Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Выразить силы реакции связи. 4.26. Частица движется в поле тяжести вдоль прямой, равномерно врашак1щейся в вертикальной плоскости. Поставить уравнения движения частицы и найти момент силы реакции. 4.27. Влияние связей н трения на движение системы можно описать, вволя в уравнения лвижения обобщенные силы реакции связей и трения; а) Как изменяется со временем энергия системы? б) Как дол1кпы преобразовываться силы й, при переходе к новым обобшенным координатам Ч* — Ч (О1, ", О., 1) чтобы уравнения движения сохраняли вид (1)? 4.28. Пусгь уравнения связей имеют вид ЧŠ—" ~~' адоЧ „Р = 1, ° °, 1' п=г-1-1 пРичем фУпкциЯ ЛагРанжа А(Ч,е1, ..., Чв, Ч1, ..., Чв, 1) и коэффициенты бд„не зависят от координат Чд. Показать, что уравнения дви1кения могут быть представлены в виде 11 дХ дХ т, ° дЕ т, ~ дед„дсд„'~ 1ДЕ Е(Ч 1,, Чв, Ч -11, ..., Ч, 1) — ФУНКЦИЯ, ПОЛУЧаЕМаа ИСКЛЮЧЕНИЕМ скоростей Ч1, ..., Ч„из Ь с помощью уравнений связей.
Задачи 4.29. Струну можно представить как предельный случай системы Х частиц (рис. 10), соединенных упругой нитью, при Ж вЂ” ч со, а — О, Яа = сопа1. Функция Лагранжа дискретной системы имеет вид Мч» т'(Ч» Чз ° ° Чт»: Ч» Чз ° Чж; 1) = ~~' т'п(Ча Ча Чп — и Ча 1) ° где ׄ— отклонение и-й частицы от положения равновесия. а) Получить уравнение движения непрерывной системы как предельный случай уравнений Лагранжа дискретной системы.
б) Получить выражение энергии непрерынпой системы как предел выражения энергии дискретной системы. а 2а па Рис. 10 Уклзлнив. Ввести коорлинату точки струны:с. а также величины, получаемые при предельном переходе а -- О, п =" х/а оо: Ч(х, ») = 1ппси(1), —, =1пп дЧ . Ч„(1) — Ч вЂ” » (1) дх а ( дч дЧ А й„(Ч», Ч вЂ” Ч.— », Ч: 1) х, Ч, —, —,, 1) =-1'пп ' дх' д» а 4.31. Обобщить теорему вириала для системы заряженных частиц в однородном магнитном поле М'.
Потенциальная энергия системы Г является однородной функцией координат (»(г»гт,..., ыг,) = о~У(гы .... г,), а движение системы происходит в ограниченной области пространства и с ограниченными скоростями. 4.32. Три одинаковых частицы движутся по одной прямой и попарно взаимодействуют друг с другом по закону К» =- Г(х, — хь), где х, — коор- 4.39. 3аряженная частица движется в потенциальном поле (»(г) и в постоянном магнитном поле Зк', причем (,»(г) и ак'(г) являкпся однородными функциями координат степени Й и и соответственно, т.е, »у(ыг) = = ы~Ь (г), ак'(ог) = а".ке?(г).
Вывести для данной системы принцип подобия, уточнив, при каком значении и оп имеет место. 5.21 З 5. Мсмые ковебонин сисгвеи с одное снгененыо свободы 23 дината г-й частицы. Проверить, что кроме очевидных интегралов движения = гп(х1 хг + хз) Е = — "'(х', -1- х, '-1- х,') + 1ггг -1- Нгз т Нз, 2 существует дополнительный интеграл движения [2е) А = гнтгх хз — хгНз — х Нзг — хзЕггг в случае, если функция Н(т) имеет вид: г а) ье(х) =- —, б) Н(х) = х' ейг ас 4.33.
Рассмотреть столкновение трех частиц, описанных в предыдущей задаче. Пусть хг ) х ) хз и при 1 — г — оо расстояния между час.пщами бесконечно велики, а их скорости о, = х, (1 =.- — оо) таковы, что оз ) в ) оь Найти о, '=- х, (1 =-- "оо). ~ 5.
Малые колебания систем с одной степенью свободы 5Л. Найти частоту иг малых колебаний частицы в поле ~Л,х)): а) Н(т) = г'созсгх — Гх1 б) Н(х) = 1'(азхг — ып сех). Рис. 11 Рис. 12 5.2. Найти частоту малых колебаний системы, изображенной на рис. 11. Система вращается в поле тяжести вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Й. Задачи 15.3 5.3. Частица массы пи несущая заряд д, может двигаться в поле тяжести по вертикальной окружности радиуса В. В нижней части окружности закреплен заряд 9.
Найти положение равновесия и частоту малых колебаний частицы (рис. 12). 5.4. Найти закон движения частицы в центральном поле У(г) = — о/г" 10 < и < 2) по траектории, близкой к окружности. 5.5. Найти час готу малых колебаний сферического маятника (частица массы ш подвешена на нити длины 1), при которых угол отклонения нити от вертикали 0 осциллирует вблизи значения Оо. 5.6. Найти поправку к частоте малых колебаний двухатомной молекулы, вызванную наличием у нее моментаимпульса ЛХ. А й ьа в  — 21 Рис.
13 5Л. Найти свободные колебания системы (рис. 13), если частица может двигаться: а) вдоль прямой АВ; б) перпендикулярно АВ. Как зависит частота от натяжения пружинок в положении равновесия? 5.8. Найти свободные колебания системы (рис. 14), если она находится в однородном поле тяжести и частица может двигаться только вертикально.
Рис. 14 Рнс. ! 5 5.9. Найти установившиеся малые колебания плоского маятника, точка подвеса которого равномерно движется по окружности радиуса а, с часютой Й (рис. 15). Длина маятника 1 (1 » а). ).с 5ЛО. Найти установившиеся колебания напряжения на конденсаторе и ток в контуре с источником напряжения У(1) = Ров)ли1(рис. 1б). Рнс.
1б 5.!1. Найти закон движения осцилчитора с трением, первоначально покоившегося, под действием силы Р11) — Р соз рь 5. 17] 15. Монне копебонип систен с однон степенью свободы 25 5.12. Определить энергию Е, приобретенную осциллятором под действием силы Г(1) = Ге О7') за все время ее действия, если при 1 = — со: а) осциллятор покоился; б) амплитуда колебаний была равна и. 5.13. Найти движение под действием силы Г(1): а) неустойчивой системы, описываемой уравнением х -- д х = —,Г(1)1 1 б) осциллятора с трением /о т — -- —,„, Г(т) . 5.14.
Найти дифференциальное эффективное сечение возбуждения изотропцого осцнллятора до энергии " быстрой частицей (Е » Ъ"), взаимодействуюпзей с ним по закону У(г) = е'е Начальная энергия осциллятора равна нулю. 5.15. Осциллятор может колебаться только вдоль оси -. Найти дифференциальное эффективное сечение возбуждения осциллятора до энергии е быстрой частицей, взаимодействуюп1ей с ним по закону Г(г) =- и е-и " .
Скорость частицы зс параллельна оси ", ее энергия Е » Ъ'. Начальная энергия осциллятора ео. 5.17. Найти энергию, приобретенную осциллятором под действием силы Го ль 2 при 1 < О, Г(1) = — (2 — е ) Го ль 2 прис> О. Энергия осциллятора при 1 -.ь †равна Ьо. 5.1б. На гармонический осциллятор действует сила Г(1), причем Г( — оо) = О, Г(+ж) = Го. Найти энергию Е( —:со), приобретенную осциллятором за все время действия силы, и амплитуду колебаний его при 1 в †: оо, если при 1 — -ж осциллятор покоился. Задачи (5.!с 5.18. Оценить изгиенение амплитуды колебаний осциллятора, если сила Г (1) включается медленно и плавно за большой промежуток временитт, такой что шт» 1.
Прис < 0 сила Г(1) = О, при1 ) т сила Г(1) = Гс, при 0 < 1 < т справедлива оценка ГОО Гс(т" (й = О, 1,..., и.!- 1); причем ГОО (0) = ГОО(т) = О (в = 1, 2,, и — 1), а и;я производная силы при 1.=- 0 и 1 = т испытывает скачок. г 2г г 2г !'ис. 18 1>ис. 17 5.19. Найти установившиеся колебания осциллятора под действием периодической силы Г(1): а) Г(1) = Г .
Ят — и) при пт < 1 < (и + 1) т (рис. ! 7); б) Г(1) = Г (1 — е м ), !' = 1 — от при пт < 1 < (и+ 1)т (рис. 18). Оценить время установления колебаний, если декремент затухания равен с. в) Найти установившийся ток в контуре (см. рис. 16) с источником пилообразного напряжения Б(1) = (т/т — и) г' при пт < 1 < (и, —, ,Цт. 5.20.
На осциллятор с зрением (собственная частота ыс, сила трения )ч, =- --2Лгих) действует вынуждающая сила Г(1). а) Найти среднюю работу А этой силы прн установившихся колебаниях, если Г(1) .—.. )г соа !. + Зз соз 2чЛ. б) !о же д,и Г(1) = ~ очеса ', а „= а'„, и= — чч в) Найти среднюю за большой промежуток времени работу силы Г(1) .=. э г сов ыН -~- э з сов чзз1 при установившихся колебаниях. г) Найти полную работу силы Г(1) = / ЬЬ(ю)е'~ ь(а, ю„'~( — м)=~9~*(ю), если осциллятор при 1 -ч — со покоился. 5.21. 1'армонический осциллятор находится в поле бегущей волны, которая действует на него с силой Г(х, 1) = 7(1 — х/1т), где т — отклонение 6.2) 86. Малые кзмебания систем с нескалькмми гтеленяли свободы 27 осциллятора от положения равновесия, )г — скорость волны.
Предполагая ж достаточно малым, найти связь между переданными осциллятору энергией 1лЕ и импульсом Ьр = / Г(х(Г), Г) г1г. ограничившись ггриближениеьг, квадратичным по Е, и считая г(з-со)=0, й 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы В задачах 6.1 6.21 с помощью общих методов рассматриваются свободные н вынужденные колебания относительно несложных смсюм (с двумя-гремя степенями свободы).
В задачах 6.18 — 6.21 приведены системы с вырожденными собственными частотами. Для исследования более сложных снстеьг полезно использовать ортогональность собстаенных колебаний и свойсгва симьгетрии системы. Соответсгвующне теоремы приведены в задачах 6.22 и 6,39, а иллюсграпии их применения, например, в задачах 6.26-6.33 н 6.40 — 6.45, 6.47, а также в задачах о коггебангих молекул 6.46, 6.48 - 6.52. Влияние малого изменепггя системы на ее движение можно исследовать с помощью ьгетода последовательных приближений — теории возмущений. Обшей форме теории возмущений в задачах о малых колебаниях посвящена задача 6.34, конкретным примерам — задачи 6.35, 6.37, 6.41, 6.42, 6.50 б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
