Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Как легко видеть из (4), оба эти вектора 'Отметим, ято в этой плоскости линейная комбинапия вила агтбй -~- Ьггбб прелставляет собой либо колебания по прямой 1при ст = оЗ,,З ' тт), либо пвижепие по эллтшсу (при о ~ о). 6,! 8] 4 6. Малые колебания систем с несколькити стеггенлтгг1 свободы 185 2 гх1 ' хз ' хз) 2 ~(х1 хз) (хз хз) + (хз гг1Г) ° (б) ° 3, з, з ьг з Нормальные координаты должны диагонализовать одновременно обе квадратичные формы — для кинетической и для потенциальной энергии. Поскольку в (5) кинетическая энергия уже пропорциональна сумме квадратов скоростей, го преобразование от х, к нормальным координатам, це меняющее ес вида, должно быть ортогональным, а векторы соответствующих нормальных колебании —.
взаимно ортогональными. Векторы г, независимы, но не оРтогональны дРУг дРУгУ: гггз = гггз = О, но гзгз ~ О. Чтобы получить нормальные координаты, достаточно в плоскости векторов гз и гз выбрать два взаимно ортогональных вектора. Это могут быть, например, вектор гз и ортогональный ему вектор ег1з, где единичный вектор е найден из условия егт =- егз == О. В итоге набор нормированных векторов' ( 1 гг , гз , 1 — — — гз = оаз = — 1 г1з (б) ьгб тг2 ьб ~ позвоэьчет определить нормальные координаты: 1 1 1 х1 = — И + — г1з + — г1з, тггб тгг2 ьгб 1 1 1 ХЗ вЂ” ГГ1 Гтэ + гтз ьгЗ ьс2 ьг6 (7) 1 2 тз = — И вЂ” — г1з ,/З, б которьге приводят функцию Лагранжа (5) к виду тп 2, 3 з 3 ° 2 2 3 7' = 2 (ггг газ оэзггз + газ "зггз).
(8) Разумеется, любые координаты, полученные из ггз, дз ортогональным преобразованием (т.е. простым поворотом вокруг гг), также являкттся нормальными координатами. 1Миожитсли 1/ъГЗ и 17ьгй ввелсньг лля того, чтобы нормировать векторы г,, условием г,гь = б,г,а~, при этом условии преобразование гт) ортогональное. (а следовательно, и все векторы, лежащие в этой плоскости) ортогональны вектору гэ (общее соотношение ортогоналыюсти см. в задаче 6.22).
Функция Лагранжа системы Ошееепн и решения (6. /9 бА9. Начальные условия для смещения х, вдоль кольца х1(0) = а, хг(0) =- хз(0) = х,(0) = — О. Отсюда для нормальных координат 9, (см. формулу (7) предыдущей задачи) найдем начальные условия: г/1(0) =- — 9г(0) ." —, 9з(0) -= —, 4(0) .. 0 ь'3 ъ'2 з/6 Поэтому а ге а 9г = —, дг = — созеег/ е/з = — соьшз/н с 3 ь/2 ъ'6 и с учетом того, что шг = шз, получаем окончательно а 2а, „,, а, а хг = —, + — совы 1, хг = хз = — ' — — совы ~;.
3 3 ' " " 3 3 ' б.20. Пользуемся обозначениями задачи бА8. Функция Лагранжа си- стемы Л --- — '(тг + 2хг+ Зхз) .- —,(2(хг — тг) -'; 6(тг — тз) -'. 3(хз — хг) ]. (1) г ( — пинг ~ бй)А1 — 2ьАг —. ЗЙАз — 2йАг + ( — 2пкег + 8/е) Аг — 6/ейз — 38Аг — 6кАг -, '( — Згп Р, Ой)Аз (2) Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю: шг(ггыг — бй)г = О.
Отсюда находим собственные частоты системы: шг=О, шг=шз=1/ — „. бй Уравнения движения подстановкой х, = А, соз(ш/+ 9г) сводятся к системе трех алгебраических уравнении: 6.20] 46. Мииые колебиния систем с несколькими стеиенями свободы 187 Значению шз = О отвечает очевидное решение — вращение по кольцу с постоянной угловой скоростью (3) Для совпадающих частот шз = щз в системе (2) лишь одно уравнение является независимым: А1 — , '2А2 т 1:1з = О. (4) Любые наборы величин Аи удовлетворяющие условию (4), дают колебания с частотой шя.
В частности, можно выбрать такие колеба|пья, чтобы первая, или вторая,или третья частица покоилась; гя = 3 дз, гз = О цз. гл = -1 1)а. (6) ро = С, соз(илза + ~д,), 1 = 2, 3, 4. Согласно (4) любая линейная комбинация векторов (5) ортогональна вектору (2) . Легко убедиться, что набор векторов (6) г, гя, гз = -1 йз позволяет, как и в задаче 6.18, определить нормальные координаты, которые приводят функцию Лагранжа (1) к диагональному виду. Векторы (6) удовлетворяют не црос гому соотношению ортопзнальности (как в задаче 6.18), а соотношению иортогональности с весом» (см.
задачу 6.22). Оклеены и реи~еиия (6.21 б.21. Векторы нормальных колебаний 1 гг =— ъ'2 1 г ~/2 1 .-1 1 оз, ге=в — 1 1 гз =— 2 Š— — Л~ соз(идз + д), 1 .= 1, 2, 3; дз .— ЛД + Ла, юг =. "~2 = — )( гл ~ юз " 2'(/ п1 ° 121, 1а Функция Лагранжа системы Л = 2 (чг + аз+из <Й 'егчг и'гчз е'зчз) Это, конечно, нс единственный выбор. Любыс векторы, полученные из данных поворотом в плоскости, определяемой векторами гг и гз, также будут векторами нормальных колебаний, например: 1 — 1 1' гз 2 1 гг 2 гз гз, г4 гз (2) (поворот на х/4). Руо векторы гы гз, гз, гз хотя и независимы, но не при- водят функцию Лагранжа к сумме квадратов.
б.22. Амплитуды нормальных колебаний удовлетворяют уравнениям 1 О чг О 1 — ! Дз, 1 О 1 чз, — 1 6.23] 66. Минке колебинин сисгиеи с несколнкиии скнеиеннни снобое)ы 189 Умножим уравнение (1) на Л( ), а уравнение (2) -- иа Л( . Взяв в обоих (л) (о уравнениях сумму по (, получим — ~ п.„Л,"'Л," —, ~ ~' 1-о ЛО) Л," = О., (3) (4) Вгячтем уравнение (4) из уравнения (3), учитывая, что пил.= т., и 1;, ...— й,, получим т.е. прим, т-М (е) и одновременно из (3) ~ )33Л(л)ЛО) =О. (б) 6.23. Переходя к нормальным координатам к,=-~ Л, йи и) ) преобразуем уравнение связи Удобно воспользоваться терминологией, принятой в линейной алгебре, Набор амплитуд данного колебания будем называть вектором амплитуды А(') = (Лд ), Л(), ..., Л( )).
Доказанные соотногиения (5) и (6) означают, что амплитуды А(') и Ао) взаимно ортогональны, если скалярное произведение определять с помощью метрических тензоров гп,. или )с, . В случае вырождения (если ы, = ин) амш~итуды А(л) и А(') не обязаны удовлетворять соотношениям (5) и (6). Но в этом случае всегда можно выбрать, и притом не единственным способом, такие амплитуды, которые удовлетворяли бы (5) и (6) и приводили бы функцию Лагранжа к сумме квадратов.
19О 16.24 Огпвеепы и решения Уравнения движения с неопределенным множителем Лагранжа Л ЛА(9) 9 а Е) =- Ь Л можно решить, полагая 91 = с1 сов(ша+ 12), л = лсов1ша+ д). Выразив С~ из уравнения М1Р7 — 2)С1 = 61Л и подставив в уравнение связи, получаем для новых частот уравнение нз 2)Х~(йз — шз) Для исследования этого уравнения удобно представить график (рнс. 129) 2 1яз у(ш ) =~~~,, =О. Обратим внимание, что функция р1шз) меняет знак, проходя через бесконечное значение при ш = Й,.
2 2 Рис. 129 После этого расположение корней ш1 становится очевидным. Есдн какой- нибудь из коэффициентов Ь1 равен нулю, то соответствуя>щес нормальное колебание 1и его частота) не изменяются прн наложении связи. Рассмотренному в этой задаче факту можно дать простую геометрическую интерпретацию 1сьь [6), з 24). 6.24. Подставив зй = ') Л11)А~ сов э» в уравнения движения 11) т„.х, + ~~~ в„.х, —. ), сов", й Е получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов Лй): 22 С пН.ЛЦ)ЛЦ) 1 С, /е, ЛЦ)АР) -- Л (2) яц 6.24] 46. 4Хиавзе колебания снсьчеи с несколькинн глчененямн свободьз 191 Ее проше всего решить, используя соотношения ортогональности (5), (6) задачи 6.22.
Для этого умножим уравнения (2) на А)а н, просуммировав по т, получим окончательно й(а) $Х,(ыз — ) ) где Г. =- Е А('Л, ЛХ. =- Е т, А,"А(', К. =- Е й* А.,'А(', , = ~А,"4а(1), (3) вместо (1) получаем следуюшис уравнения движения: (4) У,Ъ+К Ъ = К сов-)й Отсюда, если вектор силы Х; ортогонален к амплитуде некоторого д-го нормального колебания 2 А, Х, =- О, то соответствующая нормальная коорди(в) ната удовлетворяет уравнению свободных колебаний, и резонанс на данной частоте при з = ш, не проявляется.
Отметим, что работа внешней силы в этом случае равна нулю (2 Хт сЬ, = ), Х,А(') йг)а = ()) . Пусть вектор силы параллелен какому-либо нормальному колебанию: Х* = соттвь (з = 1, 2, ..., бб). Может ли такая сила возбудить другие ,164 нормальные кодебания? 'рели некоторые нормальные частоты вырожденьт, то соответствукзщие им амплитуды нормальньтх тзолебаний мы считаем выбранными так, чтобы они удовлетворяли соотноыеннлм ортотональности (б) и (6) задачи 6 22. а величина ша =;/К,/ЛХ,, является д-й нормальной частотой системы в соответствии с формулой (4) задачи 6.22.' Зависимость Л(') от э имеет резонансный характер.
Для нормальных кодсбаний с)„ввсденньдх по формуле Опдведпнд и решения (6.25 6.25. Вынужденные установившиеся колебания можно представить в виде (см. предыдушую залачу) 'дп — ' ~))мХд~ где А(д) АЯ д 1Х (шз — Тэ) Теорема взаимности отражает тот факт, что 3, = Зм. Как изменится формулировка этой теоремы, если координаты ж, и т имеют разные размерности (например, дддя электромеханической системы)? 6.26. Нормальддые колебания где дХд = Ае + В, ддя = А, сов(ид,с+ а,), д = 2, 3, 4; вдзэ = —,,„, шзз = —, 21 э 26 2 26(М ~ нд) ш.д = . Три первых колебания легко угадываются, а последнее длИ находится из условия ортогональности к первым трем.
Поскольку массы частиц различны, условие ортогональности двух нормальных колебаний А н В имеет вид тАд Вд+ деХАзВз -~ дпАзВз+ ЛХАдВв -.= О (см. задачу 6.22). 6.27. Пусть к, — смеШение д-й частицы вдоль кольца. Два нормальных колебания легко угадываются: 1 Чд (и) гз —. д72(н), О О гд =..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
