Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При 9аЕ2В > 1тойшС эллиптическая орбита периодически вытягивается в отрезок. б) ОГюзначив Йр = — ' ~~, 1н' = А3) ",ю, запишем (3) в виде М = .—.. (ЙМ) —,(Йл1ь1), Гй — -- (Й1Х1) — ','ЙиМ). СкладываЯ и вычитаЯ эти УРавнениЯ, находим Л1,2 (ия1,2Л!,2'; где 2( 1 Таким образом, векторьг Л1 2 вращаются с постоянными угловыми скоростями и11 21 Л1 2(1) = Лг 2(0) совш1,21 —, Гия1,2 1 . 11,2(0)ья1,2 + (ш Л1,2(0)) в1лшг 21+ ш1 2, (1 — совшг 22), и'1.
2 ' ' ' 12 и векторы М = Л1 + Ля, А = У( — "„(Л1 — Лз) полностью определяются через свои начальные значения. Мы не будем подробно анализировать этот ответ. Заметим только, что ш1 —..—. и12, сели электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны. 2.38 а. Пусть частица движется в плоскости хгс Уравнения для вектора А (см, формулу (10) из задачи 236) можно привести к виду А = — 2ф(бх 4 — 2хаь) = — '28Х вЂ” 2Д вЂ” 'х 2 6Х3 Е( 2 П1 Й А, = 2Я4ххэ — 'х ) = — хМ+ 2ХХ вЂ” хэ, 4ХХ ГЛ ' 1(1 где ЛХ = лз(лх — хб) — медленно мегщющаяся функция времени. После усреднения этих уравнений получаем А, =- б(38Х(2) -"- — д, Аяи. (за А, —..
4ДЛХ(х) =- — 6',А,23Х, , Во 121 2,38 а) 4 2. Движенье часгаая е деляг где а — большая полуось эллипса. Отсюда А, ЗА ЗАя' т. с., в отличие от задачи 2.36 б, конец вектора А колеблется не вдоль прямой, а вдоль гиперболы А,. = — А, +сопят. Зависимость А от времени можно найти из уравнения шы /' пА, 9Да / ЛХА,' в котором М и А.
должны быть выражены как функции А .. Например, для случая, когда в начальный момент А (О) .—.. О, А (О) —.. =. оее (ес — начальное значение эксцентриситета), имеем М =, 1 — таа(сз — хз), — ~'3 А- = — о г(к- — е ), 2 д з( 3 е 3 -, 'Зесз с= з 5 /2 3 — Зес э) = — агстй~( =й, й = 1' 3 ~ Зги йео за время с /' дх "ч "~,т -ди.:з ш Входящий сюда интеграл приводится к полному эллиптическому интегралу первого рода (см. примечание к задаче 1.7 и (10] стр. 96-97) — ™ К(1), бпъ'ТОс9оз где Т вЂ” период невозмущенного движения.
С течением времени орбита медленно поворачивается в плоскости т- и превращается в отрезок, составляющий с осью т угол 122 (2,38б Оглеегльг я решения 2.38б. Будем пользоваться геоцентрнческой системой координат. Примем прямую Земля-Солнце за ось =, ось т — лежащей в плоскости орбиты Земли. Система координат вращается вокруг оси р с угловой скоростью й. В этой системе отсчета 5Г не зависит явно от времени, так что интегралом движения является энерггш Š—.. чпз — ~ - 5!г' — ~й~г~ где о = э го! т, ) — гравитационная постоянная, т! — масса Земли. Сила 5Р = — и сила инерции Р„= тй г+ 2(гг~ьгй] приводят к искажению дЫ!' 2 дг эллиптической орбиты Луны.
Большая полуось эллипса а —.. о)2~Е при этом почти не нзмегиется. Скорость изменения векюра А складывается нз двух слагаемых Ат и А.з, отвечающих 5Р и Ря !ср. с задачей 2.37). Слагаемое Ат найдено в пункте а): А,! — ЙбАяг А,! — ЗЙСАя, где С = ЛХьй~о(гоо Поскольку эксцентриснтет орбиты Луны мал е = 0,055, то й 29,5 1 ЛХ=т(г ог, о=таз о,, 365 12' где ш — угловая скорость обращения Луны вокруг Земли в принятой !вращающейся) системе координат.
Сила инерции приводит к повороту вектора А с угловой скоростью — й !так как в отсутствие 557 орбита была бы неподвижной в системе отсчета Отерло, оси которой сохраняют постоянные направления). А,з = — йАяг А, = йА,. Таким образом' Ая =. — Й(1 — ф) А„Ая —..= Й(1 —; ЗДАл. Заметим, что согласно (!) АА =- А А -(-А А = — тщзй~А Ал Используя соотногпения А = ае, ел —.-. ! — Х)а('гггоо, ьгожем опеннть С вЂ”... йяоМ(а 75е~Сй << й.
Вели пшу Ь в ( !) можно считать постогашой 123 1 2. Дввяеение чаеишл в вввяг 2,39] Интегрирование (1) дает А, = В сов(й'1 —; ф, А, = В 1 —; — (' з1п(й'1+ Уэ), (2) А / где й' =- й(1 -- 3(), В и б — постоянные. В системе Оку вектор А враща- ,1 ется вокруг оси у со средней угловой скоростью — й~. В системе Оксу=о он вращается с угловой скоростью й„„= й — й' = — ~й. 4 Малым, согласно (2), изменениям [А~ отвечают малые пульсации эксцентриситета орбиты. 2.39. Функция Лагранжа системы (9 — заряд частицы) нп> гу Ч [шг) г с з лишь обозначениями отличается от рассмотренной в [2) (задача 2 к З 105). Уравнения движения М =-, [М1п], тсг- А = [А1п) —, з „[Мг) Зу(Мпз) пгегз пз'шд при усреднении по периоду Т невозмущенного движения дают уравнения, описывающие систематическое изменение векторов М и А: (М) = [й'М), й' =— стаз(1 — е )з~в (А) = [йА), й = й' — ЗМ (й'М) (2) где о, и е — большая полуось и эксцентриснтет невозмущенной орбиты.
Уравнение (1) можно переписать также в виде (3) (М) .--= [йМ), так как вектор й — й~ параллелен М. 124 12.40 Олммлы в ремевия Из 12) и (3) видно, что эллипс, по которому движется частица, прецесснрует «как целое» с угловой частотой 11. Другая интерпретация может быть дана на основе уравнений (1) и 12): в системс координат, вращающейся с частотой й~, вектор М, а с ним и плоскость движения частицы, неподвижен, вектор же А, а с ним и пернгелий орбиты, вращается с постоянной частотой Й вЂ” Й вокруг направления М.
Укажем еще, что усреднение величин 1/гз и г/гв удобно проводить, перейдя от переменной 1 к углу р; т -к к Т / тз11) Т)Т / г( ) ТЛТр / '"' у~р о о о ( — ") .— ДА, 1 /Аг ~ гп / созФ1 2лте " 4гу / гь ",4ТАу /,,г(,„) тл1 я' о о 2.40. При усреднении уравнений (сьь формулу (10) задачи 236) А = — ~РМ~ + (ч~гР)~ учтем, что (Р) -- О и что, согласно уравнениям невозмущенного движения, бог(ги) шч .—. — т,ъ —.— — ~ — а —, ,11 ' ',11 '1 гз / — „з Это дает (см. предыдущую задачу) Отсюда видно, что скорость изменения вектора А направлена в сторону, противоположную самому вектору А.
Как известно, вектор А направлен к перигелию орбиты и по величине равен А = ое. Таким образом, добавочная сила не вызывает прецессию орбиты, а приводит к уменьшению эксцентриситета. Можно также показать (см. 12), в 75, задача 1), что вследствие потери энергии и момента частица за конечное время упадет на центр.
3.!] Ь'3. Сеиениероеееяния в виданном ноге. Оаигкновение носович 125 ~ 3. Сечение рассеянии в заданном поле. Столкновение частиц 3.1. а) Как легко видеть на рис. 105, угол отклонения частицы О равен удвоенному углу наклона касательной к поверхности в точке столкновения. Поэтому 4 Ьи — = — =- — сов —. ,( а''а' Отсюда 2 2 3 20 Р = Ь вЂ” а 1((ах 2 Рис. 105 а(а=хе(р ~ =гга Гав 0 е(0 а е(о сов (О/2) 4сов4 0 2 Возможно отклонение частицы на углы от нулевого (при р — Ь) до Во, Ь =- 2 агсгк — 1при р — 0). Итак, ок до пр.0 <0<0, от =- сов вО 0 при 0,„< В.
~, ((-и),"((-.и) б) е(а = Азу(г и('(пс1И вЂ” ) 2 Оо (! — и) в!и О сов О 2 При а — 1 приведенное ссчснис равно яа ~ 0 при 0 > Оо =2агс1дА, Но ~ ж при0<Во. Этот результат ошибочен. Почему? ч ((и~/ гь —, — Ь) при О < 0 < 0 = — 2 вгс(д'( — ) ь Го .ы Ь е(а —.. вшв 0 вшО при В < О.
126 Г)яее~иы и иеигеиия 3.2. Параболоид врашения рг = ~ -. Е Сближаются ли траектории частиц, рассеянных в поле и на параболоиде п1зн г со? 3.3. При Е > 1' г г 1п~~в )(~ еоь ) г 4соа 2 ~1+ пг — 2и сов — ) ''2) до прн О < 0 < 0 О при0 =2апхови <0<к, где Чем вызвано отличие зтого сечения от сечения рассеяния иа потенциальной яме Гсм. 11], зк 19, задача 2)? аг ~ о п~ — — — ) приЕ> —, 'т Е 4Ег,) 4,0' 3.4. а) о при Е < —.
4Д Как изменится сечение при изменении знака о? б) (2~/ — — — ) дг при Е >— 4ч 0г при Е <— 49' 3.5. а) Рассмотрим движение пучка частиц в поле У(г) = — — „. Графики ГI,ЕЕ(г) = г" 23 — †. †„ значениях прицельного параметра р приведены на рис, 106. Рис. ! Об При болыпих значениях р 1кривая 1) частица рассеивается, приближаясь к центру поля на расстояние г;„(р), определяемое условием 1Г,ЕЕ(г„п„) .=-- Е. При уменьшении д уменьшается и г м вплоть до значения го, достигаемого при р —... Ро (кривая 2). При еше меньших р частица падает в центр (кривая 3). 3.6] з 3.
Сеиение рассеяния в заданнои наие. Сэнагкнавение населил 127 Величины го и ро определяются условиями О'ЕЕ(го) = Е, И~Е(го) = О и равны Если В > го, то на шарик падают частицы с г;„< В, н сечение падения =лдг1 ы= В) = Вг( ). ЕВг г Если В < го, то на шарик падакгт частицы, которые упали бы в центр, и сечение падения г 7Гп Г1п — 2)ст~ гуи —.2 ! 2Е Дт б) о —..
т1 2,,1 — — — '), сели 2 ЯЕЕ > 13, ЕВ4 < у. 'у Е Е)' Если же хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то а —.=-;тВ (1+ — ',). ЕВ ЕВг В 11+ Л)до 3.6. а) в1о..—-- „где 4(1-,~ Ляпая ~) 4ВЕ1ВЕ+ о) Л= Как обьяснить результат, получаемый при си — , '2ВЕ =. О? б) В плоскости траектории частицы введем декартовы коорлинаты с осью а, направленной вдоль оси пучка, и осью у — вдоль прицельного параметра.
Движение частицы в области г < В есть гармоническое колебание по каждой из координат; причем в начальный момент этого колебания ОзРи 1 = О) Ро = Р Уо = О то = ъ~Вг Рг, то = и, так по ж.—.- — „/Вг ргсоны1+ — яшмам, у =. рсовиЛ. Момент выхода частицы из области действия сил определяется условием 12) 128 Опвеевпы и решения 13.7 а угол д между скоростью частицы в этот момент и осью т — условием Д ~М в)п 0 = — = — —, в)пивс. и и ' Подставив (1) и (3) в (2), получаем уравнение р~ — ргй211 + Л вгвг 0) + — Ле(1 + Л)г в1пг 0 = Ов в1 где Л = ', .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
