Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 9
Текст из файла (страница 9)
РН) ' Записать уравнения движения в переменных Яд' и Р для гармонического осцнллятора, на который действует внешняя сила Р(г). 11.2. Найти произволящую функцию вида Ф(р, Я), приводящую к тому же каноническому преобразованию, что н Р(й, Р) = дзен. 11.3. Какому условию должна удовлетворять функция Ф(О, Р), чтобы ее можно было использовать в качестве производящей функпии канонического преобразования? Рассмотреть, в частности, пример Ф(Ф Р) —.. йг+ Р .
11.4. Показать, что для системы с одной степенью свободы поворот в фазовом пространстве (д, р) является каноническим преобразованием. 11.5. Рассматриваются малые колебания ангармонического осциллятора, функция Гамильтона которого г Н= — г- ', ох +!Зхр р игнаха з 2 2 и ~ах << агг, ~!)х << 1.
В каноническом преобразовании, задаваемом производящей функцией Ф =- хР + ахгР + 6Рз, подобрать параметры а и Ь так, чтобы новая функция Гамильтона с точностью до членов первого порядка по ащ Я, !гч,г включительно не содержала ангармоннчсских членов, и найти х!!). 11.б. В каноническом преобразовании, задаваемом производящей функцией Ф .— хР— а,.гзР + ахРз, подобрать параметры а н Ь так, чтог г г бы малые колебания ангармоннческого осцнллятора Н .— — —, ' г- )Зх р аЖг: 2 ' 2 1! 1. Канонические преобразования 112 Ц в новых переменных Я, Р сводились к гармоническим.
Членами второго порядка по»7»а зЯз в новой функции Гамильтона пренебречь. 11.7. Показать, что преобразование х.=- ХсозЛ+ япЛ, у =. У сов Л -г т,* аш Л, рн — — — гз»ыХвшЛ ОР созЛ, р. —... — »пи»УяпЛи- Р, соьЛ является каноническим. Найти новую функцию Гамильтона, 11'(Р, ч,з), если з 2т 2 1ср.
с задачей 11.! 7). Описать движение двумерного осциллятора прн У = =- Р— — О. 11.8. Используя преобразование предыдущей задачи, привести функцию Гамильтона изотропного гармонического осциллятора в магнитном поле, заданном векторным потенциалом А .— —. (О,,М'я, 0), к сумме квадратов и найти закон его движения. 11ПО. Применяя каноническое преобразование задачи 11.7 к парам нормальных координат, соответствующих стоячим волнам системы частиц на кольце »см.
задачу 7.3), получить координаты, соответствую»цих бегущим волнам. преобразование (тзз2Р~ в1»» Я» + Рз), 1 »з зпш »ззтиз 1»з»2Р» Я»»Я» — Гз»з), (~~ 2Р» сов Я» + Яа) з »/зг»оз »тз 2 ( — »,з'2Р» вш Ц» + Рз) 11.11. Показать, что 11.9. С помощью канонического преобразования привести к диагональному виду функцию Гамильтона анизотропного заря кенного осциллятора с потенциальной энергией Г»1г) —.;.
ш1из~т:а -' из~~уз + шззвз), находящегося в однородном постоянном магнитйоь» поле, заданное векторным потенциалом А = (О, Жт, 0). 58 Задачи (11.12 является каноническим. Найти уравнения Гамильтона частицы в магнитном поле, заданном векторным потенциалом А = ~ — — уЖ, — хЖ, О) в новых 1 1 2' ''2 переменных.
Здесь х = е гас ' 11.12. Каков смысл канонического преобразования, задаваемого производящей функцией Ф(д, Р) = адРЗ 11.13. Показать, что градиентное преобразование потенциалов электромагнитного поля является каноническим преобразованием для координат и импульсов заряженных частиц, н найти соответствующую производящую функцию. 11.14. Как известно, замена функции Лагранжа Цд, д', 1) на 1'(д, д', 1) — — 2 (д, д', 1) и ф(д, 1) где ) (д, 1) — произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа.
Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию. 11.15. Найти производящую функцию канонического преобразова- ния, состоягцего в переходе от д(1), р(1) к Я(Х) = д(1+ т), Р(1) = Я, + т), т = сопвг длж а) свободного движения, б) движения в однородном поле, сг(д) = — Рд„. в) осциллятора. 11.16.
Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемых производящими функциями: а) Ф(г, Р) = гР+ баР; б) Ф(г, Р) = гР + йр1гР;; в) Ф(д, Р, 1) = дР+ бтН(д, Р, г); г) Ф(г, Р) = гР—: ба(гз+ Рз), где г — декартовы координаты, а ба, бд», бт, ба — бесконечно малые параметры. 11.17. Показать, что каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией Ф(х, у, Ря, Ря) — хРа + уР„, —; е(ху —; Р.Ря), где .— ч О, представляет собой поворот в фазовом пространстве. 59 11.23) 1 !1. Канонические нреабразананин 11.18. Указать производящие функции для бесконечно малых канонических преобразований, представляющих собой: а) винтовое движение; б) преобразование Галилея; в) переход к вращающейся системе отсчета.
11.19. Каноническое преобразование задано производящей функцией Ф(е1, Р) = 9Р+ ЛИ'(», Р), где Л О. Для произвольной функции 1(д, р) найти с точностью до первого порядка малости изменение се величины, связанное с ьгзмененисм аргументов 11.20. 11айти (Н, гр), где функция Гамильтона Н(г, р) =" — Ф аг 2оз + —, и получить, исходя из результата, интеграл уравнений движения. Для вычисления удобно воспользоваться результатами предыдущей задачи и задачи 11.12. 11.21. Найти изменение вида зависимости М, р-, рг, Н(г, р, 1) от г и р при преобразованиях задачи 11.!6. 11.22.
Показать,что результат последовательного выполнения двух бесконечно малых канонических преобразований, заданных производящими функциями Ф,(9, Р) = е1Р+ ЛьУ',(е1, Р), Л, — О, 1 = 1, 2, нс зависит от порядка их выполнения (с точностью до второго порядка малости включительно), если ()е 1(ч, р), 1т зи; р) ) = О ° 11.23. Найти каноническое преобразование, представляющее собой результат последовательного выполнения бесконечно большого числа Х бесконечно малых канонических преобразований, заданных функцией Ф(9, Р) = е1Р—; — „И1(д, Р), Л =- сопзг, Ж --~ оо: Л а) И'(г, Р) —...
(гР)и, а — -- сопя1: б) И'(х, р, Р, Р„) —. А„ где А, определены в задаче 10.15. Укдзлнив. Составить и решить ддя ьовкрееных И' дифференциальные уравнения хи Я(Л) Р(Л). бО Задача Н Б24 11.24. а) Как изменяются со временем объем, объем в импульсном пространстве и фазовый объем, занимаемые группой свободно движущихся вдоль оси х часщц? В начальный момент координаты частиц заключены в интервале хо < х < хо + Ьхо, а импульсы — в интервале ро < р < ро + сзро.
б) Тот же вопрос для частиц, движущихся вдоль оси х между двумя стенками. Соударения со стенками абсолютно упругие. Друг с другом частицы не взаимодействуют, в) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов. г) Тот жс вопрос для группы гармонических осцижчягоров с трением. д) Тот же вопрос для группы антармонических осцилляторов. е) Будем описывгпь распределение частиц в фазовом просгранстве в момент 1 функцией распределения ю(х, р, 1) такой, что число частиц с координатами в интервале от х до х+ пх и импульсами в интервале от р до р х г)р есть и(х, р., 1) пх пр. Определить функции распределения группы свободных частиц и группы гармонических осцилляторов, если в начальный момент 1 (х — Рро) (Р— Ро) ш(х, р, 0) = ехрз -.
2тГХРоЬХо Г 2Ьх~ ~2~1зо~ 11.25. Введем переменную щюх -~- гр О =- е' ъ?22гп ~ а) Найти скобки Пуассона (и*, а), Выразить через а и а* функцию Гамильтона гармонического осциллятора 2 я Но= — +™~ х 2гп 2 б) Показать, что Я = а и Р = 1а' — канонические переменные. Найти новую функцию Гамильтона НоЯ, Р). в) Для осцилля гора с ангармоничсской добавкой к потенциальной энергии б1? ---- — т))х~ усреднить функцию Гамильтона Н'Я, Р) по периоду 4 быстрых осцилляций 2 л/~~. Используя усредненную функцию Гамильтона, найти медленные изменения переменных Я и Р.
61 11.2е) 1 11. Канонические нреобдазоеанич г) Исследовать закон изменения амплитуды колебаний осциллятора под действием нелинейной резонансной силы 2 Н вЂ” — — + + т ы ых сов4ый Р тызхз 2т 2 11.26. Исследовать изменение амплитуды кодебаний системы трех осциюгяторов со слабой нелинейной связью; (Рх Ру + Ре) (~з + ыяУ ыз + аагУ ) если ~ыз — иня — оз~ << ым гкс~ << ыз. Рассмотреть подробное случаи, когда в начальный момент ~у << о:, - —.— О, у =- й — -- О.
Воспользоваться тем же методом, что и в предыдущей задаче. 11.27. Функция Гамильтона апгармопического осциллятора, испытываюпзего параметрическое воздействие, имеет вид Р тсоз 2 о з тЗх а Н = — + (1 + Ь соз 2 у1)х + 2гп 2 4 Введем канонические переменные т >и)-1Р, и= ею, Р=1а*.
ъсйт о) а) Найти новую функцию Гамильтона Н'1п, Р, 1) н усреднить ее по периоду быстрых осцилляции 2т/ у. б) Исследовать изменение амплитуды колебаний в области резонанса ~",~ — ы~ << Ьы, Ь, << 1, если в начальный момент величина а близка к нулю. 11.28. а) Проверить, что преобразование х = Ясов 11+ „, Ргйп "11, 1 Р =- — ты 1 гйп 11+ Р соз 1 является каноническим. Получить новую функцию Гамильтона Н'1Я, Р,1) для осциллятора с параметрическим возбуждением: Н =- Р -, 'тно х 11--Ьсонй 1). 2т 2 б) Усреднить Н'© Р, 1) по периоду 2к/~ и исследовать качественно движение точки на фазовой плоскости Я, Р.
Принять Ь « 1, е —..— — «1. 62 Задачи (П,29 11.29. а) Рассматривается движение двух слабо связанных осцилляторов — о р и =. (р„рр) . (шуиз ~ шзу ) "З (( ш1 ш2' 2 2 1с = псйжу вуп(ш1 — ша)2, В плоскости ж, р усупш1 перейдем к системе координат Х, Р Ууп уи вращающейся с угловой скоростью ш1 по часовой стрелке; аналогичное преобразование сделаем и для переменных у, р, (пиша. Показать, что Х, 2', Р, Рр — канонические переменные.
Найти новую функцию Гамильтона Н'(Х, У, Р, Р„, 1), усреднигь ее по времени 1 такому, что 1 Ш1,2 (( суср (( и исследовать изменение амплитуд колебаний по т и у со временем за время с (ш1, уууЗ. б) То же для Ъ' = тДту вщ(ш1 + ша)й й 12. Уравнение Гамильтона — Якоби 12.1.
Найти траекторию и закон движения частицы в поле Г(г) с помощью уравнения Гамильтона — Якоби: а) Г(г) =- - Рж; б)Г(г)= ' + 12.2. Определить траекгорию и закон движения частицы, рассеиваемой в поле Г(г) = аг,Угз. Траекторию выразить через квадратуры, а при Ер )> а — и аналитически. Скорость частиц до рассеяния направлена противоположно вектору а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
