Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 34
Текст из файла (страница 34)
148 (взятом из [20)) показаны области неустойчивости относгггельно параметрического резонанса, Если у < 1, то дз з( = 1 и колебания хз з(1) (а с ними и х(1)) остаются ограниченными. Если же ", > 1, то рз > 1, и амплитуда колебаний неограниченно возрастает. Это н есть случай возникновения параметрического резонанса. Нетрудно убедиться, что при малой разности частот азиз — ~з << и з это условие выполняется, если частоты близки к ппу' т: 254 Отеетм и решения 1ее2гь ез'.,) е' 1 2 3 4 б б Рис, 143 8АО. Уравнения движения х+ш х — 2аху = О, 2 2 р' ~ 4ш р — ах = О.
Решение ищем в виде х —.. Ае'ш'+ А'е ™ — . 'дх, В.2ич+ — 2з ч принимая, что А и В -. медленно меняющиеся амплитуды колебаний, а более быстро осшнширующими слш аемыми Бх и бр можно прснебречек ~А «ш~А, ,<<ш А, ~В~ <<шл! << 2' ~В~,бх бр <<!А;. Сохраняя только слагаемые с е' ' гсоответствешю е2' ') и пренебрегая ~А, В, получаем шА — гаЬА = О, 4ш — 1аА2 =" О.
Легко видеть,что из (1) следует !А~~+ 4'В,:2 = С = сопвг 12) гзто закон сохранения знергии) и (3) А В.РА В =- В =- салаг. 255 гз 8. Нелннебнме колебания Используя (1), находим ог — /А г — пз(АмаВ АгВ,) с(1 (4) )А) г г 8.11. шг = Ч + д (ср.
[1), 430 задача 1). 21г 8.12. г г Звт б) гтэфф —... о' [(а' пг(са — ыо) где юо — собственная частота осшпшяюра, Обратим внимание на то, что зависимость сгэфф сс г о характерна для межмолекулярных сил. Если подставить в (1) значения величин'. ег (10-ю К)" В снсгсмс Си: а,, т, 10 го нг, а 10 ьо м, лаго 4нео 10 '' Ф[м 10 Возведем (4) в квадрат и учтем (2),(3): ( — А г) = — ~,, [(А'гВ+ АгВ')з — 4 А)~)В з) = (б) .= 'л [~А,'4(С вЂ” Л~г) — Т)~). Уравнение (5), аналогичное закону сохранения энергии для задачи об одномерном движении частицы с координаюй А -, удобно исследовать с помощью графика сг( А г) = (,'А~г — С)~Л 4 (рис. 149). Таким образом, амгшитуда ~А испьпывает колебания — происходят биения.
Зависимость амплитуд ~А н ~В~ от времени может быть выражена через эллиптические функции (мы не будем этого лелать). — )л Отметим, что, в отличие от колебаний осцилляторов с линейной связью (задача 6.8), в данном случае от начальных Рис, 149 амплитуд и фаз зависит не только глубина биений, но и период. Эта задача имеет отношение. например, к связи продольных и изгибных колебаний молекулы СОг (так называемый резонанс Ферми, см. [21]) и к удвоению и делению частоты света в нелинейной оптике (см. [22)). 256 (а. 13 Ониеты и решения а еэ (б 10 шед. СТСЭ)э,т 10 Ят г,а 10 з см,ш 10'е сек типичные для атомов, то получим 11яЕЕ 10 'Я эрг.
сме/ял, что по порядку величины близко к правильному значению щи ван-дер-ваальсова взаимодействия. Такой результат может служить указанием на физическую природу этою взаимодействия. Полный жс расчет ван-дср-ваальсовых снл возможен лишь в квантовой механике. 8.13. Движение вдоль оси - почти равномерное, я =- тн. В плоскости (л, у) па частицу действует быстро осциллирующая сила Те = 2Акэ1пЬ:1, )и —— 2Лргйп1яИ,. Соответствующий эффектный потенциал 1Г,ЕЕ =-;" (кз+ра), дсП=" -. Согласно условию часюта колебаний силы 1чя » П, так что сюяа действительно быстро осциллирующая.
Итак, в плоскости (ж., р) частица совершает гармонические колебания с частотой й около оси ж Эта задача иллюстрирует принцип жесткой фокусировки пучков частиц в ускорителях. 8.14. Уравнения движения с'у~(ж)ц' ту' =. — еж(ж)т, Ищем закон движения в виде где слагаемые '„и описывают быстрое движение по почти круговой орбите, а Х, 1' — медленное смешение ее центра (сравните с (1), ~ 30).
Подставляя (1) в уравнения движения, разлагаем М'(Х -; е) по степеням б: Х+5 Л1' шя1+,, С(У+и), е дЖ т'+ я) — — — шХ вЂ” шс — —,,' б(Х + б) е дМ' щс д и разделяем быстро осциллируюшие и мешзенно меняющиеся слагаемые. Для осциллнрующих слагаемых б = ил1, 1) = — ше ш = —,'ягМ'(Х).
откуда е =- гсовш1, г1.= --я гйп~Л. 257 зз 8. Нелинейные колебания Для медленно меняющихся членов имеем Х =-Г+ й'." Ю, (2) где (Я = — гаи2(гоьд Л2) 2 ' (С,) = О. Поскольку Х, У а ~Х, ьЛ', ю левые части (2) можно положить равными нулю. Итак, = — ео, Х= О. 2222с дх 2 (Скорость смещения центра орбиты (скорость дрейфа) в более общем слу- чае рассмотрена в [2), задача 3 к з 22 и (8], з 25.) 8Л5. Уравнение движения шарлка Собственное движение шарика под действием пружинки описывается книз- кочастотнымл смещением х = У вЂ” Уо сов ";1, длЯ котоРого юг(х + ио сов 71) гпх =— Усредняя по периоду 2л,2 2 высокочастотного движения (соа "+~ 72) =.
О, (соэз 71) =. —, (сов~ 7г) —.- — ), ( 2и-~-1 2 1, 4 3 ) 2' 8/' получим эффективную силу и соответствующую эффективную потенциаль- ную энерз.ию ( ) (хз, ~хи ~ С+ 9Пдл о График функции (2,ЕЕ(х) изобрюкен на рис. 150. Отяешм я решения При Л ) О, или Т = ус ) Т, = 4С/ОВ шарик колеблется вблизи точки т = О с частотой ~ = т/2А/пэ гх „/Т вЂ” Т, При 4 < О, или Т < Т,, минимумы Х/,44(ж) расположены в точках ало —. =,,/ — А/2В и шарик колеблется вблизи одного из них с частотой ш =, /-Л/т гх,~ Т, — Т.
Возникающая картина весьма близка к картине фазовых переходов второго рода, описываемых феноменологической теорией Ландау [23). Быстрые вынужденные колебания являются аналогом тегщового движения [соответствующего оптическим модам колебаний системы, цс связанным с переходом), а величина Т = ро — аналог температуры. При больших Т система колеблется вокруг положения равновесия х = О.
При этом имеется симметрия относительно замены л — — аз При уменьшении температуры до значения Т < Т, шарик начинает колебаться вокруг одного из новых положений равновесия: жо или -.то. При этом симметрия л — ~ — ж, очевидно, разрушается. Значение Т, — анапа~ температуры фазового перехода второго рода. В окрестности точки Т =. Т, величина .то мала, жо гх,/Т, — 'Г, и мала частота собственных колебании ш.
й 9. Движение твердого тели. Неинерциильные системы отсчета 9.1. а) 2аз [та + ЛХ) 2аа[ т — ЛХ) О 2аа[т — ЛХ) 2аз[га —: ЛХ) О О О 4аа[т -'; ЛХ) б) с йазт О О О 4азЛХ О О О 4аз[т+ ЛХ) 9.2. Для обеих фигур одной из главных осей является ось, перпендикулярная к гпоскости рисунка и проходящая через центр инерции фигуры [ось г). Главная ось л повернута на угол д к стороне Гух' каждой из фигур. Плавная ось р перпендикулярна к оси х. Обе эти оси проходят через центр тяжести фигур.
9,3] Ь 9. Движение твердого сиене. !!еинернтп~ ные сисе~азии отснеено 259 а) Координаты центра в осях О'х'у' (х' = Ь, у' = а): 1еи = 2(а + Ьа)(ЬХ + т), 1„и = (аа — , 'Ь )(ЛХ 4 т) ~ (Ьз — сР)з(М -~ т)з -, '4ааЬЯ(М вЂ”. т)з 1„= (аз+ Ьз)(31+ т) + (ЬЯ вЂ” сР)Я(31+ т!Я т 4аЯЬЯ(31 — та)з, 2а6(31 — зл) при а >< Ь, ~р = — тас13 (а~ — 6 )(Л!+ т) б) В осях О'хУу'е' (рис.
151) координаты центра масс О; х' —.. у' —.. а, е' .—.- О. В системе координат Охнуи-и с осями, параллельными осям х'у'е', тензор инерции 3 1 О 1ц', —— 4та 1 1 О О О 4 При переходе к системе Оху-, повернутой на угол ,о вокруг ео, координаты преобразуются следующим 0' ооразом; о, о,о, и Рис. ! 51 х = х сезар — , 'у я1пд у = —.х я1п~р+ у саяр, н а компоненты тензора инерции — как произведения координат: 1 ..: 1",, соя~9о+ 21," яшносоя9о+ 1„"„яш 9с —... = 4таа(3сояз со+ я1п2р+ я1п ~р), 1ии — — 4лза~(соя ~р — яш2~р+Зя1п р), 1е, = 1бта,з, 1,„= 4т,ая( — яш 2~р + соя 29о), 1., — Хгм —... О.
Угол 9о выбираем так, чтобы выполнялось условие 1,„= О, например, 9о = х,!8. Тогда 1 = 4та~(2+ ъ'2), 1 = 4та~(2 — тХ2). 9.3. 1„=- ~~ Х,ногая 260 Отяетн и решения я г)гз 9.4. Центр масс: точка на оси симметрии на расстоянии Л вЂ” г от центра шара влево. Тело — симметрический волчок. Относительно оси симметрии 1з;;. ~ — (Лз — гз); относительно перпендикулярных осей, '" Лз „зг проходящих через центр масс, (Л вЂ” г) Я гз Лз 9.5. В,ь — -- (2,1„„)е,ь — 31,н 1см.
12),299). 9.6. Центр масс расположен на оси полушара на расстоянии — 'Л от 3 8 центра шара (Л -- радиус шара). Момент инерции относительно любой из осей, перпендикулярных к оси симметрии (гп — масса полушара) При колебаниях центр масс может двигаться только по вертикали. Пусть ~р — угол ново)юта полупшра, з — высота цоптра масс пад плоскостью, з = 3 я = Л вЂ” — Лсоз1е. ФУпютиЯ ЛагРанжа системы 1. = —,!неа+ — гийз — пздв, пРи 1 8 2 2 малых:р имеем А = г1р — — гндЛ" . Отсюда частотамалых колебании 1 з 3 2 16 )120 д 'у' 83 Л 9.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
