смещенной на расстояние а от центра рамки 1рис.
62). Определить равновесное расстояние частицы от оси и исследовать его устойчивость. Рассмотреть следующие случаи: а) частица может двигаться только вдоль пружин; б) возможны любые смещения частицы. Рве. 62 9.27. Две звезды движутся по окружностям вокруг их центра масс. В системе отсчета, в которой звезды неподвижны, найти такие точки, в которых помещенное гам легкое тело также остается неподвижным. Исследовать устойчивость этих иположений равновесиян.
10граничиться точками, не лежащими на прямой, соединяющей звезды.) 9.28. Определить нормальные колебания трсхатомной молекулы, описанной в задаче 6.49, если ее момент импульса М не равен нулю. Угловая скорость вращения молекулы й « у'х7т; здесь Й вЂ” коэффициент жесткости связи. Момент импульса перпендикулярен к плоскости молекулы. 0 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 10.1. Пусть функция Гамильтона Н системы частиц не изменяется при бесконечно малом переносе (повороте). Вывести отсюда закон сохранения импульса (гиомента импульса).
10.2. Найти функцию Гамильтона свободно движущегося симметрического волчка, выбрав в качестве координат эйлеровы углы д, ис, кн 10.3. Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого Д Е .-- — — ' — ож' -1- За;Р". Х Ы Х,З „.2 2 10.4 а. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой 2 2 2, 2 2 2 "~") -+ ' +'(2- ') 52 Задачи (105 10.4б. То же для Н(х, р) = А р — хР. 10.5. Найти уравнения движения частицы, функция 1амилшона которой Н(р, г) = (луч света). М п(г) Найти траекторию, если п(г) -= ах. 10.6.
Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона равна а) Н(р, г) = —, — ри (а = сопз1); б) Н(р, г) =- йт п(г) 10.7. Найти закон движения заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле дса, решая уравнения Гамильтона. Векторный потенциал выбрать в виде Ау — --,Уг'х, 10.8. Исследовать качественно движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле, описываемом векторным потенциалом А = (О, Ьхз, О). Сравнить с дрейфоиым приближением.
10.9. Ноказагь, что задача о движении диух частиц с противоположными зарядами (с и — е) в однородном мапгипюм поле приводится к задаче о движении одной частицы в заданных потенциальном и магнитном полях (30). В задачах 10.9 — 10.13 идет речь о движении электронов в металле или полупроволнике. Электроны в тверлом теле представляют собой систему части~, взаимодействующих как друг с другом, так и с ионами, образующими кристаллическую решепгу.
Их движение описывается квантовой механикой. В теории твердою гела часто удастся привести задачу о движении многих взаимодействующих частиц, составллющих тедо, к задачам о движении отдельных свободных частиц (называемых квазичаспщами — электронами или дырками в зависимости от знака заряда), имеющих, однако, сложную зависимость энергии ат импульса г(р) («закон дисдерсии») . 1 ' Например, дчя дырок в кристаллах германия и кремния е( ) — "", ~ 1 з ~ гпз 4 Ь Сз(рзрз 1 рзрз Ь рзрт) где оси юордниат выбраны в соответствии с симметрией кристаллов, т — масса электрона, а констанзы А, и, С имеют следующие значения: 53 1ОЛ4) 1 10. Уравнения Гаииа»тини.
Скобки !Зуиссиии Во многих случаях оказывается возможным рассматривать авижецце квазичастиц с помощью классической механики. Функция «(р) является периодической фуцкциз ей с периодом, равным периоду так называемой обратной решетки . В остальном рассмаэрвваемые цсяее зависимости е(р) можно считать вроизвоэшцынц. 10.10. Известно, что е(р) является периодической функцией р с периодом, равным периоду обратной решетки, умноженным на 2кй (например, дпя кубической решетки с периодом а период е(р) равен 2иб/а). Определить закон движения элок!рона в однородном электрическом поле 8.
Уклзлнин к элдлчлм 1О 1! — 10,13. В этих задачах удобно, кроме обобщенною импульса Р, ввести кицемати ческий импульс р = Р— е А, где А — векторный с цотенциац магцитцо1о поля. 10.11. Полагая функцию Гамильтона О(Р. г) = е(Р— — А) + еьэ, получить уравнения дни!кения (заряд электрона е < 0). 10.12. а) Найти изпе!рады движения электрона в твердом теле в однородном магнитном поле. Как выглядит итраекторияв в импульсном пространстве? б) Доказать, что проекция траектории электрона в однородном магнитном поле на плоскость, перпендикулярную к .ре, в обычном пространстве получается из траектории в импульсном пространстве поворотом и изменением масштаба.
10.13. Выразить период обращения электрона в однородном магнитном поле через площадь Я(Е, рэг) сечения поверхности в е(р) = Е в импульсном пространстве плоскостью рзк .—... р — —.- сопзп Ж Ж 10.14. Вычислить скобки Пуассона: а) Р~: т,), (М, р,), (111, ЛА); б) (ар, Ьг), (нМ, Ьг), (нМ. ЬМ); в) (М, гр), (р, г"), (р, (аг)з). Здесь ам ро ЛХ, — декартовы компоненты векторов, и, Ъ вЂ” постоянные векторы.
Например, див крвстсилв, решетка которого сблахает в направлении осв и навыевьшвм 2кб иеривцои а, имеем в(р, ри. р,) = в(р, т и, ри, р,), гце Л вЂ” постоянная Планка. 54 ~10.<5 Задачи 10.15. Вычислить (А„АЗ), где А<= — <и: +р — у — р), 1,г г г г Аг = — <<ху+ р р, ), 1 1 Аз .=.
— )хри — ур ), 2 А< =- х —, у + р, — ри. ,г г 10.10. Вычислить (ЛХ„Лэь), (Лз<ч Лч<), где Лм = х,тя -'р,рь. 10.17. Показать, что (Л1х, <р) = О, где <р — любая скалярная функция координш и импульсов частицы. Показать, что (ЛХ„Х) — ! иХ], где и — единичный вектор в направлении оси -, а Х -- векторная функция координа< и импульсов частицы, се. Х = — Г<р1 + 1э 'дг -~- 'гф 'ч' 3 и Ччч '— " рг~г . р, (гр)).
10.18. Вычислить скобки Пуассона (Х, аМ), (ХМ, 1М), где а = = сопя1, а Х и 1 — векторные функции г и р. 10.20. Составить уравнения движения проекции ЛХ момента импульса на оси, связанные со свободно вращающимся телом. Функция 1'а- мильтона Н вЂ”.... -'~ (Х-').,ЛХ.ЛХ,. 10.21. В этой задаче рассматривается модель электронного и ядерного парамагнитиого резонанса (см.
)18), гз. 1Х). Функция Гамильтона намагниченного шара в однородном магнитном поле Зь" имеет вид ХХ вЂ” 7М.ар, ЛХг где Х вЂ” момент инерции шара, 7 — п<ромагнитное отношение. Составить уравнения движения вектора момента импульса М и найти закон его движения в случаях; а) Ж = (О„О,,Мо); б) хй = (атХ1 сок<а<,,Ма<вша«, Ма) и в начальный момент М = (О, О, ЛХа), 10.22. Найти (ои оз) для частицы в магнитном поле. 10.19. Найти (ЛХ<, ЛХ<), где ЛХС, ЛХ< — проекции момента импульса на оси <,, 5 декартовых координат, жестко связанных с вращающимся <вердым телом. 10лб) 1 10 еравненин Гатаьнн>на.
Скобки Пуассона 55 10.23. Доказать, что значение любой функции координат и импульсов системьг г(р(1), 0(1)) выражается через значения р и 0 в момент 1 = 0 формулой где ( .†.. ((Р(0), 0(0)), а Н .†.- Н(р(0), а(0)) — функция Гамильтона. (Ряд предполагается сходящимся.) Вычислить с помощью атой формулы р(1), а(1), рг(1), >1~(Х) для: а) частицы в однородном поле; б) осцнллятора. 10.24.
Доказать равенства д- дФ б) (>'(рп йы рг, йг), Ф(р(рг> дг> рг: йг): рз: йз> - )) = — (>' з>); дФ дФ в) (((Р> »)> Ф(з>г(Р> >>) >зрг(Р> 0) ' )) =" ~, Е.е»о>) ° д'р> 10.25. а) Пусть функция Гамильтона зависит от переменных йм р> лишь чсРсз посРсдство фУнкции )'(0>г, Р>) Н = Н(1(й Р>): йг Рю йн Рн). Доказать, что «(ц» р>) есть интеграл движения.
б) Найти интегралы движения частицы в поле Н = ~ (использовагь г' сферические координаты). 10.2б. Как известно, для частицы в поле ГГ = — о»г существует интеграл движения А.=. (и, М) — ог. а) Вычислить скобки Пуассона (А„А~ ), (А„>>Х ). б) В случае финитного двюкения (г5 < О) для векторов Лз > >(Ме >' А) и б н> (Н, Лпг)> (1»> Лгз), ЕЛп Л>з) ЕЛг> 1гз) и сравнить их со скобками Пуассона для компонент момента импульса М. Выразить функцию Гамильтона Н через Лз и Л >. 5б Задачи !! !.1 й 11. Канонические преобразования 11.1. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией: а) Р(й, О, 1) = — т з(1)цг сея !,). Записать уравнения движения в переменных !2 и Р для гармонического осциллятора с частотой ш!г). б) Р(Ф Я, !) = -т~~й —,~ с!Ко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
