Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ток в контуре ш.У вЂ” 1,1шС ейЗе = Л )' = — =- Го в1л(ш1 не) г)1 соответствует осциллятору с частотой ш~ ... — и положением равновесия тпд дс = 1+ —, поэтому у = до + Асов(шс+ ~р). 2н' Заметим, что, выбирая в качестве координаты отклонение от положения равновесия, мы исключаем из функции Лагранжа поле тяжести. 5. 11] 1 5. Чаяые нояебання сисгнен с одное сжененыо свободы 161 5.11. Общее решение уравнения движения (см. [1], 426; см. также [14)) х 4 2Лх 1 ~~от = —,„, соз 4 при условии ол~ = шз — Л~ > О имеет вид Е[(шсз — ') соз11+ 2ЛЗн[п-~] х(1) =- е '(а,соаыХ .~- Ьз[поз1) -1 т[( ~оз — Оз)з.1 4ЛзУ-) где а и Ь вЂ” константы, определяемые нз начальных условий. Полагая х(О) = =- х(О) = О, найдем окончательно х(1) = ... ~(ысз — 1 )(соз ~1 — е сонма)+ 2 з)з 1 з з) с с з „,2 4 2ЛО(зш 11 — е зшхт)1. (1) шо + "~' — м 2 "ао Исследуем полученное решение нблизи резонанса у = ш+е, е « ал Еслнтрение полностью отсутствует, т.
е. Л .—. О, то н окрестности резонанса двюкение осцнллятора предстаязгяет собой биения; Х тсв,) е( 14 а) х — ьпт 2 ьшхо1, (2) г с е1 тассе причем величина амплитуды и частота биении определяются степенью близости к резонансу (рис. 115,а). Когда же у — -- ыс (т.е. имеет место полный резонанс) при — О получим б) Рис. 115 х = 1ыпшой Г 2т 'о с е.
колебания, амгшитуда а(1) которых неограниченно возрастает по закону а(1) =- Р1,12тшо (рис. 115,6). можно получить, решая уравнения Лагранжа для д.Функция Лагранжа системы и = — — (см. задачу 4.22) диссипатинная функция равна — Лцз Ыда оа 1 2 2С 2 (см. [3), 548). (5Д1 162 Отееты и решения р 2те1я) е) 1е! а) 2ттне, 2"Г2теня~ е~ 1'ис. 116 11ри наличии даже малого трения (Л « шо) картина движения качественно меняется. Так, при Л « )е( из (1) легко получить вместо (2) Г 2ии 1а; сов(шоГ -1 З11(1)). (4) Здесь д1(1) — некоторая медленно меняющаяся во времени фаза колебании. Амплитуда колебаний медленно осциллируст с частотой Ц около значения Е/2п1 о~с~, постепенно приближаясь к нему(рис. 11б,а).
Замечательно, что во время переходного процесса амплитуда может достигать значений, почти вдвое больших амплитуды установившихся колебаний. При соотношениях ~е~ << Л << шо получаем х = (1 — е 1) сов(шо1+ Зея(1)). 2оыоЛ (б) В этом случае происходит переходный процесс с плавно растущей амплитудой, асимптотически приближающейся к значению Е/2птшоЛ, опреде- блг) б 5. Мптнте колебания сисюен с одной сзнененню свободы 163 5.12. а) Энергия,приобретенная осцилвпт- тором, Е Е = ' т ехр~ — — (знг) 1 Е „, существенно зависит от того, как быстро включается сила тот параметра пзт).
При мгновенном ударе (шг « 1) или при очень медленном включении силы 1азт» 1) передачи энергии малы, максимум передачи энергии Е . = доте ра стигается при т = нГ2,тта 1рис. 118). б) Если х а сон(озб —: нз) при б — н ж,' то Рнс. 118 з ттЕ =- Е1+сс) —. Е( -ж) = т е 1"'т 7 ".,ттп, зтЕе ™) в1ттзр. 2тп В зависимости от величины со осцнлзчятор приобретает илн теряет энергию. Это изменение энергии подобно поглощению ичи вынужденному испусканию света атомом.
При усреднении по фазе нз получим тот же ответ, что и в пункте а). имеет смысл вприпслкной фазы», т. е. той фазы, которую оспиляятор имел бы при т = О, если бы не было вынуждающей силы. ляемому коэффициентом трения Л (рис. 116,б). И, наконец. если и Л— величины одного порядка малости, ~г~ Л << а,о, то осцилляции амплитуды вокруг значения, отвечающего установившимся колебаниям Ет2н'2тпзо е, весьма неглубоки (для случая л — Л, см. рис. 116, и).
Таким образом, система приходит к установившимся колебаниям для этих трех случаев 1рис. 116) В за время 1 порядка 1ттЛ (это, впрочем, очевидно и из (1)). Качественное исследование процесса установ- А пения колебаний (ттереходного процесса) при Л «шо удобно проводить с помощью векторных диаграмм (рис. 117).
Вынужденное колебание изображается проекцией на ось х вектора ОА, вращающегося с Рис 117 угловой скоростью 7. Вектор свободного колебания АВ вращается с угловой скоростью пз, и длина его убывает пропорционально е ~т. В начальный момент А  —; Ол1 = О. Каков характер переходного процесса, если х(0) .. О,х(0) ф 07 164 15. 13 Ответы и решения 5.13. а) х(ь) = — (сз(1) + сг(1)), где г эь = ' " (1 не(' ь*" к'+ " -'- в* ~ а б) х(1) = —,1гц е' ' '~'~(',— Е(т)ел' '" г1т+хо+(г ю+Л)то 1о где ш = ٠— Л-'.
5.14. На осциллятор действует сила — — 1У(~г го(1) ~) д дг где г(1) — отклонение осцнллнтора, а го(1) — радиус-вектор налетающей частицы. Предполагая отклонение частицы малым, полагаем го(1) = р+ нр (р — прицельный параметр, векторы р и н взаимно ортогональлы). Считая также малой амплитуду колебаний осцилзитора, полат'аем в 11) (носле дифференцировании) г = О; тогда Р(1) = — 2зг21'(р+ъб) ехр( — и-рг — лггн212). Колебании по направлениям р и и независимы н возбуждакзтся до энергии Чсо 2 -~-сс 2 — Ел(1)е ™гМ и — Г,(1)е ' г11 (2) соответственно.
Здесь Е„и Ер — компоненты силы цо направлениям н и р. Полная энергия возбуждения осциллятора' 1,2 е — — (х+ а)е ' где Е=- — щи, о=- — ( — ), х=2(мр) . 1 2 1Ушй, г 2 ' 2 (гзгнг) 'Интересно отмстить, что зависимость е(гс) такая же, как и зависимость спектральной гиотности излучения быстрого электрона в поле Ы(г) 1см. ггй 1 67). 5. 14) 4 5.
Магме яояебання снсогеч с одной стененыо свободы 165 Сечение возбуждения оспиллятора до энергии, лежащей в интервале от к до е -ь бе, г~ гг Йе '~~,~, и хь(е) ь 2ягг '-, 1 — а — хя(к) ' ь где хн —. различные корни уравнснги (3), — а †а а) б) Рис. 119 с, а) Рис. 120 Дальнейшее исследование удобно проводить, решая уравнение (3) графически, как это делалось в задаче 3.10 а. При е « г = Я е ае ' получаем е(о = — е (в уравнении (4) полагаем хь(е) » 1, хя » а).
Для больших е результат зависит от величины а. Если а > 1, то возможно лишь " < кг (рис. 119,а; для сечения — рис. 120,а). Если жс а < 1, то возможно е < ег = (рис. 119,о), причем при е = г график Жт/де испытывает 1гг 2Ее скачок, а при «г — е « " имеет интегрируемую особенность (рис. 120,6) гг 2 н ~/Т вЂ” ег'ег 166 Он~невы и решения [5. [5 где При соя д > О ддя всех р оказывается е > ео, а при совр < О существуют такие р! ш для которых я < ео. Разрешая уравнение (1) относительно р~, находим 2 1 ту~~ йо р = —,1и — соя'р+ (е!'яо) — я!ц р при > ео, 2 1 хее! р! з — — †, 1п при повар < О ,%~ '.е~е — иц 'е и о » =- е,!и = ео я[п р.
Отсюда 2, : е[рз ЙТ=и,— пе с[Я (2) 2 из е — ео я[п ие — соя,р. еео — = — яш,р прия>еои — з, з 1 оя соя'р( Не с[ее - -ге[( Р! Рз) . 2 а , я (яо — е)' ео — ео я!и йе при ешы « ео и соя ш < О. Усредияя по всем возможным для данного е фазам ~р, получим (рис. 121). Усреднение проводится по формулам ян Рис. !2! (е2ее) 1 / Йт 1„ о 5.15. Если осциллятор имеет «прицельную фазу», равную р (см, задачу 5.12 б), то, повторяя выкладки предыдущей задачи, получим для энергии осциюгятора выражение е Я = езе [ и! —,2чеезеое [ е! соЯР+ео, (1) 167 5.16] й 5. Манне колебания сискоен с одной сгнененыо слободы лля- >сои для. < ео Здесь о = агсв1п Яяо.
Расходимость сечений (2), (3) и (4) при — ео связана с тем, что при любых больших р осциллятор возбуждается. С чем связана дополнительная особенность в (3) и почему ее нет в (4)? 5.16. Для функции Лагранжа Е =- — гпйз — гоко жз + хГ(1) энергия 1 з 1 2 ' 2 системы Е(б) = —,(Ве6 + — (1 С) — 1 С= т С— гп я гл з Г(1) пт гГ(г) з Г~(1) где С=т,+иаж=е"' / е ' ' — Р(т)с(т - нлк 1- (см. [1), й 22). Хотя выражение д~и энергии имеет определенный предел при 1 оо, интеграл, определяющий С(1) при 1 — оо, не имеет предела (так как Г(т) — Го при т — ~ оо).
Интегрируя (1) по частям, получим зГ(1),;, к Р С(1) =, — ', / Г'(г)е ™с)т, (2) сю 2 Е(+ос) = —, + Г'(1)е ' 'с11 2пза)з 2гпыз у — со где йж(т) О при т оо и интеграл сходится при Е -и сс. Из (2) видно, что движение осциллятора при 1 -о оо представляет собой гарьюнические колебания (второе слагаемое в (2)) около нового положения равновесия ха = , (первое слагаемое в (2)]. Переданная осциллятору энергия в Го соответствии с этим имеет вид 168 Отиева и решения [5. [7 5.17.
2 22т2 '2 2рцшз(,йз ";ш )2 Л ч-щз Ео = — п2и22а2, ио — кприпельная фаза» (см. сноску к задаче 5.12 б). 1 2 5.18. ПрОВОдя В фОрМуЛЕ С(т) —. Е(О)Е' ' ои — Е' / Г(1)Е ™Е[1 о (см. [1), 222) гмкратное интегрирование по частям, получаем выражение Е'00(+0)еЯи'" — Г'н1(т — 0) п2(1ш)("+") + 1 Е(оеб(2)е ишчй. еп(1ш)(о о'~ е о С( ) =60) ' '+ 5.19.
а) В промежуток времени 0 < 1 ( т колебания имеют вид х = Е$(птшзт+ Вв[поЛ+ СсовоЛ. Движение окажется установившимся, если х(т) = 2:(0), х[т) = х(0). Эти условия приводят к системе уравнений + Вяпшт+ С(созшт — 1) — -- О, Е тпш В(созшт — Ц вЂ” Свьчшт =" О, Здесь фО) , '—.- аош, где оо — амплитуда колебаний до момента включения силы. Предпоследний член в этой формуле по порядку величины равен — о,(шт) о, а последний, вообще говоря, гораздо меньше (если Г(" ~1(1)) — яро 2 изменяется плавно).
Квадрат амплитуды колебания ш - Š— —, при 1 ) т Ео(шг) по порядку величины равен (ао — ,', ) Таким образом, если сила включается медленно и плавно, передача энергии очень мала. 5,201 б 5. Чатьге колебания сисшен с однао сшененьнз свободы 169 определяющей постоянные В и С.
Таким образом,при О < 1 < т х(ь) .=- ь ( т вш(изб — т)2), дзиги (" 2 зш(изт,У2) (2) 1 Р— лт т(Л+ ты) 1 — Р™ ~ для и г < 1 < (и, + 1)т в правой части следует заменить б на т' = б — пт. в) При иго = (.УС) 'тз ) Л = В/2.У установившийся ток для О < 1 < т. Для п « — и+ 1 нужно в формуле для тока заменить 1 на ь~ = 1 — лт Можно ли, используя (1), получить выражение дзгя установившегося тока при ыо < Л или при шо = Лу 5.20. а) л( = — з( Г(1)т(Х) й =- о Лизз Л 4) 2 - ((-'--2)2+ .'--" (-.2- -2)'+ 'Представив силу в виде ряда Фурье — — — — в1о — О Р' Р' .
2тг1 2 .„т г=т видим, что резонансную раскачку колебаний может вызывать кажлая гармоника вынуждшогдей силы. прзг т = 2я1у' ' для достато шо больших т (каких имвтгно'О я(т) - ' шн шь нв 2янгад Если же 1 лежит в промежутке пт < 1 < (и + 1)т (где и — целое), то в правой части (2) следует заменить | на тг = б — пт (О < 1' < т). При итт, близком к целому кратному 2к, второй член в (2) оказывается очень большим — случай, близкий к резонансу. При изт = 2яг' (г' — целое) установившихся колебаний быть не может (система (1) противоречива'). б) ж(1) = — 1тп~ — '+ е"'"'+Аегыт~ лля О < 1 < т; здесь — ~- н,(Л+иа) 5,21] 1 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
