Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 10
Текст из файла (страница 10)
12.3. Найти сечение рассеяния на малые углы частиц, скорость которых до рассеяния направлена противоположно оси 2, в поле Г(г): а) 11(г) а сов 0, б) Г(г) сУссчч д в) Г(г) 2 6(уЗ) г 1 2 12Л О) 112. Уравнение Ганалыяона — Якоби 12.4. Найти сечение падения частиц в центр поля Г(г): б) Г(г) — аг а) Г(г) = —; ,.з ' аг 7 Ь(В) в) Г(г) = —, — — '; г) Г(г) = .3 д' гя Усреднить сечение, предполагая все направления а равновероятными. 12.5. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса Л, являющийся центром поля Г(г) = аг/г~. 12.б. Определить траектории и законы движения частиц, рассеиваемых и падающих в центр поля Г(г). Траекторию выразить через квадратуры, а при р,'р» а — и аналитически.
Для первого поля найти аналитическое выразкение траектории частицы падаюп1ей в центр при Ер « а. Скорость частиц до рассеяния параллельна оси Г( ) асовб' б) Г( ) —.. г г' 12.7. Найти траекторию и закон движения частицы, падающей в центр поля Г(г) = аг(гз. На бесконечности частица летит вдоль прямой р = =- р, х =-- —.гебы, где р — прицельный параметр (вектор а параллелен оси —, начальные сферические координаты частицы г —. со, 0 —... и — ои 2йр :р .— — 0).
Траекторию выразить через квадратуры, а при о « < 1— и аналитически. 12.8. а) Определить траекторию (выразить через квадратуры) финит- ного движения частицы в поле Г(г) = '",' -- ~г прн Ма = О. б) То же для поля Г(г) = — сова + ~,. 12.9. При каком условии траектория, найденная в предыдущей задаче, окажется замкнутой? 12.10. Описать качественно характер движения частицы и вид траекторий в поле Г( ) --- — "„' -- „з г' 64 Задачи (12.11 12.11. При каких значениях момента импульса ЛХ, частицы возможно финитное движение в поле П(г)'? а) Н( ) Ч Ьсоз О б) (?( ) Ьсов 1? о Как выглядит при этом траектория'? 12Л2.
Найти уравнение траектории и закон движения частицы в поле?? (г) в параболических координатах; а) П(г) = — ~~; б) П(г) = -~~ — вг. В случае б) ограничиться рассмотрением финитпого движения, траекторию и закон движения выразить в квадратурах. 12.13. Внутри гладкого упругого эллипсоида вращения х, й — — — + — =- 1 аз ' пз сз движется частица, вылетевшая из начала координат под углом о к оси -.
Найти области эллнпсоида, недоступшяс для частицы. 12.14. Найти траекторию частицы (выразить через квадратуры) в поле двух кулоновских центров 1? (г) —... о — ~ (рис. 63), если скорость частицы на бесконечности параллельна оси Оз0з . Описать движение частицы, впадающей» па вдиполья, образованный данными центрами. 12.15. Короткая магнитная линза образована полелц определяемым векторным потенциалом Ав = — гЖч(з), 1 2 Ач = Ах = О (УС', (.) отдично от нуля в области ~ ~ < а). Из точки (О., О, зо) на линзу падает пучок электронов, близких к оси ю Найти точку (О, О, «), где пучок будет сфокусирован. Предполагается, что зо, з~ >> и.
Укхзлнив. Интеграл уравнения Гамильтона — Якоби искать в виде разложеяяя ло степеням г Я(г, К, з, 1) = — р-1+ ртК - у(я) + ф(а) + — ' (з) + ". 2 12.16. Магнитная линза образована полем, определяемым векторным потенциалом А. = — гУ?а(з), .4, = А, = О, где Ж,( ) = ' . Из точки (О, О, зо) на динзу падает пучок электронов, близких к оси . Найти точки, в которых он будет сфокусирован. 65 1 13.
Адкайатач есина алаарканп~ы 13.41 Уклзлниь. Полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби искать в виде рвзлозкения ло г. 12.17. Каким образом можно найти действие как функцию координат и времени, зная полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби? 12.18. Сформулировать и доказатз теорему об интегрировании ураннений движения с помощью полного интш раза уравнения ( — Дл,р.,) =-О., д1 др где Н(д, р, 1) — функция 1'амильтона.
(Уравнение Гамильтона — Якоби в р-представлении.) 12.19. С помощью уравнения Гамильтона — Якоби в р-представлении найти траекторию и закон движения частицы в однородном поле. 13.1. На нити, пропущенной через колечко А (рис. б4), подвешена частица массы пт. Определить среднюю силу, действующую на колечко А со стороны нити прн малых колебаниях маятника.
Найти изменение энергии маятника при медленном вертикальном перемещении колечка. 13.2. Частица движется в прямоугольной потенциальной яме ширины К Найти, как изменяется энергия частицы при медленном изменении (, рассматривая столкновения частицы со «степкойв ямы. 13.3. Шарик, находящийся в лифте, подскакивает над упругой плитой. Как изменяется максимальная высота,на которую поднимается шарик, когда ускорение лифта медленно изменяется? Как меняется высота, если плата медленно поднимается? Рис.
б4 13А. Как изменяется энергия частицы в поле (т' при медленном изменении параметров поля? 813. Адиабатические инварианты а) Н = А(е ок — 2е а*); в) Гг.—... Но 18згтж; б) (1 =— с(т о:г г) (? =. А(х)". 66 Задачи [13 5 Уклэлние. Может оказаться удобным использовать формулу ([1), 149), Т = 2я —. ар ВЕ' 13.5. Частица движется по наклонной плоскости АВ [рис.
65), упруго отражаясь от стенки в точке А. Найти, как изменяется максимадьная высота подъема частицы при медленном изменении угла тт. 13.6. Как изменяется амплитуда колебаний маятника ОА [рис. 66), находящегося в наклонной плоскости, при медленном изменении угла п? 13.7. Найти адиабатичсский инвариант для математического маятника,не предполагая колебания малыми. 13.8.
Вдоль прямой ОА [рис. 67) могут двигаться две час пщы, представляющие собой упругие шарики малого радиуса, массы которых соответственно ти и ЛХ, причем т « ЛХ. В точке О частица тп отражается от упругой стенки. Предполагая, что в начальный момент скорость легкой частицы гораздо больше скорости тяжедой, определить закон движения тяжелой частицы, усредненный по кпериодуя движения дегкой. А М ш М Рис. 68 Рис. 67 13.9. В этой задаче рассматривается модель иона П, Две частицы массы ЛУ и находящаяся между ними частица массы ш « ЛЗ могут двигаться тодько вдоль прямой АВ [рис. 68).
Легкая частица притягивается к казкдой из тюкелых с постоянными силами ), а при столкновешьях отражается упруго. Определить частоту мадых колебаний расстояния между тяжелыми частицами [усреднив по движению легкой). 13.10. Решить методом последовательных приблюкений уравнения задачи 11.1а для Р и О в случае, когда частота изменяется медленно [Д « из, Ц « Цьз), с точностью до первого порядка по изу'из~ включительно. В чем преимущество переменных Р, Я перед р, ц в этом случае'? 1 13. Адиабавинееиие инварианты 1311.
Убедиться, что у = ю ~?Яехр (1) юе)г) удовлетворяет уравнению у+иа~1г) у = О с точностью до первого порядка по ~г/~ив включительно. 13.12. На осциллятор действует сила Г1т). Найти зависимость адиабатического ю~вариапта 1 =- —, у р еУ1 от времени. 1 2я 13.14. Частица движется внутри упругого параллелепипеда. Как изменяется энергия частиц, если; а) размеры параллелепипеда медленно изменяются, б) параллелепипед медлегшо поворачивается? 13.15. Частица движется в сфере с упругими стенками, радиус которой медленно изменяется.
Как изменяется при этом энергия частицы и угол, под которым она налетает на стенку? 13.1б. Как изменяется энергия и траектория частицы, совершающей финитное движение в поле Г(г) при медленном изменении коэффициента у? а) Г = — уг и (О < п < 2); б)П=вг+ ~ 13.17. Найти изменение энергии частицы в центральном поле при медленном авключении» малой добавки к полю бГ(г). 13ЛЗ. Найти зависимость от времени энергии системы двух связанных осци)пзяторов, функция Лагранжа которой имеет вид а" = — '(х + у — иа~~х — ызу + 2оху) 2 при медленном изменении иап Как изменяется траектория точки (х, у)? 13.19. Пусть связь осцилляторов в предыдущей задаче мала; и « иэ~ з.
Показан, что адиабатические инварианты, вычисленные в пренебрежении связью, сохраняются вдали от области вырождения (ич .—... иаз) и резко изменяются при медленном прохождении этой области. 13.20. В какой области юз(1) будут сильно меняться адиабатические инварианты осцилляторов, если связь имеет вид бГ =- 13х у? 13.13. Найти связь между объемом и давлением «гаваи, состоящего из частиц, которые движутся параллельно ребрам внутри куба, размер которого медленно изменяется. б8 Задачи П 3.21 13.21.
Определить минимальное расстояние, иа которое прибгппится к ребру двугранпого угла и частица, упруго отражающаяся от его граней. На расстоянии 1 от ребра угол падения частицы на ~рань равен хо. Задачу решить двумя способами: методом отражений 1точно) и с помощью аднабатического инварианта в случае малых о н чда. 13.22. Определить границы области, в которой движегся между двумя упругими поверхностями р = О и у = ~с, ~х частица, вылетевшая нз сй 2пх начала координат под у~лом;о к оси у в плоскости:гд (о, ич << 1), и период колебаний вдоль оси х. 13.23. Как изменятся радиус и подожение центра орбиты заряженной частицы при движении в однородном магнитном поле, медленно изменяющемся по величине? Векторный потенциал выбрать в виде а) А —...
(О, Зг'х, О); б) А„—..4„= О, А„—. —,',Уг'г. Объяснить, почему результат зависит от выбора А. 13.24. Вычислить адиабатические инварианты для заряженного осциллятора в однородном магнитном поле. 13.25. а) Определить адиабатические инварианты для заряженного аиизотропного гармонического осцнллятора с потенциальной энергией Г(г) = †'(ш~х + о~зй †; шза ) в олноРодиом магнитном поле 30', паРал- 2 лельном оси я. Векторный потенциал выбрать в виде А = (О,,Уд'х, О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
