Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому координата Чр возрастает со временем, и ее тоже нужно учитывать в правых частях уравнений [3). Таким образом, в этом случае нужно использовать уравнения (3) совместно с 1 = и, р, оставив в правых частях только слагаемые с в = и, р 5Хп[Чп + шпЧп) — блХппЧп 65ХпрЧр вХеппЧп ЕХтпяЧр [5) 5Хп[Чр + ш„Чп) = — е)аХг»Чп — вл)ррЧр — е)зрпе1п — еХт ррЧр 6.35. Используем обозначения и результаты задач 6.27 и 6.34.
Ясно зарансс, что вшт = О. Для остальных частот [тп),бггьв[тп) шп бш 2 ) ~ [тп),т,.[тп) и, =-- 2. 3, 4. Ясно, что сказанное относится и к случаю ш„- штп Итак, для определения поправок ко всем собственным частотам [включая и вырожденные) в добавке [1) к функции Ларанжа можно отбросить все чтены, содержащие произведения нормальных координат, относящихся к различным частотам исходной системы.
6,36] 66. Малые кояебания систеи с нескатькиии стенеюот свободы 20( Матрица кинетической энергии т, диагональна, причем (2) тем = 2т. ты = гпзз = тзз = т, Матрица дт,д имеет елинственный отличный от нуля элемент (3) бтм = дт. 3-; )УО ба)з = — — еыз, диез 4 = — еыз 4. 4 ' '' 40 6.36. Векторный потенциал выбираем в виде А= — '( — р.,х, 0), Ж 2 функция Лагранжа т(хз ( ° з ( -з) гге(,2 2 ( з 3 ( з 2) тахе( ) где и/хс — —, ', . Для х и д получаем уравнения сего х + о~(х — о~лен = О, 2 () + ио,п + салех — — ().
Удобно искать колебания в виде Ве( йеп)с) Ве(вепн) Система уравнений (ие'" — йз)А — иомд)В = О, (ы чЯА + ((о, — йз)т) = 0 приводит к колебаниям х = Ве,(Аке'"") = аь сов(Пью +,ок), — (о йк,;, ы йь р — — Ве(Ак о е' ") =- аь ' ып(йк(+ зон), ' з йя газ йь Ак —.— акее", й =- 1, 2, Подставляя в (1) выражения (2) и (3), а также компоненты векторов нор- мальных колебаний ги, найденные в залаче 6.27, получим 1б,зб Отвегялг и решения с частотами Йз г — — ~~ lг + шз -~- шэг х 11 для которых справелливо соотношение Йгйг —. шгшг. Пусть для определенности шг > шг, шэк > О. Тогда первое из найденных колебаний представляет собой движение по эгпипсу с бодьшой осью, направленной вдоль оси:г, цо часовой стрелке, а второе — по эллипсу с большой осью, лежащей вдоль оси д, в обратном направлении, Движение вдоль оси г оказывается гармоническим мэлебанием,не зависящим от магнитного поля, = аз соа(шз1+ згз).
Свободное двигкение осциллятора представляет собой суперпозицию найденных колебаний. Эти колебания можно назвать нормальными, обобгцая тем самым понятие нормального колебания: движения в направлениях осей л и у происходят с одной и той же частотой, но со сдвигом фаз. Привести функцию Лагранжа к диагональному виду с помощью линейною преобразования толыео координат невозможно, так как переход к нормальным координатам связан в этом случае с каноническим преобразованием (сы.
задачи 11.7 — 11.9). а) Если магнитное поле мало, ш « шз — шз, то эллипсы нормальных 2 ггешьг колебаний сильно вытянуты, а частоты Йгд = югл ='-,, ', близки --2(-г- г) к шцг. Траектория осциллятора без магнитного поля заполняет прямоуюльник со сюронами, параллельными осям координат (см. задачу 6.4); влияние слабого магнитного поля приводит только к небольшой деформации области, заполняемой траскюрисй. 1Теорема Лармора здесь неприменима, так как поле У не обладает симметрией относительно оси ж) б) В сильном магнитном поле ш е » шг нормалыюе колебание с частотой Йз = ш происходит по окружности, а нормальное колебание с ча- шг ~г стотои Йг —, — по элдипсу, у которого отношение осеи, параллель- шле ных к и р, равно шг/шь Таким образом, происходит движение по окружности, центр которой относительно медленно движется по эллипсу.
Известно, что при движении заряженной частицы в сильном однородном магнитном поле в плоскости, перпендикудярной к полю, появление слабого квазиоднородного поля У(г) 1т.е. такого, что сила Р†. — - — мало дУ дг 6,37) й б. Манне колебания систеи с несколькими стененялт свободы 203 сов й>с сов й>и представляют собой линейные колебания по осям к или д. (Мы отвлекаемся от смещения вдоль магнитного полю) Если магнипюе поле мало, ш г .< ш>, то и> = ы>, и все влияние поля на движение осциллятора сводится к появлению вращения (ипрецессии») вокруг оси е с частотой — и>,ке7'2 (теорема Лармора, ср.
(2), Ч 45). Если же и>эв > ы>, то использование вращающейся системы теряет нш>еядность. 6.37. Уравнения движения 2, т, — , 'и>>ж —.- и>,у., у ~ шоу ..—.. — шея —, и>ее, с 2 2 у+ и>зе = — ы.У, где е,дбк ык — >.и еЖ„- нзс репзаем с помощью последовательных прибли>келий. Ищем координаты в вндс и — я(>) + л(2) у — уИ) + дЩ) я —;И) ~..(2) >де 2>(2) у(2) 2(2) малы по сравнению с к(>), уц>, е(>).
В первом приближении пренебрегаем малыми членами, стоящими в правых частях уравнений: ж( ) = Л сов(и»б т ет)., у(') = Всов(и>зг+,Е), -(>) .— —. С сов(и>за+ З). изменяется в пределах круговой орбиты) приводит к медленному смещению (дрейфу) центра орбиты в направлении, перпендикулярном к Е (т. е.
по линни уровня Ее(г)) (см. [2), й 22). Заметим, по в нашем случае подобный же дрейф происходит и в сильно неоднородном осцилляторном поле. в) Если ы> = и»ь то в плоскости (:с., у) нормальные колебания представляют собой движения по окружностям в противоположные стороны и.
и — ..>е''е Я "..7си у вращающейся с частвчой — «> >>2 обе час>тт»я этих движений оказываются равными й>. Такие дан>кения суп нормальные колебания изозропного осциллятора с частотой и>. Действительно, сумма и разность таких колебаний с равными амплитудами 204 16.37 Оп1ееепм и решения Поправки х12), р121, ябб определяются из уравнений х~ ) -~- и11х~ 1 = шя74 .42) + 2 (2), (1) + ОО 421+, 2 (21 ° (11 + ШЗЕ = — и1яр Получаем — ш,шзВ зш(и121+ Д) и22 -- инз 1 2 и11и1ялв1п(ее11+ее) иъ шзСзш(и121 — , '7) У (2) 2 и1 ~ — ш1 1 12 и12 (21 ш язв а1п(и'21 + 3) шз — и17 Поправки оказываются малыми, если ~ш.-~ << ш1 — шз~, ше~ << ~еез — и1з . Нормалып1е колебания суть колебания по эллипсам, сильно вьпянутым вдоль осей координат.
Если же, например, ~и1е > ~ы1 — и12~, 'аоя~ << и12 — и12~, то хбц и 17121, согласно (2), уже не малы. Это связано с тем, что частоты «силь и1„у~О и — 1,ХО) в 11) оказываются близкими к собственным частотам осциллятора. В этом случае в уравнениях первого приближения следует сохранить резонансные члены: хЦП + ш~~хбб — и121)1П = О, д% 11 2,1О),, (1) . О Фгз ' ш2211) = О, т.е. влияние ееш на двшкение необходимо учесть точно. Система 13) рас- смотрена в задаче 6.36. Для поправок второго порядка имеем уравнения хд 1+ х1 1 = О, 1 рФ ..
2„1О .,;(11 и~2 Р— Ше 2421 ~ 22121 ° 1П О1!ЗЕ = -и1еф 639) 46. Магоге колебания снстен с несколнкимн стененяин свободы 205 Выпишем свободные колебанги, во избежание громоздкости ограничив- шись случаем ыг = ыя = ол г '(ы+ з )г+ 0 +Ая е ( з) +Аз гог гы ыг неег е ыз — аг 1 Нормальпые колебания (4) с частотами ы .. —" происходят (в принятом при- '' 2 ближении) по окружностям, плоскости которых составляют с плоскостью (к, у) углы че ', (поворот вокруг оси р), а колебание с частотой ыз— ыг — ю по сильно вытянутому вдоль оси е эллипсу, лежашему в плоскости (11, е).
6.38. Колебания маятника предполагаем малыми, угол отсчитываем от вертикали против часовой стрелки, в качестве второй координаты возьмем заряд 4 на правой пластине. При откчонении маятника на угол о магнитный поюк через контур равен Ф --- соггзг — —,М'1 д, поэтому функция Лагранжа 2 (см. задачу 4,21) Ь = — гп1 ел —;.Уф —.
тр(д —. — —. Х1 д г 1е 2,.2, 2 2 ч з 2(, ' С Если ввести координаты к =- (ео и р .— хгг2/т4, то функция Лагранжа нашей системы отличается от рассмотренной в задаче 6.36 (с параметрами ы = —, ы =., шее = — ' при г = О) лишь на полную производя,з 1, Ж1 'х'С 2 гг вг.'с ную по времени: —,со .. — 'з:1г.
Поэтому уравнения движения и их решения в . ог с1„ 2 е)г' задаче 635 справедливы и для нашего случая. 6.39. Пусть г = Асов(ы1 а- 'д), А = (.4г, Аз, ..., Ам) — какое-либо нормальное колебание. Поскольку замена к, — ~ ~Я, и„ не меняет вида функции Лагранжа, то наряду с (1) должно существовать 206 16.39 Огввеепн и решения нормальное колебание вила Яг = ЬА сов(ш1+ р). (ЯА), = ~~~ 6„.4,.
12) Здесь Я .- матрица с элементами Я,з, которая по условию обладает свойствами (Š— единичная матрица, 5 — транспонированная матрица Я): т Ет = Я, ЯЯ.— — Е. а) Если данная частота ш не вырождена, то решение 12) может отличаться от (1) разве лишь общим множителем: Яг = сг. Аналогично (4) ЯЯг =- сЯг .=- с г. Поскольку ЯЯ .=- Е, то из (4) немедленно следует, что г = саг, или сз =- 1 и с = х1. Поэтому деш невырождснной частоты или Яг = +г, или 5т =- — г. б) Если частота ш вырождена, то колебания (1) и (2) могут и нс совпадать.
Но их сумлеа и разность г ~ Яг = (А ~ ЕА) сов(шЕ + р) также являются нормальными колебаниями с той же частотой, обладающими необходимыми свойствами симметрии. в) Добавка к функции Лагранжа имеет вид ЬЬ = 2 унт„где е -- внешняя сила, действуюшая на систему. Пусть сила Г симметрична, а нормальное колебание г, вида (1)— аптисимметрично относительно преобразования Я, т. е. Я-.- +Г, Яг —...— г . (6) Данная сила не влияет на колебание г, если векторы г" и г взаимно орто- гональны (сьь задачу 6.24): (6) (Г, г,) — — О.
6,401 46. Мазне колебания сиссоеи с несколнкинн стененяни свободы 207 Из (5) следует, что (7) 1ВГ, Вг,) =- -(1', г,). С другой стороны, левую часть (7) можно переписать в виде (Л, Яг„) .— ~Г, ВтБг,), Из (3) очевидно, что о~Я = Е. Сравнивая тогда (7) и (8), получим немедленно (6). Остаются ди неизменными пункты а) — в) задачи, если заранее нс требовать условия Вг =- Я? 6.40. Пусть ж, -- смещение 4'-й частицы вдоль кольца из подожения равновесия, для определенности считаем положительным смещение против часовой стрелки. Система явно симметрична относительно поворота на угол 180е вокруг оси ЛВ, проходящей через положение равновесия вюрой частицы и центр кольца. Поэтому и функция Лагранжа системы 4 1й( ° з+ ° 3+ ° 2) 417( 2+ .3) к~~ ( )3+( )2~ не изменяет своего вида при соответствующей такому повороту замене .'Гз и — Уз, ад ХЗ...'СЗ > Л Ы Х4 и — аь, .'45 н Х4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
