Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Уравнение Гани~маона-Якоби !2Л51 Рис. 173 Рис. 174 отделяются время и угол;о: 3 = — Еа+ рддр+ 5(г, ). (2) з о'(г, =) = оо(=) + гф(з) + — о(я) +... 2 Так как радиальный импульс р, .=- —,' =- ф(я) -1. га(з) + .. дЯ дг для частицы, летящей вдоль оси . (при г = О), равен нулю, то для рассматриваемого пучка частиц ф ) = О. Подставляя (3) в (1) и приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях г, получаем (ср. [2), 6 56, задача 2) я ро (я) —;о. —, —,Ф' (з) =-О.
4сз (6) Вне линзы (при!г~ ) а, .зе (я) = О) из (б) следует, что о(з) = = е+С, (7) при < — а, т( ) = при > а. Рассматривая далее только траектории, пересекающие ось е, положим р, †... О. Разделить переменные г и е в уравнении не удается, и мы будем искать интеграл его приближенно, в ниде разложения по г: 326 Отееэпвз и решения (12. )б Уравнения траекторий дЯ вЂ” р" .—.= Вз 2 дСтд 2(л+ Сед) 2 ра(а) . - ра( — а) -р / о.з да Ч- е о / я'2(я) дл = О, 4ся ~ (10) Поскольку;,ео т )) ат из (7), (8) получаем с (.са) = — „ (11) Оценим ( о.з с(е.
Согласно (6) о.(д) — монотонная функция. Поэтому — о а о азе « < ра(та). < 2арз з,о — о Таким образом, из (10) о — + — =;, Я' (2) сЬ = —. 1 1 ез ) 1 о~ е' 4сзрз / Х вЂ” о (12) Условие до з )> а деиствительно соолюдается, если а « е)э еЖ 12.16.
Все вычисления предыдущей задачи до формулы (6) включительно применимы и к этой задаче. Замена и =. ~'/р)' приводит (6) к виду 2 (1 э,а) г (,) + е'~~'- г ... 0 а затем замена 0Я) ясд = ткб, — — < б < — ", Дд) = 2 2' совб бн(6 —;)'б(~) =0, дает 'Ири -, близких к Сад, е оо, так что разложение (3) неприменимо. Однако уравнения траекторий (9) остаются справедливыми и в этой области. — уравнения прямых, пересекающих ось " в точках — Сзд, т. е, ло = — Сз, 1 т = — Ся.
Из (6) получаем 327 !33] 1 13. Айиайатииееиие инварианты где Л2 1 е Зг 4сз. 2р2' Отсюда гг = в1пс+ Лсов'с с1фЛГ+ о) и уравнение траекторий д5' ргзЛ совз ( 2 в1п21Л~ + ы) или г сов С вЂ”. В' вш(ЛС 1 и) . ПРи г = 0 оказываетсл ЛСа + о =- Яп, откУда о = — Л атс1Д(мво) и точки фокусировки аави = СК(аГССД агвс + — ' ) пит Л )' В зависимости от величины Л имеется одна или несколько точек фокуси- ровки. 12.! 7. лО1 Яо: 1 го) = 1М о(г1 4о 2 го): г) 1Чо оО2 йо; 2 ао) го) где )'(д, о, 2) — полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, а зависимость о(ц, Ем 1, во) определяется уравнением 1системой уравнений для случая многих степеней свободы) диац, си 1) дХ(О, о, 1о) до дев ~ 13. Адиабатические инварианты 13.1. Е21 = сопя.
Поясним полученный ответ. На колечко А действует сила К, определяемая натяжением нити Т. При малых углах огюгонения маятника са сила Г, =- гли;р, ги —. — гпрд 1 2 328 113.2 Он~веем и решении 1ось у направлена вертикально вверх, ось т в плоскости колебаний). Так как длина нити АВ = 1 изменяется медленно, можно усреднить силу по периоду колебаний р =;ро совоЛ, ог = х1дД, считая длину нити постоянной.
Получаем не = О Ея = тд1го. 1, г Р При смещении колечка на од = Ж энергия убывает на Еве)у =.= — тдрог)1. Так как 1 4 Е == ггпд1 ро, то 1 г 2 ЫЕ = — — — г11. 21 Отсюда Ег) = сопяс. 21 б) 13.2. После того, как частица столкнется с обеими стенками, ее скорость о изменяется на 21. Условие медленносгн означасг, что ~21: << о. Выберем такое время Ь1, что в) —, « Х1 « —. 21 е !1 Рис. 175 Такое Ь1 существует в силу условия медленности. За это время произойде~ огз11'(21) пар столкновений со стенками, и скорость изменится на Интегрируя, получаем о1 = солв1 нли Е1г = сопа1.
Интересно проследить подробнее как изменяется произведение о1. Это легко сделать, воспользовавшись графиками1(1) н о11) (рис. 175 а,б). График 7 .—... в! представлен на рис. !75, в. Величина и1 колеблется около приблизительно постоянного значения (и1), причем амплитуда колебании имеет относительную величину— с' Отклонение 1е1) от постоянной имеет высший порядок малости — (п1) 1 .
е) 'г е)1 329 13 У] Ь 13. Адиайаеиичееиие инаирианмы 13.3. Если бы у(г) = д — п11) было постоянным, то закон движения шарика был бы . (1) —.. 6 — — д12 (при — Ъ/26,'у < 1 < эу21т(у). Изменение уф на езд приводит к изменению потенциальной энергии на таад, а за период — на т(я)Ьд, где (с) .—.- — 6 среднее по времени 2 3 значение ж Изменение полной энергии Ь(шдй) происходит именно из-за изменения потенциальной энергии. Поэтому тЛд —,6 = Ь(шд6) или дЬ6+ 2 3 1 -1ьЬу = О, о~куда 6 х д '7з. 3 В предложенном выводе мы следуем, по существу, тем же путем, который можно применить в общем случае для доказательства сохранения ф'роу (см.
Г1), 449). Разумеется в этой задаче (как и в других предыдуп1их) можно было сразу же воспользоваться результатами общей теории. Если плита медленно поднимается (но д(1) = сопва), то Ь, = сопви Это очевидно, если скорость плиты постоянна 1достаточно перейти в систему отсчета, связанную с плитой). Если же скорость изменяется, то результат, согласно общей теории зависящий лишь от высоты подъема плиты, измениться не может.
При этом предполагается, что относительное изменение скорости за время З/2К~у мало, плита поднимается ~шавно. 13.4. а) Е = — А(1 — ~ ); ,/2гпА ' =-"('-,—;„-',— „.) 2т ' ) Е= .1 ~2170 О1'. ) Е = ~ Г~ —,А~~"Г(~ и)/Г(~)~ 13.5. 6 ое (в1по)з7з. 13.6. и х (зш ег) ~7».
13 7. 1.—.. ' ~Е(в1п ~") — сояз ~~ К(з1п ~~)]. 330 (1з.а Ответи и решения 13.8. Обозначим через т и Х координаты частиц гп и М, отсчитываемые от точки О. Движение легкой частицы можно приближенно рассматривать как движение между двумя стенками, одна из которых перемещается. Поскольку выполняется условие 1т~ » Хп сохраняется усредненное по периоду произведение ~х~Х =- С (см.
зада- чу 13,2). Исключая зе из закона сохранения энергии 2 ЛтХ 2 2 находим, что влияние легкой частицы на движение тяжелой равносильно появлению потенциальной энергии О(Л ) = ', . Уравнение, -, 'П(Х) = Се — Е приводит к закону движения Х .—.. гл ' —, — (1 — т)з. Постоянные 2Е ЛУ Е, С и т могут быть определены по начальным значениям Х, Х и 2 (не зависят от к(0)). После того как условие (1) будет нарушено, предлагаемый способ решения задачи будет неприменим.
Подобное приближение (называемое адиабатическнм) находит широкое применение, например, и теории молекул. 13.9. Обозначим координаты тяжелых частиц Хпз, а легкой т. При Х1 < г < Хз потенциальная энергия Г = (х —. Х>)У" + (Ха — х)У' =- (Хз — Х1)2. Поэтому легкая частица свободно движется между тяжелыми, и х!(Х вЂ” Х,) =- С = е 1ае (см. предыдущую задачу). О учетом этого из закона сохранения энергии для относительного движения тяжелых частиц (Х = Хя — Хг) получаем 31Хз, ™СЯ Р еХ Е 4 2ХЯ шС2 Разлагая Гине(Х) .—.- ш - гХ вблизи минимума Хо .=. (тСз/~)1~з, 2Х находим частоту малых колебаний «попая 2Г'(Хо) 62 Л1 МХо' 13Л О) Е 13.
Адиайагничесние инварианты 13.!О. В уравнениях для Р и Я Я вЂ”.— ~+ — в1п2Я, Р—... — Р— сов2Я ' 2и2 разложим частоту в ряд по 1. Ограничиваясь поправками первого порядка, получим а) 1;) — — (иэо1-Ьне)+ -й2о1 -', ( вш 2®1) Й, 1 ° 2 шо 2 2шо,) о (1) ауо й) Р = Ро(1 — —,, / сов2ЯПГ), (2) о где шо и й2о — значения частоты н се производной в люмент времени 1о .=- О, причем ыо = -зш и . « 1. Фаза Я и амплитуда А — -- в) воз- 22Р -- ~/ т~~в мущенного движения относительно мало отличакпся от своих невозмущенных значений ь)о = що1+|р н Ао = в) даже для промежутков времени, много больших периода колебаний 2л/и2) (рис.
17б). Так, лля моментов времени Г 1)г ао второй член в (1) порядка единицы, а третий — порядка е, и поэтому ге — ' и2ог+ ~а + гиуоà Р—" Ро 1 ° 2 2 Но такое изменение фазы приведет ь тому, что в переменных р, г1 возмущенное движение г1(1) —. Ао соз( 'об+ 22 - — и2о1 ) 1 21 2 будет существенно отличаться от невозмущенного Чо(1) — -- Ао сов(мог+ р).
333 1 13. Адиааансичессасе инварианслм 133 5) результат в виде 2 1= — ' х+иа х+ .с', Г' пиа-,~ — / е'" )Я(т)йт+ е' (х(0) + и,сх(0)1 — с т о т 2ш (Здесь для величины х — , 'сщх использованы соотношения (22.9), (22.10) нз (1)). Интегрируя по частям, получим с Т(1) = 1(0) —;, / Р(Х) в1пис1с(1— х(0) / о — ~х(0) — ] / Г(1)совш1сН+, / Г(1)е)мсЙ.: тш 2тса о о Таким образом, если сила изменяется медленно, то Т(1) осциллирует вблизи Е(0).
Если Р(1) — сопв1 при 1 — ж, то полное изменение адиабатического инварианта 1(со) - Т(0) может быть очень малым (см. задачу 5.18). 13.13. РЪ'о~з = сопвс. 13.14. а) Е = — ( —, + — + —;~, где ат Ь, с — длины ребер параля- /Та 12 131 2 (, - 'Ьс с')' лелепипеда, а Ть = сопок б) Сохраняются абсолютные величины проекции скорости иа каждое из ребер. 13Л5. Переменные разделяются в сферических координатах. Момент импульса М сохраняется строго (ЛХн является, кроме того, аднабатнческим инвариантом, соответствующим углу сд).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
