Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Очевидно, скорость шарика после столкновения ч может быть направлена только вдоль или против Ъ', т. е.ч =- о зг,ге'. Скорость гантельки после удара и направлена вдоль Ъ', ее угловая скорость ш. Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса (относительно центра гантельюз): гп)г = тс ' 2пти, — пз)г = — япо + гпи + г1ш, 1 з 1,2 2 1, а 2 2 2 пЬ'г = пзнг з- 1ш где пз — масса шарика, г — его радиус, 1 —. — пм- — момент инерции И, д 5 гантельки.
9,9) 89. Движение твердого теда. Неинерчиачвные системы отсчета 261 Отсюда 1 7,, 5)н ъ =- — —,Ъ', и = — А', 13 ' 13 ' 13 " 9.8. В настоящее время расстояния от центра инерции системы Земля — Луна до Земли и Луны равны )1 и )7 соответственно, а 7п и ЛХ -~- го ЛХ -Ь нз момент импульса системы ш( ) йд-ЛХ( "' ' ) йд+1йз.— — Л1д-, '1йз, ЛХщ ЛХЛ гп где йд и йз — угловые скорости вращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг собственной оси 1йз/йд = 28). При записи (1) мы считали Луну материальной точкой, а у Земли учитывали вращение вокруг центра инерции и вокруг собственной оси (с момеггюм инерции 1 = — ЛХаз). В момент, когда сутки сравняются с месяцем, угловая скорость вращения Земли ш совпадает с угловой скоростью Луны, расстояние от Зеьши до Луны 1по третьему закону Кеплера) станет равнсам Хс(йд,Но)зХз, а момент импульса (2) Из (1) и (2) найдем уравнение для к = 'в; Йз' )„)з Лз йл (3) Уравнение (3), или х(4,8 — т)з .—..
2.,01, имеет два действительных корня: ив -- 1Х55 и из - -1. Первый из них отвечает будущему, второй — прошлому. Соответственно в первом случае месяц станет равным 55 современным суткам, во вюром — был равен б часам. Расстояние от Земли до Луны станет равным 1,6)Х, а было — 2,бо. (О более реалистических, чем рассмотренная, моделях эволюции системы Земля-Луна см., например, 124), гл. 2.) 2 5 9.9. а) Тело вращается с угловои скоросгью =ш; в тепло псрешло — ' 7 7 начальной кинетической энергии. 2б2 (9.9 Ответы и решения б) Линия центров вращается с угловой скоростью — ш вокруг направ- 99 7 пения момен~а Л7, составляющего с ней угол 45', при этом тело вращается вокруг лицни центров с угловои скоростью — ш.
В тепло перешло — ' па5 19 14 28 чальной кинетической энергии. з 9.10а. 71 з = т(у:с г' ). 9.10б. Удобно воспользоваться подвижной системой координат с началом в точке А и осями кп кз, кз, еьзраллельными ребрам АВ = а, Ао = Ь, АА' = с параллелепипела. В этой системе угловая скорость й = = Йп, где и = 171, 1 = (и., Ь, с), а момент импульса параллелепипеда М = (7зПы 7з%, 2зПз), где 71 = — т(Ь + сз), ! = — т(о -ь е ), !з = — т,(оз -ь Ьз) 3 3 ' 3 — его главные моменты инерции. Вектор М неподвижен относительно системы Отптзаз, т.е. в лабораторной системе вращается с угловой скоростью й, так что М =- !йМ).
Пусть силы, действующие на параллелепипед в точках А и С', равны — Г и Г (силы тязкеспэ мы не учитынаем). Момент этих сил К = !1Г). Уравнение движения М = К приводит к равенству 11[пМ/ .—... !(пГ), позволяющему определить бг — составляющую силы Г, перпендикулярную вектору п: - — Мэ = — (М вЂ”. п(Мп)) = П П ! ! — йтй (из+ Ьт — се) (а Ь с) — йтП (нз Ьз сз) 31~ 3!з Составляющая силы Т, параллельная диагонали АС', не может быть найдена в модели, рассматривающей параллелепипед (и шарниргн) как недеформируемое твердое тело, Легко видеть, что прилагая к параллелепипеду в точках А и С' силы Хп и — Хп, мы не повлияем на его движение. Таким образом, силы, приложенные к шарнирам А и С', равны Г и -Т, б 27пй ( 3 !3 3)+ !,и( 3!з 9.121 $ 9.
Движение твердого тела. Неинерчаичвные системы отсчета 263 где 1ч' — неопределимая величина. (Мы ввели гУ' = гч' — 'а, (а~, 6~, с~)). * 1в В лабораторной системе вектор Хт вращается с угловой скоростью Й. 9.11. Момент инерции эллипсоида (см.
(1), 9 32, задача 2е) относи- тельно оси вращения 12 = — а; относительно любой перпендикулярной 2Л1 2, 5 ' Л1(аг 1- сг) сй оси, проходящей через центр масс, 11 = , (Л1 — масса эллип- соила). Налетаюгцая частица массы т « Л1 передает эллипсоиду импульс р = (р„,ра.ре) = шн(0, — 1, О) н момент импульса М = шн(ры О, — рз), В системе, двиясущейся со скоростью, найдем (см. (1), 9 33), ЛХ вЂ” , 'ш' по эллипсоид будет вращаться вокруг полуоси с с угловой скоростью Йз = Л1.
-Лвнарг — — ,, одновременно прецессируя вокруг направления М с 12 2ЛХа угловои скоростью М) 5шн~Я -с рз Й= 12 Л1(аз ч- сз) 9Л2. Обозначим угловую скорость вращения диска вокруг его оси 6, угол между эюй осью и направлением на север чя угловая скорость диска в инерциальной системе со = Й вЂ” 95 -Ь ч)г, ее проекции: на ось диска щз = — ф р Й соз о соа р, на вертикаль аг1 =- р -с Й вш сп на пврнзонтальную ось, пеРпендикУлЯРнУю оси лиска, щч .—.. Й саво алт Зо. ФУнкциЯ ЛагРанжа Равна кинетической энергии (учтем, что 1з =- 12): 1 = г12(р -'- Йзшн) 1- — 12Й соз стзш р т — 1зф 5 Йсозсгсозф . 1, 2 1 2 2 . 2 1 ч 2 2 2 Исследовать движение удобно, используя интегралы движения р,~, и Е = ре,ь' + р чо - 1: рч = 12(Ф+ Йсочсгсочзс) Е =- — 1з(~р - Й' вш н) — — 1зЙ соз о ып Зо-,— 1 .2 2 2 1 2 л 2 2 -1- — 12(З1 — Й сов осев Зо). 1;2 .2 2 Исключив 95 находим Е = — 1зф; Ю,рр,(~) -~ сопч1, 1 ° 2 2 гле (г ~г(р) —..
— рнйсозсесовсо+ — 11Йг совзсссовзэо. 264 РОЗ Овеетн и решения Ограничимся случаем 6 )) Й. Тогда ри = 1зу), ХХ,ЭЕ(гг) = — )ге Й сова соз ег. Функция 11,9е,(гг) имеет минимум прн:р = 0 (т. е, в направлении на север). Ось гирокомпаса колеблется около этого направления. Для малых колебаний 11,ЕЕ(р) = — 1здЙ совы р + сопзг 1;,, г и частота колебаний оси равна — Й~созсо Например, для гироскопа, 1з 11 делающего около 10 тысяч оборотов в минуту, период колебаний приблизительно полминуты 1для — ' сова 1). 1з 1г Каким образом можно учесть момент инерции рамки? 9.13.
Удобно использовать подвижную систему координат с осью ж, проходящей через точку касания диска с поверхностью стола. В этой системе где М вЂ” момент импульса волчка относительно неподвижной точки О, К— момент действующих па него сил (с)х 11], б 36). Проекция (1) на ось х И. — рЛХя = К.. Очевидно, ЛХ, .== 0„11, = О, так что ЛХ = сопя~,. Пусть 1~ = 1г ~ 1з -- главные моменты инерции волчка относительно точки О. В начальный момент ЛХ вЂ”.... Й1з, ЛХ, .—...
Й1зсовд. Когда проскальзывание прекратится, ось т станет мгновенной осью вращения, т. е. угловая скорость волчка ее будет направлена вдоль оси т, а ЛХе = = 1з гговгд+ 1зшзтгд. Таким образом, Й1з соз О 1з созг О + 1г гйпг О Отметим, что после прекращения проскальзывания сн =- — ш1я О. 9.!5) 99. Движение твердого тела. Неинерчиачьные системы отсчета 265 т т(Лз с 1гзгзз+ Лзфзз1пзе) с 2 + — (х зш 0+1)-) + — (рссовВ+ ьр), 11 ° 2 2 '3, 13, °... 5 2 2 2 2гп где 1з .—.- 1з =- '=(из 1- сз) и 1з =. с „'"вг — моменты инерции эллнпсоида 5 5 опюсительно осей хы тг, тз.
Предложенная потенциальная энергия взаимодействия эллипсонда с кулоновским центром может быть преобразована к виду .1тлМ .15)У 3 сов~ ст — 1 Я 4 Яз (2) где )3 —.=. 2(1~ — 1з), а сс — угол между радиусом-вектором П и осью хз. Единичный вектор ее„задающий направление оси, имеет компоненты е„= (з1пдвшсо, — зшй сов:р, сов о). Отсюда В.е в созсч =- ' —... соз1)созН+з1поз1пОзш(р — Ф).
В (3) Из (1), (2) и (3) получается окончательное выражение для функции Лагран- жа А = Т вЂ” У. 9.15. Рассмотрим вначале влияние только Солнца, Начало системы координат совместим с Солнцем, ось Хз (см. обозначения предыдущей задачи) направим перпендикулярно к плоскости орбиты Земли, ось хз — на север. Можно ожидать, что угловая скорость прецессии земной оси р мала ло сравнению со скоростями суточного еч и годичного Ф вращения Земли.
Поэтому в функции Лагранжа сохраним лишь члены первого порядка по 9о. Кроме того, положим постояшгыми величины Л, О = л)2 и Ф, причем 2т Я~ — = 2л = 1 год, 1()'.ги 9.14. Пусть и = 6 ф с — полуоси эллипсоида, В, О, Ф вЂ” сферические координаты пентра иперпин эллипсоида, О, Зг, ф — эйлеровы углы, причем ось хз движущейся системы направлена вдоль полуоси с.
Кинетическая энергия тела (см. (1), 435) [9, [б Овеетм и решения и усредним созз ге за год: [сов~ се) = [1/'2) вшз О. После этого 3ЗЛХт[аз — сз) Х = — 1здз+ — Хз[~~+20янсозО) -- зш О, 2 2 20Лз Изсохраненияре, = Хзф~фсозд) ир„, — -- 1у[созО следует что 6 и О = 23' сохраняются [с точностью до величин порядка 1«').
Уравнения движения по углу 0 3 /ЛХгц[а -- сз) 110 д 13~ ~/81пО р айп0 сов д = 0 10113 с учетом того, что 0 О- рз, даст 3 /ЛХ а- -- сз з сов 0 4йзв аз а'-с' 2(а-с) Подстащия соотношение(1) и, = ', получим ш = —.— —, совО = --16 в год. 3а — сФ н 2 Скорость прецессии, вызываемой Луной, получается из (2) заменой массы Солнца ЛХ на массу Луны и 11 — расстоянием от Земли до Луны и оказывается равной — 31н в год.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
