Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 14
Текст из файла (страница 14)
97 05 = р(еСЕ 97о — ссй 2ро). Здесь Фо'— "Р / 2Л1. Относительное движение характеризуется моментом 71Х = игор ,2 и энергией Е = ™,, где т = ', ' -. приведенная масса. Искомое 2 т1 + тз расстояние определяется условием П,ее(г,„ь,) = Е. Простой ответ может быть получен при п = 1, 2, 4. 2.! 5] з 2. Двиогеение носгнни и поинт При р — оО ггг 2 зЕз,гз д 1 ггг 1 — и~К ОЕ / л,ГК вЂ” и (ср, с задачей 2.23), так что ог=(1 /, е' ) еогегг... 2.14.
Уравнение траектории р= —,. = е сов(р — ро) — 1 гелей' гпа и-- п,н, .:,и, 1г,.ое„ недостижимая для частиц, ограничена огибаюшей семейства траекторий. Для определения ее продифференцируем уравнеРнс. 92 ние траектории М' М,БЯ . шаг. . +1 — совр — — г — вшр = О аг1 гц по парамегру М 2М,))2.Е и гнг у гн — — впгр = О, н исключим М из !1) н (2): !2) 2сг~12г = 1 + сов р.
Итак, недостижимая для частиц область г с ограничена 2а Е( ! + гив р) параболондом врашения (рис. 92). 2.15. р с, о,, где г1=- ~"', ОА = и. 1 — 6 — (! — д)~ сов р Точка Я вЂ” мнимый фокус пучка рассеянных частиц, так как с точностью до первого порядка по р включительно положение точки перссечення асимптоты траектории с осью пучка не зависит от р. !2. !о Опгеетьг и решения 2.1б. Умножим равенство )тМ) — ~~ =- А скалярно на г. Обозначив через со угол между г и А, получаем 112 гп Р и А или — = 1+ есопгр, где р = — ', е = — '.
T то' ся ' Отметим, что вектор А направлен от центра поля к точке г = гшы. 2.17. бТ =- —,, где дб1 б11(~) ~~ 2 Г я и (ср. с задачей 1.!О). Подобным же образом изменение углового расстояния между последовательными прохождениями точек и = и м можно представить в виде бЛсс = !ср. !1), р 15, задача 3; б 49). дб1 дЛ1 2.18. В области и << 1! поле 1чг) мало отличается от кулоновского 11оЯ =- — ст1г. Поэтому траектория финитного движения близка к эллипсу, параметр р и эксцентриситет е которого, определяемые постоянными .Е и М, сохраггяются, а ориентация изменяется. Скорость поворота эллипса й определяется смещением перигелия за период П = бЬр/То, где бЬге вычисляем по формуле предыдущей задачи с б11 = н — ~г„а То — период ТЭ 2РЯ' в кулоновском поле'.
В результате вычисления получаем П = ЛХ/2нгВз. Уравнение траектории можно представить в виде — —. 1 —, есоацса, 7 =- 1— Р П1о (1) 2п ' Отклонение кривой (! ) от истинной траекюрии — первого порядка малости по б11, т. е, в течение одного периода уравнение !'!) описывает траекюрию с такой же точностью, как уравнение неподвижного эллипса. Однако уравнение (1) сохраняет ту же точность в течение многих периодов. Поэтому именно это уравнение можно назвать «правильным нулевым приближениемп. Иначе говоря, в уравнении ! !) учтены только накапливающиеся эффекты первого порядка.
'Упобио псрспги к иптсгриропчиию па б причем (см. П), 115) г =-, П вЂ” есоиО. 2Ф~ 2,20 6) 12. Двихввнив чвгвшу в волят 2.19. Поле У(г) = — и~г' ' мало отличается от кулоновского, поэтому орбита частицы в этом поле представляет собой медленно предессирующий эллипс. Разлатая Е'(г) по е, представим его в виде У(г) = Уо(г) + вУ, где Ц>(г) = — о, бП .=- е~ 1п — ", ег = а11 ',  — постоянная, равная характ' г Л' терному размеру орбиты. т Смешение перигелия за период бед = ~ 6Уд1 (см, задачу 2.17) д вычисляем, сделав замону с г .— — — — (1 — ессеи, 1= — (б — ез1пб), е — —.
1 —; о . — Т, с .. 2Еит 2Е ' 2п . ' ' тн,~з Т .=. та Г~~ . Гсм. 11], З 15). Получаем 11 ДК~' БЬАТ вЂ” д ~ а(1 — е сов Ц Т 2кдЛТ/ 2 Е~Л о еЕ~ де (' к ди/ о сов(Д~ 2к 1 — игТ вЂ” ез 1 — е сов 5 Т ез При е ) О направление прецессии орбиты совпадает с направлением дви- жения частицы по орбите, а при е < Π— противоположно ему.
2.20 а. П = — — '— 2 таю 4~,4 М~ ' 2.20 б. Функция Лагранжа Ь.—.— — ' (ха+у') — —, (ха+уз) + — ' ~хиз+у ) =" — — (г+гх)" — г — ' „т тн в з .и глу 2 тнг 2 2 21 21з .д Если пренебречь последним слагаемым, то задачу о движении частицы удобно решать в декартовых координатах. Это приводит к гармоническим колебаниям с частотой 12.21 Он2ее7ны я решения по осям и и у, т. е. к эллиптической траектории (ср, (1), задача 3 к З 21).
Точное уравнение траектории удобно получить в цилиндрических координатах, используя интегралы движения Е и М = (О, О, ЛХ); яра 2 ° 72 2. „2, 27 )-. ':., 22227' Разложение з з г 1 + —, = 1 -~- —, +... 17 21з приводит к уравнению ЛХ7Хг ЛХ / 71г 7Р = — +, 1' -,') ж +, 1' =- ~-о( ) -2 771. 22(я — 7,2 ) 2 2 2 '2 ~Š— 77н2) где 2Ро(7) соответствУет движению по эллипсУ, а 11 =- ЛХ аЬ 27й(з 2(з определяет его процессию.
2.21. <1)ункция Лагранжа системы Земля — Луна равна '1йз ' 2 1йз ' 2 )"п701й1, 37770777з ЗВ777йз 2 ' 2 з Аз ' Х1з ' ~И7 — й,з' 7Я 2 где Из и К вЂ” радиус-векторы Земли и Луны в гелиоце1прической системе координат, 7й7, гйз — их массы, гйо — масса Солнца, 7 -- гравитационная постоянная.
Введем координаты центра масс Земли и Луны (точка О на рис. 93 а) и их взаимного расстояния 7йзК1 Л 7йзКз г = Кз — Кз, ейз -7. ейз Ряс. 93 а зогда Кз з = К+г7 з. г7 з = Х г, гй ейзяй 2 1й = 7йз. гйз —, гйз 2,21] з2. Движение чагвгвл в иовяг Использовав разложение и учитывая, что тзг1 « гп гз = тзг., г 2 2 т1гд+тзгз =О, получаем 2 =)н+1.з — би, тз -, 'т з Гто(тз + тг) Е1-- ' Е + ба/ =- — ' ~3 — гз . ,глот Г (гьг)з 2Лз )тз Зтзтз ьз —. — г 2 д11 гизг о ,3 Ьтотз~Ю т,яз Считая орбиту Луны окружностью радиуса г, лежаглей в плоскости орбиты Земли, имеем 23 з е 1 з б1г = — — ', (3 сов у — 1), 3 = — Зтогизг, )зз ' ' 4 (2) где эг — угол между векторами И и г. Ъют угол меняется на 2я за 29,5 суток (сиподический месяц — промежуток времени между новолуниями).
Усредняем (2) за этот промежуток, что приводит к замене созз т '2' В итоге бб' = — —,. Смешение псригслия за год (см. ~1), задача 3 к 215) б.гд Зятз г г ~з боэ= '„= ) — ) . оз = угиоты онйз 2тз ) Л) Вез учета бГ задачи о движении центра масс О и относительном движении разделяются и сводятся к задаче Кеплера (мы будем говорить далее просто о движениях Земли вокруг Солнца и Лупы вокруг Земли). а) В задаче о движении Земли вокруг Солнца малость дГ характеризуется отношением Оенееты я решения Смещение перигелия за столетие 1006~р = 7,7".
Следует заметить, что полное смещение перигелия Земли за столетие, равное 1158н, обусловлено главным образом влияниеги Юпитера и Венеры, Интересно,что оценка релятивистской поправки дает величину 100 2к) — 1 1", ~' = 30 км1с Я с7 ~см. [2) 539 и ~~101). б) Исследуя движение Луны вокруг Земли, также можно считать д11 малой добавкой к ьз; дГ Й з з (шо з ~™з (эннзшз/г) ш ' )7' гз Здесь период 2к/ы = 27,8 суток — звездный (сидерический) месяц, а период 2х/й равен 1 году. Добавка еУ приводит к различным искажениям орбиты Луны — пульсациям эксцентриситета, смещению псришлия (ср.
с задачей 2.38 б) и др. Мы рассмотрим лишь одно из них, пренебрегая их взаимным влиянием и принимая невозмущенную орбиту Луны за окружность; принимаем также Й = сонэк Введем геопснтрическую систему координат Окря с осью т, направлешюй вдоль линии пересечения плоскости орбиты Луны с плосрис. 93 б костью орбиты Земли 1линия лунных узлов), осью у, лежащей в плоскости орбиты Земли, и осью -, перпендикулярной этой плоскости и направленной в северную небесную полусферу (рис. 93 б). Координаты Солнца в этой системс равны В. — -- )1(совсэ, вшяе, О), се .=- 1Ь вЂ” ' ээо, а координаты Луны равны г = г(соз ф, соя 0 зш ~, зш В вш 8), ф .— — ш1 .~- Ро, 2,21) я 2.
луеижение часлищ в яоляг где ро и 6о определяются моментами прохождения Солнца и Луны через ось х. Усреднение величины (Кг)~ = г1 г (соя ягсовф+ соя Ваш.ряшОг) за месяц сводится к заменам сов ы — —, яш гл — —, я1п ы сов ф — О, ,г! 1 г/ 1 2' 2' так что ((Кг)~)„„„„= — В~г (соя~.р+ сояг Ояш яг), а усреднение за год — к заменам сов лг — л —, вш р— г „1 .
г 1 2' 2' что дает ((Ря)г) = 1Дг " (» —; сояг В) . В июге За поворотом плоскости орбиты можно проследитть рассматривая движение вектора момента импульса М = пг~гг], перпендикулярного этой плоскости. Уравнение его движения М = Х, где дбà — момент сил, действующих на Луну. Поскольку изменение угла О есть поворот вокруг оси х, то дд11 дО ' т. е. ( 22тотйг (К) = ( —, гг яшВ соя О, О, О). = т- "4л 12.22 Ояееты н решения Так как момент сил (К) перпендикулярен вектору М, он приводит лишь к его повороту. При этом поворачиваются и оси:г, р, так что угловая скорость й„прецессии вектора М направлена вдоль оси ж Ее можно найти из условия 1й,м) = (К), что дает ~й) (Л ) (Л*) Зй й Мн щ дгз з1~гО 2ш 17,3' Таким образом мы нашли, что период прецессии орбиты Луны составляет 2к~й, —.= 17.,3 года. Это двюкенис называется отступлением лунных узлов.
Истинное значение этого периода 18,6 года. Учитывая грубость сделанных нами приблщкений, можно признать хорошим согласие наше о результата с истинным. Этот период определяет период повторения циклов солнечных и лунных затмений. Его 1точнее, его утроенное значение, содержащее целое число 19 765 суток) знали еще жрецы древнего Вавилона. Заметим, что ограничившись усреднением за месяц, т. е. используя (3), мы обнаружили бы неравномерность прецессии в течение года: йя -- 1 -- — сов 2.р йя. 1, 2 2.22. Аналогично задаче 2.18 имеем з й =, гт (617) = й 'Зе ~617'(~) + й бар'(~)~ = ВМ 2дМ~ 2 = — ~/, ~ [617'(а) + йдГ'(а)~ Учет следующих членов разложения 6Г по (г — а) даст в й вклад < езй.
2.23. Смещение перигелия за период можно представить в виде — Хе" Ь~ее = — '— , 'зГ2~и, ~ ~Б — Гг,Ц, — 617)з ~е1г. 2,24) б 2. Лвиженяе чаевиьч в яоляг С точностью до второго порядка по ЯУ имеем Ьр = 2я — , 'б~ р+ бз~., бпр = Т, (б17), дЛХ бяр = —, ~Т((бП)з)), б~ р+ бсср б~~р бзр бган бТ Т+дТ Т Т Тз бТ = — —, 1Т(бГ)). 2.24. Представим уравнение траектории разлаз ая подынтегральное выражение по бУ = уингз, в виде р =:рс(г) + бр(г), (2) где 2тг бр(г) = / гв (4) гпг Пренебрегая в (2) поправкой бр1г), получим, разумеется, уравнение траек- тории в кулоновском поле (см. [1), я 15) Р— „=-.
1-ь егози, (й) где (Д вЂ” среднее значение функции Дг) за период Т нсвозмущенного движения (ср, с задачей 2.17). Скорость прецессии )О2 Опветлы и решения В правой части (6) можно провести разложение по б22(г), а также подставить в Жр(г) зависимость г = го( р), определяемую, согласно (5), Хт —, = 1 + с совр — сХ)Р(го(сР)) втп Р.
Вычисляя ~ интеграл (4), находим тзтту Х 2ез+1 . 1+есовр с~Р(го(р)) = з т — Зд — ' вгп ~р — ,'2е+ (сз+ 1) сов р)). и' ( е2 в)п р (8) тп ол Подставляя (8) в (7), с точностью до первого порядка по (' =- получаем лх р 2ез+1 р —— 1+ ясов)(1+ 3))Д+ ~ в)п2 р— 1 ' есовр 'т — (2е+ (с — Ц сов р] (9а) 'Удобно представить 14) в виде д 1' т'зт, еа бр —.... — Х длх / з с' ЛХ гт ,гз т и перейти я интегрированию по <р согласно 15): дЛХ ЛХз / Зтп зи = — -----(р й ЛХз созф вф = з "' "впФ 1 з ЛХз двг ЛХз дЛХ Находя из 15) 2ЛХ де г р де е2 1 тотг = ды"-"Р— дЛХ "пы дЛХ вЂ” еЛХ и подставляя в (В'), получаем (В).
где р.=.. — ',, е —. 1+ . Учитывая же в (2) поправку Ар(г), получим ьг' Г ХЬ тот вместо (5) р= —, = 1+ есов(р — дзс(г)). (8) 103 2.25] 5 2. Движение чаеншл в нолнс Р' — —.. 1 д- е'созЛ7р — , '7есов27р, 1 4- 3(', ( Сез .- 2ее+ 5е — 1) р'= (9 б) е = Р— = 1+есозЛ172, Л = 1+ 3Ь", (10) описывающие траекюрию па большом участке («правильное», в отличие от (5), нулевое приближение; ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
