Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Отсюда 112 2' дг Рг г = — (1+ Лвшго-., 2 и сечение и.'Вв в в* кв. вв)в в = гвв1 ~ вв12 = в(в' — вс = в 1-в ~ в 3.7. а) вгвг ед О) — — Оз120 - В)' в)о 0 при д < д„, = и —, при 0 > д б) Прн вычисления угла рассеяния (см. '11], )] 20) Гивввж 2 Р~/Ф вЂ” Рг 2Е Е 222 учтем, что сила г г 2)lу 21'р — при .- ЛЯ~: — рг < ж < тввР -- рг, 0 при ж > 'евФ вЂ” Рг. Если Л > 1, то возможно рассеяние только на углы, меныпне дш = д2,2 = аге:в)п ",, а при 0 — 0„,, сечение — ~ неограниченно возрастает.
Такая ,2 вво особенность сечения называется радужным рассеянием (см. 111], гл. 5, 1] 5). Подобного типа особенность сечения приводит к образованию радуги при рассеянии света каплями воды. Примеры радужного рассеяния см. также в задачах 3З, 3.10. 3.8] б 3. Счивение рассеяния в заданнтьв наче. Столкновение часовня 129 о ° ° р', ь =,-',в'О гиТ:в'Зв,'„(, ° в,„= вия, в г(о = зг( г(рт ~ л-,,:г(рф) = лО(р-', — рз), Окончащльно Сравните этот ответ с ответом задачи З.бб, в которой рассматривался по- тенциал, отличающийся знаком от данного.
3.8. Угол отклонения частицы в= 3Ов 4Ера 2Ера: легко вычисляется по общей формуле'. Зависимость О(рз) изображена на рнс. 107. Из (!) находим 4ЕО 0 где В = ~~, . Сечение Оо= -Одрз'+ 44:+ 04) = О( — рз+р' — рз) = стк ( 1+ Ов'20т 2 — В/В « 1 г(о. (2) ввв' ~ Твввв,„',~Г взв Для справедливости полученного результата достаточно, чтобы каждое слагаемое в (1) было много меньше единицы. Оценка показывает, что для этого достаточно выполнения условия 0 « 1. Выражение (2) получено для 0 < Осо Если 0 « 1, то для 0„, < О « 1 сечение Йт — -- зг~г(рз~ =-, з —. 1 сзо. ол г 1 + Вв 20~ вяв ~в/1 в/В 'Проще всего взять оба слагаемых (1) из задачи 2 я 120 работы (Ц. Лз до г(~ = 20;~0~ — 02 О при 0 < 0 < Воы при В > 0 Опгеегпьг н решения Рнс. 108 1'ис. 107 Зависимость — от В изображена на рис. 108.
При В 0 и при  — В„, йт гго сечение о неограниченно возрастает. Сечение рассеяния в интервал угйо лов, прилегающий к 0 = О, бесконечно, так как рассеяние на малые углы отвечает большим прицельным параметрам, Сечение рассеяния в интервал углов 0 — 0 < В < 0„, 2„г)свой 'В'0' о„,— а 2ЕВ ~ ггг конечно и стремится к нулю при д — О, Как зависит количество рассеянных частиц, попавших на счетчик, от размеров счетчика, если он расположен под углом 0 ? 3.9.
Скорость частицы после рассеяния по сравнению с первоначальным направлением оказывается повернутой на угол Д о В=я —, а Счетчик рассеянных частиц регистрирует вместе с частицами, отклоненными на угол ~0~ < х, также и частицы, сделавшие предварительно несколько оборотов вокруг центра 1рис. 109, а).
Наблюдаемый угол отклонения я лежит в пределах О < й < к и связан с В соотношением (2) — 0 =- 2х1 ж з„, 3.9] 13. Сегение рассеяния в заваннии нане. Сиагннавение насмин 131 р(Х,О, рЬ а) Рис. 109 где верхнему знаку соответствует 1 = О, 1, ..., а нижнему 1 (рис. !09,6). Из (!) и (2) имеем =1.2 г 2( 1 1) 2+па" ! 2 х2п1 ~ Х 2гг1 + 2к ~ Х) Сечение г1а —... х ~~ )г)р (Х, 1, —;) ! -Р х ~~ (г)рг(Х, 1, — ) ). г=о г=> 1 г( Учитывая, что ' ' < О, ' ' ' ) О, находим г1Х ДХ вЂ” и (- г.
г Ь, е, г) г г. г 6г, Г -)~— г..=о 1=-! , г„г ! ц наг(2нг — 2нХ вЂ”; Хг) 2 х2гг — Х Х/ 2Х2(2п — Х)ге!пХ Сечение — обрагдаегся в бесконечность при Х вЂ” х. В данном случае аа г1а зто приводит к тому, что сечение рассеяния в малый конечный телесный 152 Ояееты н решения л уюл ~1а = е/ 2пэпзХяЬ = кто равно я я — Хя Ьа=- — / — =а Хо=а 51 —. а Г е)о з з ~Хо 2п / Х '7"' я — Х Лоявленпе особенности дифференциального сечения обусловлено тем, что угол отклонения, равный я, достигается при значениях прицельною параметра р(яг, 1, Ц, отличных от нуяи.
В телесный угол езо, пропорциональный квадрату малой величины Ьд =. то, попадают частицы, летевшие до рассеянги через площадки 2презр, площади которых пропорциональны первой степени езр гс то. Такую особенность рассеяния называют сиянием (сьь ~11], гл. 5, ~ 5). Такая же особенность есть и в рассеянии на угол ЭГ .—... О, но в данном случае она маскируется бесконечным сечением из-за рассеяная частиц со сколь угодно большими прицельными параметрами, Сияние при рассеянии вперед могло бы проявгггься, например, при ограничении диаметра налетающего на центр пучка частиц. 3.10.
а) Условие Е» И приводит, как легко видеть, к малости угла отклонения частицы при рассеянии. Изменение импульса где х = яер. Угол отклонения Ьр Ъ'х/я я хс р е Разрешить это уравнение относптельно х в аналптической форме не удая ется. Однако, используя график функции хе Я (рис. 110), видим, что при В < О = —, ~ —" — уравнение (1) имеет два корня. ЕУ 2е Используя соотношение Ъ'туп еЖ = ., (1 — 2х~)е '"' ах Е 3.10) з 3.
Сечение рассеяния в заоаннаи нане. Сеноянновение часнтн 133 ~1 о Оо ! Х ч2 Рвс. 111 Рлс. 11О и учитывая 11), представим сечение сЬ = к1Р1р, + е)рг ) = =1зне1гн — хгдхг) ге в виде до ( хг г г 0 .—...,,(,, ',), При О «О оказывается гн « 1, хг » 1 и е1о 2гег0~ При О,„— О « О,„можно разрешить 11), разложив хе Я в ряд вблизи максимума. Получаем )Г а:Неи ,'2 ГЕВ' ~Г- ОН График даЯо изображен на рис.
111. Особенность при О = 0 интегрируемая 1ср, с задачей 3.8). Связано ли появление особенности сечения прн 0 = 0 с приближенным методом решения задачи". е1о (х~ ) хз те+хе „хе.г 2ЕО г г х ) е =- ', +" '),где гсгОг 1" 2х1 2хг 1 (1+х )3 к1' При О « О„= 3 тсОЕ я1' до 4а ЕО 134 [3. 11 Озллезллз л решения Прид„, — 0«д зг 3 лзо з 2 е,„з — азе„ 3.11. а) При столкновении частица, имевшая скорость зс, приобретает скорость у' = зс - 2п(пу), где и — единичный вектор нормали к поверхности зллипсоида. Подставляя и =- и[Оз О, 1)з и =-- — [ —, — ', — ), Дз [, г' дг' сг)' получаем Введем полярные углы, опрелезгяюшие направление и'1 зз' = и[сйп 0 сов зл, в[идя[пал, совд).
Сравнивая с [1), находим Л-с Сечение пзс = с[те)у = . ' с)дйр, 0[к., 0) д(0, зл) где зависимость ал 0 от д, ~р определяется из [2) и уравнения эллицсоида. Для вычисления якобиана оказывается удобным ввести промежуточную переменную и, такую, что г = а, иоонас, р = Ь и нш;о. г г Из [2) получаем 2 и вш0 =,, 1 — говд =,, [о — = =,, "з1гсг з"з'гол 2 ис- ' Как навес зло нз лнфференлнальноя геомезрнн /лг р лг п ос Взлс11 —, —; — ф — — 1); Ьг сг М опрелеллезсл условием пл = 1. 3.!2) ЬЗ. Сеченнеуассеяннявгпданнампате.
стяатлновенаечагянц 135 и из уравнения эллипсоида находим и .=. а сов ьг — , 'Ь вш ~р+ с ФК -2 2 2, 2, 2,2 2В 2' Далее, д(ау у) д(я, у) д(и, уг) агЬ2 диг д(0, Р) д(и, ут) д(О, от) ' ' 2 дО ' Окончательно азЬгсг ьво 4совв — (агсовг'Р+Ьгвш Р+сгтог — 1 С помощью какого предельного перехода можно получить из этого результата сечение рассеяния на параболоиде? аЬс Оо сова В(аз сонг Р, Ьгч1пг р 1. ьг Глг В)г' ь совВагЬгсгдо яп В(огговга+Ьгяп Р+ сггГЛ~В)г 3.12. а) Изменение импульса при рассеянии Р дьГ(г(1)) При рассеянии на малые углы в правую часть (1) можно подставить г(ь) = = р+ нт., где р Т и; гор = — — / П(р+ттт)й.=- —— д Т д артг, д,/ ' др' (2) Пусть ось - параллельна ъ, ось у перпендикулярна к а. Тогда 2 та Рп „а Рярп 'Замена в 121 днфференпнровання по г днфференпнрованнем по р 1прн условии р Г я,,1 приводит к тому, что полученная формула определяет только компоненпа Лр, перпепднкулярнме к ч 136 Отвегяьг и решения 13.
13 Е1аправление скорости после рассеяния характеризуем углами в сфериче- ской системе координат вари 1й ~р —..., 0 —..-— Ьря' р Из 13) ясно, что рассеяние происходит толью в интервал углов — ' ( р ( —. к Зк 2 2 ' Из 13) н (4) находим ка,. сова ~о 2Е В ла, ьзп р сов р 2Е В Сечение 3.13. Изменение угла отклонения частицы (ср. с задачей 2.17) 1 0 ~ дУ(г) дг 001р) = — —— ЕдЕ 0 1 — —— Из уравнения 0 —... Во(р) —,и 00(р) находим р = ра(0) . 00(ра(0)) г)ра(0) (Суммирование в 16) проводится по двум возможным, согласно 15), значениям р.) аг,й б) гЬ вЂ” ', а — компонента а, перпендикулярная к зг,. Сечса1гвз * ние оказывается симметричным относительно зг . 1хотя поле отнюдь не симметрично относительно этого направления). 3.!4] 43.
Сенениераееенная в лананнот нове. Столкновение чаевин 137 (ср, с задачей 1.8). Здесь зависимость Оо(р) соответственно рв(0), опреде- ляется при ЯУ(г) = О. Отсюда сечение от в(Р "Ро(н) г)Ро (О) ~0 = х 80 = г )(В) 102Ро~(0)ОО~(Ро(0)) )О Знак перед ф00 противоположен знаку ИРо(0)/аВ. ,у н0,1 к — О+2соз(В/2) НО 13 Т~В зш0 б) ООа 2т,~ (г — О) н *,тв я,дд-,— и ' 3.14.
Приобретаемая частицей энергия (р-г4)' е — "', — ю кгзр 2га 2т определяется в первом порядке лишь изменением продольной компоненты импульса. Так как отклонение частицы можно считать малым, в выражении для силы р' -" ОУ(г, г) дг действующей на частицу, положим (после дифференцирования) г —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
