Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Примерный вид траекторий изображен на рнс. 156, случаям а — д соответствуют уменьшающиеся значения энергии. а) р» 1l г) Е=С'„ б) д) Е«С/ Рис. 156 При больших энергиях Е >) Гн, = рз/2т размах колебаний по оси х "' д велик и среднее за период значение (х-) больше хоз. Поэтому среднее значение ())) = р~~(хо (х )) отрицательно (см. рис. 156, а).
При уменьшении энергии (д) возрастает до нуля (рис, 156,6), а затем становигся положительным (рнс. 156,е). При энергии Е =- Г частица, имеющая в начальный момент х ) хо и х < О, аснмптотически прнблизкается к оси р (рнс. !56,г). Наконец, при Е < Уи, частица движется либо в области вблизи ( — хо), либо в области вблизи хо (рис. 156, д).
Можно показать, чю (у) при эюм больше нутж При 'х — хо~ << хо частица движется по окружности, центр которой медленно дрейфует вдоль [1 1О. Уравнения Гаяияътона. Скобки Пуассона 1().9] осн у. Чтобы найти скорость дрейфа, необходимо при вычислении [хз) учитывать первые апгармоническне поправки аз х = хо+ асов 1 — (3 — сов2ю1), 4хо что дает 2Л (ср. с задачей 8.14). и. 2 2с 2с ЛХ.=- т1 — , 'еп, где (т — приведенная масса).
Последнее слагаемое в (1) перепишем в виде е [М'щг =- с [М'г1Й. —, — е ,'[М'к;:г. 2с 2с ' ' й 2с' Отбрасывая полную производную по времени, имеем Ь = —,Й, + —,[Мг,'Й.—:Ь1[~, г). ЛХ з с; Эта функция Лагранжа не зависит явно от В„поэтому сохраняется обоб- щенный импульс Р = ~ =- ЛХЙ.+ е~Жг) = сопва. эВ ' с[ (2) Функция Гамильтона системы имеет вид 10.9. Введя координаты центра масс В. н относительного движения г (ср, с задачами 2.25 и 2.26), представляем функцию Лагранжа в виде Ов!вета! и решения *э 'э Ьг е-+ 1 (Р е[Мг]) Если направить ось а по Ж, то — —,— пзш,:(д — а) + (и — Ь) ] ж сопси т е 1, з; , з з з. е,у!, гР сРв а — — „*, Ь=- с~тзтГд юз ' ееУб' ' еЖ После нахождения гф закон движения центра масс определяется из урав- нения (2) ве ) .[~! аз~ 0 РЬ е ЬТ Л~с !. Ххо 10.10.
р = ро+ ест, е(р) — е8г = ео. (г — го)е8 = (ро+ азот) — е(р„). Здесь го ро н ео — постоянные. 10.11. р =- ей' —, ~ ~[мЯ~.! 10.12. а) е(р) = Е, рэг — — сопвС, где р, — проекция импульса па направление магнитного позтя,яаз. Траектория в импульсном пространстве определяется линией пересечения двух поверхностей; е(р) = Е и р г —— = сопвГ. б) Из уравнения движения р = е ]г йс,! видно, что проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю М', получается из траектории в импульсном пространстве поворотом па угол н!!2 вокруг М' и изменением масштаба в раз. е,ле' ' Подробнее о движении электронов в металле (задачи ! 0.9 — ! О.
! 3) ем., например, ! !8), [25), $ 4. Отсюда с учетом (2) видно, что частица массы гп движется в однородном магнитном поле Ж' и в силовом поле с потенциальной энергией 289 !0.171 1 !О. Уравненнл Гатстьоона. Скобле Пуассоне 10.13. др /' ~Е~ др дЯ Е„„„ д" где ъ ! — ортогональная к Зк' составляющая вектора —, др' 10.14. а) — у е., яхь' — ~е, ьрь, — ~ еоьМь. б) аЪ, (аМ, Ъг) ..—. (~~ а,М, ~ ~Ьтху) —.. ~~~ снбу(йт„хт) =- и у м = — 'р атЬ е, лхь = — (аЪ;'г, — !аЪ|м. в) О, пггьн '-, 2а (аг).
10.15. (А„Ат) = — ~~~ ебьАю (А„Ае) = О, здесь т', 7, Ь принимают значения 1, 2, 3 (ср, с задачей 10. 14 а). 10.16. (ЛХт, Луь) =- --~ е,,т!Л!ь -- Г е,ыЛтю ттЛ,н, Л,!) =- боМсь+ бщМО -Р бу!Моя + быЫо, где Мы = рьх! — Рзхь 10.17. При повороте системы как целого на бесконечно малый угол е вокруг осн изменение бх любой функции координат н импульсов в первом порядке по е равно бр = 'Р(х г Ь У+ ел' - Ре ерл~ Рч+ ере, Рв) — тт(х~ тб - Ре Рн; Рв) ==( дьо дьо дсо дсо — — Р+ —. —, Рн+ .
Ре) — еМ, Р) дх др дре н др, 'е, Ь вЂ” полностью внтнснмьтетрнчный тентор, етгв = евзт = езм = 1, етзв = еззт = емз остельные компоненты е, ~„. равны нулЮ. 290 Овееты и решения )10,1а (ЛХ, Я = — Хи или (ЛХе, Х) = ]пГ] (ср. )1), 4 42, задачи 3,4). Чему равны скобки Пуассона (ЛХ„Х'„), где 7;,— компонента тензорной функции? 10.18. ]т, аМ] = [т", а], (тМ, 1М) = ]Г1]М '- 2 ЛХ,ЛХн(Х„)в). 10.19. !1олагая во второй формуле предыдущей задачи Х вЂ”... ес и 1 = ее, где ес и ее — орты осей ~ и ~ в подвижной системе координат, получим (Л1,, ЛХе) =+Л1,. (1) Эю равенство отличается знаком правой части от аналог ичного соотноше- ния для проекций момента на оси неподвижной системы координат (ЛХ„ЛХ,) -- — ЛХ„.
(2) дМ,= — еМ„ а) оМе =+еМн б) Рис. 157 Как было показано в задаче 10.17 (см. также [4), 9 8.7), скобки Пуассона (2) характеризуют изменение компоненты ЛХе при повороте системы как целого на бесконечно малый угол е (рис. 157,а) бЛХ, — — е(ЛХе, ЛХ,) = екЛХи. Скобки Пуассона (1), равные (е-М, ееМ) =- (ЛХсее)М, Если се — скаляр, то его изменение при повороте равно нулю.
Поэтому (у, ЛХе) = О. Если д = Х, — компонента векторной функции, то ее изме- нение при повороте ЛХ = — еХи, значит', 291 10.21) Ь 1О. Уравнения Гатаьтона. Скобки Пуассона характеризуют изменение проекции неподвижного вектора М на ось ев прн бесконечно малом повороте подвижной системы координат вокруг оси ~ 1рис. 157,б; на рисунке оси ~, г), ~ совпадают до поворота с осями т, р, ). 10.20. ЛХ = 2 е В.,(Х ~)твЛХрЛХы в частности, если выбрать подти движиую систему так, чтобы тензор инерции Хав был диагонален, получим уравнения Эйлера 1см. 11), а 36 с учетом соотношения ЛХ„= Х 11„).
10.21. Уравнения движения ЛХ, =1ХХ, М,) = эе, ьЛХэ,Угы ю~и М = —;1.ес'М), т. е. вектор М вращается с угловой скоростью — чЗГ. а) Вектор М прсцсссируст вокруг направления .ек' М, —... ЛХ, (О) сов.1,Фоб Л ЛХ 10) вш ",иУХсС, М., = — М Я в)пЗиУХв1+ М., 1О) совз.УХо1, М, =- ЛХ,<О). б) Вектор М вращается с угловой скоростью — )чЖ, которая в свою очередь вращается вокруг оси = с угловой скоростью ии Удобно воспользоваться вращающейся системой отсчета, в которой вектор ек' неподвижен. В этой системе компоненты угловой скорости вектора М равны ш, =- "-э,УГм ю„.=- О, ~, = —.чик~~ -- иэ =" 11ри заданном начальном условии компоненты М во вращающейся системе ЛХ~ = — с~ — Мо)1 — сов М), ЛХ„' = аЛХо гйп Л1, у з ЛХ' = ~= — , 'а сов Л1) ЛХо, 1 Ля ,*л=,/Р+ЕЯ,', =~ее/,~ чеЕФ,'.
В неподвижной системе М = М' сов~А — ЛХ„'в)п~Л, ЛХи —.. М'. вшшт -1- ЛХ„' совиХ, ЛХ„= ЛХ,. 110.22 Овееты и решения При Ж~ << еео зависимость амплитуд М и от ш носит резонансный характер: вообще говоря, зтн амплитуды малы ХеХо,зХ) 1'Жо, но при ~к~ = ~щ+ РЖо < "РЖ~ они резко возрастают; достигая значений Мо. В частности, при ш = =~УХе ЛХ = — йХо а)п у,Уп1ашйУХоХ, Мя —. Х1Хо а1пз ЖгХ сов п ууо1, ЛХ =' Ми со51жък 10.22. Хщ, о.) = — е, 2,е,еьУеь те ь 10.23.
а) р(1) =р-"-ггн гф =г+ — „, -е —; Ре г1 б) Р11) =РсоаиеХ вЂ” тин)вйтшХ, Р 4Я = еХсовиЛ вЂ” , 'апшй Разумеется, зти величины проще вычислить, не используя скобок Пуассона. Но предложенный метод легко может быть перенесен в квантовую механику 1см. 12б), й 34). 10.25. а) Согласно предыдущей задаче 'Х хХХ Х) аНхХ Х) .. 0 б) Функция Гамильтона где .Х10 Ре; Ре) =Ре — ' +2тасоь" О. Ре а)п 0 Интегралы движения: Е, р. и, согласно предыдущему, Х. 293 1! 1.
Канона 1еекие н22еобраеоеанкн 11.3) з (А: А ) = — ",„„~~',в„йМй., й=1 з (А„М,) .—... — ~ ~еойАй; 10.26. а) з 3 (Л1„31:) == — ~ ~в,ейа1й. (Л2о Л22) = — ~еойузй, й:-. 1 й:-1 2 тет- 4(Л', + Л,') ' й 11. Канонические преобразования 11.1. а) /2Р 12 = ~ гна айпери, р= Йт~Рсехзй2, Р = — Р— сов 2Я. йГ = ш + —, в1п 2Ц, О1 2,,1 В данном случае Р и Я вЂ” персменныс действие-угол. Эти персменныс удобнее, чем р и 11 для решения задачи методом теории возмущений, если частота и2 меняется медленно; Д « ыз (см, задачу 13.10).
Я = 2 + )) 1п, вшЯ, р = Г2пш~Рсовг2, Я =- и -й Р. сов ф Р =- РъГ2то~Р вш )1 2Р 11.2. й(р, Я) .— -- --Я(! + 1п — ). 11.3. Функция Ф1щ, д2,..., е)„Р1, Р2, ..., Р,) определяет каноническое преобразование, если е1ей, ф О. д Ф Векторы Л1 и Л 2 — независимые интегралы движения.
Каждый из них имеет такие же скобки Пуассона для своих компонент, как и обычный момент импульса. Наличие двух таких амоментов» тесно связано с так называемой «скрытой симметрией» атома водорода (см. )27), гл. 1, а 5). 294 П 1.4 Овеетм и решения 11.4. Пусть Я = цсово — рашо, Р = 9вшо + рсовсь Тогда 1Р ае]жа = 1ч: р]ржгйп о+ (р, 9)лесов ет = 1. Для системы с одной степенью свободы щего достаючно, чтобы преобразование было каноническим. 11.5.
Нетрудно сообразить (и это подтверждается последующими вычислениями), что каноническое преобразование должно быть близко к тождественному и члены ихзР и бРз в производящей функции малы. Чтобы разрешить соотношения р = Р+ 2акР аз = т —: о..Р + ЗЬРя определяющие каноническое преобразование, относительно т и р, заменяем в малых членах ж на Я и р на Р: р .—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
