Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(1О) Рнс. 133 .й, ~Зй игг = 7 3 еа2 = игз = г) 'а) г" ' 'у' 2пг ' Вид функции Паграняеа 110) сохраняется при повороте в плоскости 92, 93. гнеполагоааиа метрика гем. В 17), (9) мпеигители перед 9 выбраны так, что Нормальные колебания, соответствуюгдие этим коордиггатам, приведены па рис. 133. Их частицы Отвегяы и решения Момент импульса с учетом квадратичных по па членов Щ = гп,'~ '1га|га': — — лз~угуз — узуз~ а может быть отличным от нуги, если колебания уг и уз происходят со сдвигом фаз. Интересно разобраться, какие изменения может внести в эту картину зависимость потенциальной энергии от углов, образуемых связями. Очевидно, на частоту колебаний уг такая зависимость не повлияет. Частота колебаний уз н уз изменится, но двукратное вырождение сохранится. Действительно, наряду с неюторым колебанием у возможно также колебание, полученное из д поворотом на 2к,гЗ.
Его частота должна быть такой же, как н частота колебании у. С другой стороны, оно отличается от д (при повороте на 2х/3 само с собой совпадает толью колебание Ш). Таким образом, мы обнаруживаем два независимых юлебация с одной частотой. Нормальные координаты в этом случае должны удовлетворять только одному условию: быть ортогональными уы в частности, дз и уз остаются нормальными координатами.
б.50. а) Вводим координаты атомов В так же, как в предыдущей задаче, для атома А — юординаты хго уа, за с осями, гьзраллельными хм уг, хг и началом в центре треугольника. Есть четыре степени свободы движений, выводящих атомы нз плоскости ху. Три из них отвечают поступательному движению вдоль оси з и вращениям вокруг осей ха и ум а одно - колебанию (при котором, очевидно, гп = яз = з, тизл+ го(зг+ яг+ яз) = О). Частота этого колебания шг певырожденная, она лишь случайно могла бы совпасть с частотой какого- нибудь другого колебания, Рассмотрим колебание атомов в плоскости ху, симметричное относительно осн хв. Общий вид таюго колебания; Уг=0 г:з=хз Уз=- Уз Ув.=0 Вектор смещения содержит четыре независимых параметра: хг, хзь уз, ха, т.е. на такие движения приходится четыре степени свободы.
Одна из них отвечает поступательному движению молекулы вдоль оси ха одна — полпосиммегричному колебанию хг =- хз — — хз, уг = уз = уз = ха =- уа — -- 0 6,501 66. Мииые колебания сискнеи с несколнкини стеиеняни свободы 223 б) в) Рис. 134 д 2ЛХ' Для полносимметричного колебания в качестве нормальной координаты вы- берем я1. Тогда величины ЛТ и БАЛХ определяются как коэффициенты в вы- ражениях кинетической энергии и добавки к ней; бгп .
ЗЛТ,з 1=. 2 1 Зт ия Л( .я 2 ' 2 с частотой иэз (рис. 134,а), а две остальные — колебаниям, нарушающим симметрию молекулы. Частоты этих колебаний шз и ш4 (рис. 134,б, в). Из четырех оставшихся степеней свободы одна приходится на поступательное движение в направлении оси рь одна — на вращение вокруг оси л, а две — на колебания.
Зто колебаешя, которые могут быть гюлучены из уже указанных с частотами щз, юл поворотом на 2к/3 вокруг оси я.1 (ср. с предыдущей задачей). Итак, частоты и~1, шэ — невырождепные, частоты саз и еал — двукратно вырождены. Заметим, что векторы колебания, антисимметричного относительно оси ял, можно получить, зная вектор симметричного. Для этого достаточно взять определенную суперпозицию колебаний, полученных из последнего поворотами вокруг оси яя на углы т2к,~З, а именно — их разность (см. рис.
134,г). б) Изменения собственных частот можно опредслитеь используя теорию возмущений (см. задачу 6.34): гга (6.51 Ожвеяпы и решения так что бт дшз = -шз —. бт' Для колебания вдоль оси е кинетическая энергия и добавка к ней равны так что шг яязАЗт Д'шг = —— 2 Зт(Зги+ тА) Например, для хлорида бора замена одного атома хлора с атомным весом 35 на изотоп с атомным весом 37 уменьшает частоты шг и шз на 0,1% и 1% соответственно. 6.51. Пусть колебание, при котором молекула остается подобной сама себе (рис. 135, и), происходит с частотой шг. В в) б) Рис. 135 Частота ~ колебания, сохраняющего свой вид при поворотах вокруг оси 013 на угол 2т.~З (рис.
135, о), вообще говоря, отлична от ш1. Иное распределение смешений атомов можно получить, производя отражение смещений в плоскости ВСО; получится колебание, отличающееся от второго лишь тем, по атомы А и П помсггялись ролями. Частота этого колебания шз = шя. Подобным же образом отражение в плоскости ЛОС меняет местами атомы В и П, сохраняя частоту шя =- ш . Это четвертое колебание не сводится к суперпознции предыдущих, так как, в отличие от них, несимметрично относительно плоскости ЛОВ.
Колебание, симметричное относительно плоскости ЛОВ и ООС (рис. 135,в), имеет частоту шь, отличную от шг и шз. Поворот на угол гк,~З 6,521 66, а1ииые колебания систеи с несколнкити стененялт свободы 225 вокруг оси О О, равносильный круговой перестановке А, В и С, приводит к колебанию, симметричному относительно плоскостей СОА и!Э0 И, а его частота сов = и)з Итак, молекула обладает тремя собственными частотами одно-, двуи трехкратно вырожденными. В заключение заметим, что молекул, рассмотренных в задачах бА9 и 6.51, по-видимому, не существует в природе. Однако подобный же метод исследования может быть применен и к реальным молекулам, 6.52. а) При полносимметричных и дважды вырожденных колебаниях, указанных в предыдущей задаче (см. рис.
135, а, е), атом углерода остается неподвижным. Есть еще две трехкратно вырожденные частоты. Соответствующие колебания похожи на колебания, изображенные на рис. 135, б, только атом углерода колеблется либо в том же направлении, что атом П, либо в противоположном. б) Добавка к функции Лагранжа, описывающая действие электрического поля й(г), есть бЬ вЂ” — в (г) ~~ е,п„ где еа — заряд, и, — смещение а-го атома. В любом колебании пз~ ~па - тспз = О, так что а.:. 1 ПРи полносимметРичном и дважды выРожденных колебаниЯх 2 е па =- О и эти колебания не возбуждакпся. При колебании рис. 135,б, напротив, 2 е,п, у'= О и подобные колебания возбуждаются. Итак, резонанс возможен иа двух частотах.
Вектор в можно разложить на три слагаемых вл, параллельных осям симметрии каждого из трех колебаний молекулы с вырожденной частотой. Каждое из слагаемых 8л приведет к колебанию атома углерода с амплитудой, пропорциональной 8е, и одним и тем жс коэффициентом пропорциональности ж. Поэтому пз =- лей и па ~ не зависит от ориентации молекулы. Можно убедиться, что амшеитуды колебаний атомов водорода п|д з я~ тоже не зависят от ориентации молекулы и параллельны вектору Ю. 22б (73 Он~веянья и решения й 7. Колебания линейных цепочек 7.1. Функция Лагранжа системы ,(х,;) =$Е.,;, ~,;, Е(хв хн,) .хз„. (,) н=г 'с в=э где х„- смещение п-й частицы из положения равновесия. Введем также координату положения равновесия и-й частицы Х„= по, где а —.
равновесная длина одной пружинки. Система уравнений Лагранжа < гпхг + й(2хз -- хя) = О., яп,'г„-;й(2х„— хн 1 — хв,1) =-О, и = 2, 3, ..., 7У вЂ” 1, (2) тхм + й(2х7я — хм г) = О эквивалентна системе (3) пях'„-ей(2х„— х 1 — хие1) = О, п = 1, 2, ..., У при дополнительном условии (4) хо = хжжг = О. Из физических соображений можно предвидеть, что нормальными колеба- ниями должны быть стоячие волны. Удобнее, однако, выбрать 1 Цв еХняО П (б) При таком выборе система У уравнений сводится к одному уравнению = 4 — яш 3 й, 3 Р гп' 2' которым определяется связь частоты с разностью фаз колебаний соседних частиц яп Смысл подстановки (5) заключается в выборе для хч решения в виде бегушей волны с волновым вектором р = р~а, так как и р = пегр = = рХн. Уравнение (6) устанавливает, таким образом, связь между частотой и волновым вектором.
Условиям (4) можно удовлетворить, подбирая суперпозицию бегущих в обе стороны волн х„.= Аеч ' н"~ —, Вей '"""'~. Условие хо =- О дает А =- — В, или х„= 2~Ва1п(п~о)с' ', т.е. стоячую волну. Из условия на 227 1 7. Колебания линейных неионек 7.! ] другом конце жмье = О определяются возможные значения частот (испектр частот»).
Уравнение з1п(Х -, '1)со —. О приводит к Х независимым решениям яе не .У -Р 1 (7) В самом деле, е = О, а = )хг+1даютнулевые решения, а для е = Л+1фаза Зоегет .—.— — Зом гез + 2х, те е. решения, отвечающие и —.- 7х —; 1 выражаются через решения, отвечающие е =- Х вЂ” 1+ 2. Из (б) и (7) находим Х различных часют ш, = 2у — вш — ' = 2у — гйп ', е = 1, 2, ..., 1У. (8) )г . ~'е, )г . л'5 1)гп 2 1)гп 21„хг, 1)' где введен для нормировки: (г„, г',) = д„, Сз. Общее решение есть суперпози- ция всех нормальных кодебаний На рис.
136 различные частоты укладываются дис- кретными точками на синусоиду. Вектор нормально- го колебания, отвечающего е-й частоте, хг аш ое тм вш М~р . С,(1) — -- Ее(21В,е'"н) .— — С, соз( о,1 —, о,) — е-я нормальная координата, а множитель г„=- у 11 д,Явши<р,. 2 Л вЂ” 1 е=1 12 Х Рис. 136 228 17.2 а Ошеетн и решения Матрица перехода от т„к о, 2 , япе ~ ~У 3 1 Л" — ' 1 является ортогональной матрицей, приводящей функцию Лагранжа к диа- гональному виду, отвечающих набору Ж различных осцилляторов: 7.2 а. Уравнения движения для данной системы те жс, что и уравнения 13) предыдущей задачи, при дополнительном условии жо = О, тм = =- тиз н Поэтому (2е -- 1);г Г~, (2я — 1)я ш, = 2ы — вгп У ™ 2(2У+ 1)' х„= ~ ~в1п п.р, А, соз(ш,1+ а,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
