Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Р т 2аЯР, л .—. а„— Щ~ — ОБР . Подобным же образом поступаем, выражая функцию Гамильтона в новых переменных: Н'Я, Р) .=- — -ь -~- паз+ ЯР— , '2аС~Р— иа~~Яз— 2 2 — 'ЬЫ ЯР + члены четвертой степени по Я, Р. Полагало -ашз =- 0,)3 ь2о-Зб~з = О,обратимвнульичленытретьей степени. Таким образом, в указанном в условии задачи приближении аЗ = = А сов ае1„Р = — шА вш аэ1 и согласно (1) ж = А сов е1 — ош "з Аз — ( 3 + -~ ош з)Аз вш" ал (ср [1], 4 28) 11.6.
Приведя функцию Гамильтона к виду, рассмотренному в задаче 10.4, получаем т = аэ —,Я' — — — 'еЯР', где г,) = Асовае1, Р = бб ОВ "ыа "ыо = — шоАв|паэ1, а~ — що -~- — Ав (ср. ~1], 428). 2ыа 11.7. Н'~Р, ф = Н~Р, Я). При Х =- А в]щал'+;о), У .— - Π— осциллятор совершает движение по эллипсу т = Асовй в1г1( 1+ р), у =- А вш Л сов( ее+ аа). 295 11.8] 1 11. Канонические преобразования 11.8. Для того чтобы сделать запись менее громоздкой, удобно временно положить т = ог = е = с = 1. В окончательных вырюкениях эти множители легко будет восстановить. Преобразование задачи (11.7) представлает собой повоРот в плоскости 2:Рн и УР ,поэтомУ оно сохРанЯет виД части функции Гамилщона, равной фт' -' У'+ Р'.
+ 12"„) Добавка же, возникающая от членов — Ж к — ахун, равна 1 .г г — Жг(Х совг Л+ Р~к ял Л+ 2ХРк яп Л сон Л) + 2 —,ес'(Хг — Р~~ ) ял Л соа Л вЂ” Уе" (сонг Л вЂ” в1лг Л)ХРк. Недиагональный член ХРк исчезнет, если положить яп Л вЂ” сов Л+ ас'ял Л сов Л = О, т. е. 1я 2Л = —. г д . 2 ,ес" После несложных преобразований функция Гамильтона приводится к виду Н вЂ”... — "(Рг Ргс1й'Л) ~ " (Хг1агЛ+У'). Таким образом, переменныс Х, У испытывают гармонические колебания с частотами, равными соответственно ,е(.ее)н .ее г — 1ял — ( ' —.( ) + (ср.
[2), й 21, задача), Каждой из координат Х, У соответствует движение по эллипсу; про2тзвольное колебание — суперпозиция двух таких движений (ср. задачи б36, 11.7). Интересно, по при ог,' — ч О оказывается Л =- л/4 (а отнюдь не Л вЂ” -- О), Это значит, что даже при очень слабом поле Ж «нормальными» оказываются колебания, «поляризованные по кругу». Колебания жс, отвечающие координатам Х(У) при Л = О, которые в отсутствие поля Ж были бы 296 Оеееты и решения линейными, при наличии поля уг' медленно изменяют направление поляризации. Если магнитное поле переменное, то к функции Гамильтона (1) следует добавить частную производную по времени производящей функции РхРг хРх + рРг Ф.=- --тшкдсС Л вЂ”.
СЕЛ+ соя Л (выразив се через Х, 1; Рх, Рк) (см. также сноску к решению зада- чи 13.25). 11.9. Полагая в каноническом преобразовании предыдущей задачи 2шжшя ' =- шъ гя 2Л =,, получим ~ее + 1" 1 — ' '2 = —,Рхя+ — Рг+Р'., + — (П1Х вЂ”:шз)' +шзл ); где й1 д определены в задаче б.3б. 11.10. Преобразование (Л = я/4) сохраняет внд функции Гамильтона 1ср. с задачей 11.7) 2 и 2 2 Л1 2 Р2 Р2 е„1 л РО, Х 1 Хе+ 1е ' тще 2 2) 2Л1 ' Г' ~ 27я 2 ( е е))' е=1 Колебание, соответствующее Х, — — А сов(и1,1 -~ ~9), есть т„= — Вйт(1це1+ П:Р, + О).
А 112 а соответствующее Уя = В сов(ие,,1+ 13) "- есть колебание т„.=- — а1п( — ш,1 —,е и р, — В) . В 172 112 3) б! 1. Канани ~еекие нреобразоаанин 11.!1. Повая функция Гамильтона Н' = юРп Уравнения движения в новых переменных имеют вид Рз = Р = Яз = О, 1)з = ю.
Как изменится вид функции Гамильтона Н', если М зависит от времени'? 11.12. Предложенное преобразование р = оР, г = Я/ет естс преобразование подобия. 11.13. Градиентное преобразованиеА = А.!-'й1(г. 1),;р' =-,о — —,—, 1 де е дб мозкно представить как каноническое преобразование г' =- г, Р' —.- Р " е'и' г", д( Н' = Н вЂ” е —, с помощью производящей функции е д1 Ф(г, Р) = гР— ~~(г. 1). !1.14. Ф(ро Р) = ЧР— ЙЧ 1) 11.15.
б) Г4Ч~ Ю вЂ” 2 (Ч вЂ” е2) ' 2т(Ч вЂ” "') ' в) р (Ч ® = ™ы 12ЧЯ вЂ” (Чз+ Я ) созют), 11.16. а) ьЕ = г —, ба, Р = р — сдвиг системы как целого на ба (или сдвиг системы координат на — ба). б) С точностью до бесконечно малых первого порядка включительно О = г + (йр, г), Р = р — ' (йр, р). Преобразование представляет собой поворот системы координат на угол -б~р. в) Я(1) = е1(1 -' бт), Р(1) = р(1, + бт), Н'(Р, Я, 1) = Н (р, е1, 1 .+ бт1.
Преобразование представляет собой сдвиг во времени на бт (ср, [1), з 45). г) С! = г + 2р ба, Р = р — 2г ба Преобразование представляет собой поворот на угол 2 бы в каждой паре плоскостей злр, (! = 1, 2, 3) в фазовом пространстве. 11.18. а) Ф(г, Р) = гР+ пРба -;- п(гР1бр, где ба — смещение вдоль направления п, а бее = — ба — угол поворота вокруг п (6 — шаг винта); 2кй б) Ф(г, Р, 1.) —. гР— Ъ'Р! + тпгУ; в) Ф(г, Р, 1) =- гР— 1 бГ1(гР).
(11.19 0|нееты и решения 11.!9. Ц(д, Р) = Л(И2, )з)рар В самом деле, подставляя значения новых переменных Р = р — Л и дИ' дд з„.) = д — , 'Л в ) (сез, Р) и разлагая полученное выражение по степеням Л, дР получим с точностью до первого порядка включительно г))' дИ1(д, р) 01 дИ"(д, р) бУ(д, р) = Л— дд др др дд 11.20. Полагая в предыдущей задаче Ф .=. гР + ЛгР, получим преобразование подобия с ет =- 1 + Л (см. задачу 11.12). Предложенная функция Гамильтона такова, что П'(Р, Щ = о,зН(Р, Се), и поэтому Л(П, гр) = = Х' —. Н =- 2ЛН(Л вЂ” О).
С другой стороны, (Н, гр) .=- — (гр). Отсюда с11 гр — 2Е1 = сопя| (ср. с задачей 4.13 б). 11.22. Пусть б|д и б|р' — изменения координат и импульсов, связанные с преобразованием, задаваемым Ф|. Тогда ~(д+ б|д, р+ Ь|р) = ((д, р) + Л|(И'|(д, р), ~(д, р)) + Лцзр|(д, р). (1) К каждому из слагаемых правой части (1) применим далее преобразование, задаваемое функцией Фз, г(д+ бз,д, р —, :б|пр) = Т' з Л2(И2, Д+ Л|(р|, ))+ (2) +Л|Л2(И'2: (И'1 2)) + Л,аез —, Л2222. Преобразование Л|р|(д, р) дает добавку выше второго порядка малости. Результат применения этих преобразований в обратном порядке ,Г(д+ б|зд, р+ б| зр) = 1" —: Л|(И;, Д+ Ла(И'аз Д+ (3) +Л|Л.(И|, (И;,,())+ Л|рз —: Лора отличается от (2) только членами второго порядка, пропорциональными Л|Л|.
Вычитая (3) нз (2), получим Л1Л2((И2: (И~1 з )) (И11; (И2 ° з и) — Л1Л2(з (И 1 И2)) ° ~ Укажем, например, изменение нмнуласа с то зззоюъиз ло второю иорвлка: зи,(ч, Р) м:,(Ф р) ада|из(д, р) этз(Ф р) б р = Р— р = --Л, ------'- -- = --Л, - --,--1-- -1 Л', дя дя дрдд дд 299 6 !1. Канонннеекие нреобравованнн 11.231 Поэтому, в частности, сдвиги ЛИ' = баР (см. задачу 11.16) перестановочиы, а повороты вокруг разных осей ЛИ' = бу1гР) — нет. Справедливо ли утверждение, обратное сформулированному в задаче? 11.23. Каноническое преобразование с переменным парамегром Л можно рассматривать как «движение», причем Л играет роль времени, а И'(9. р) — функция Гамильтона (ср. с задачей 11.16 в). Уравнения «движения» Ц дИ.(Г1, Р) Р ди~(1,), Р) в1Л дР ' дЛ дЯ Эти уравнения легко получить и формально из результата задачи 11.19.
а] Бесконечно матос изменение координат и импульсов при данном каноническом преобразовании имеет вид бг = — — (И; г) = — (Ма, г) = — 1п, г,'Жр. Л, Л ?У ' ?У бр = — 1п, р]бр, где М вЂ”... ~г, р', и =. а, б:р — —. — — о'. Это преобразование представляет собой поворот системы координат на угол бд вокруг направления и. Направив ось е по а, получаем окончательно Х = хсовео — рял:р, У =- р сов р -1 х а)п ео, 2' =-- и аналогичные формулы для компонент импульса. б) Бесконечно малое изменение координат н импульсов при каноническом преобразовании, задаваемом Ап имеет внд бх =" р, б~р. бр = --робах бре =- -хбр, брн — — рбр. где б р = —,.
Это преобразование представляет собой поворот на угол — , 'бд Л 2Ае в плоскости хр и на угол — бр в плоскости ур,. Поэтому Аналогично Аз1Аз) задает поворот на угол х( — р) в плоскостях хра и рр, (хр и р,р„) и Ав — поворот иа угол 4 р в плоскостях хр, н ррге Х = гсов р+р ял.р, Рх = — хвш:р+ р, сонд, 1е = йсоаее — реял:р, Рк = рви:р+рн сову. Н 1.24 Ответы и решения Отнюдь не любой поворот в фазовом пространстве является каноническим преобразованием.
Например, поворот в плоскости хри — не каноническое преобразование. Интересно сравнить движение двумерного изотропного гармонического осциштятора (функция 1'амилыона Н вЂ”.— гАО) и движение частицы 1 2 в плоскости тр в произвольном поле, обладающем осевой симметрией, Н(хз + РЯ), В обоих слУчаЯх интегРалами Явлаетса момент импУльса 2Аз, сохранение которого связано с инвариантностью системы по отношению к поворотам вокруг оси ж Для осциллятора, кроме того, есть интегралы движения Ао и Аз, сохранение которых связано со «скрытой» симметрией — инвариантностью функции Гамильтона относительно определенных поворотов в фазовом пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
