Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 42
Текст из файла (страница 42)
309 11.29) 1! 1. Каноззи зеские ззреоб1зазананзья а) Рис. 1б4 На плоскости г„з, Р точка, изображающая состояние системы, движется по линии Н'Я, Р) = С = соззаб. 11а рис. 164,а и б приведены семейства таких линий для области параметрического резонанса ~е~ < 6/2 и ее окрестности ~е~ > Ь,з2. В первом случае амплитуда в конечном счете неограниченно растет, во втором — испытывает биения (ср. с задачей 8.8). 11.29.
а) Легко проверить (ср. с задачей 11.4), что данное преобразование — каноническое. При Ъ' =. 0 движение х-осциллятора изображается движением точки по окружности в плоскости т, р ззтпазз с частотой сзз. Радиус этой окружности г ра х г т изз совпадает с амплитудой колебаний по оси х, В плоскости Х, Р,)пзааз это будет неподвизкная точка Х = х(0), Р = р (0). Таким образом, новые переменные прн 1' = 0 не зависят от времени и потому Н'„= О.' При Ъ' у: 0 эти переменные зависят от времени, но так как новая функция Гамильтона Н' = Н' + Ъ = Ъ мала, то усредненное движение в 'Из уравнений Гамильтона для новых пораненных [например, Л .—..
диоУдРа =. 01 следует, ито Н' нс зависит от них и потому Но .—.. Г(С), где Г" (С) —. произвольная функния врсьзсни, которую мы, нс теряя обшности, можем положить равной нулю. Огнееты и решения П 1.29 этих переменных медленное. Действительно, после усреднения УН') —... — ' (ш,ХЄ— шзГР.), и из уравнений Гамильтона Х вЂ” -- ' У, ги —... — ' Х 4шз ' 4и«з легко получить Х = Асов(",«4+ «р), У вЂ” -- -- — 'Авпз(у1+ ф В у ((иуу 3 4 ««шуш Аналогично для новых импульсов имеем Ре = тш«Всов(у~+ ф)«Ри — — — тпэУшзи«зВвуп(у1+ еУ).
Таким образом, в плоскости Х, Р (пкиг происходит медленное (с частотой э) движение по эллипсу, что отвечает колебаниям по оси х с медленно нзменяюпусйся амплитудой ««4 .. «ех' ««е«,«' . е', е«~«, «)«Яв е««««««, ц =- С вЂ” в1п А сов(и«2«, «ес)«нв з«0 '"' lм ... В а энергия колеблется с частотой 2 у: Š—.. — тшз С (и«з сов 'уу т шз вги Э4) 1 2, 3, 3 2 т.
е. биениям. Аналогично амплитуда колебаний по оси у равна 6(г) .— —. — ~ Азв1п~(у14 и«)+Ввгйп (~1 1-ф). Отсюда видно, что энергии х- и у-осцилляторов Ее —. — т«и а-'(1) н Е, —. 1 з ,уз 2 = — пиизб (г) них сумма Š— —. Е +Ее не сохраняются. Однако сохраняется величина, которую можно назвать полным числом квантов, ' 'Сз где С' =- ьУ4з + Вз, а 6 — постоянная Планка.
В частности, при «р — — ы« .= 0 амплитуда биений доходит до нуля х = Х сова«~1+ ю, айпи«зу = С сов уусов(шзе+ «рв), 12.21 5 12. Уравнение Гавивынона — Якоби Интересно отметить, что даже слабая связь 1' « Но = Е приводит к болыпим изменениям энергии вхЕ Е. Так при ио = ьв = 0 и ыз ~ ыя имеем вэЕ = — тив1 (ив~ -- ыз) С (Е) = — т ~, (воз — ыя) С, 1,, я - 1 я 2 Укажем, наконец, что эта задача совпадает с задачей 11.26 о трех осцнлляторах со взаимодействием — тоху. в пределе настолько большой энер~ ии 2 --осциллятора Ев » Е „, что биения х- и р-осцилляторов почти не сказываются на сто движении о в)п' 'з1, ивз '— " ' н — 'оз. При этом,'3 = гыав, а пй совпадает с одним из интегралов Мэнли -Роу 1 2 (с интегралам В в обозначениях задачи 11.26).
Третий осциллятор играет роль большого резервуара энергии, с которым аь н р-осцнлляторы обмениваются энергией. б) Новые канонические переменные экспоненциально возрастают со временем Х -- Ает'+ Ве '"'. у = Б(Аетв — Ве 'т') Р, = тивв (Вен'+ Ее "), Ри — — — гпиБввоя фе — Ее э ), что соответствует экспоненцнально растущим амплитудам колебаний по осям л н д. В этом случае сохраняется разность числа квантов Еи 2ии11 Ек и впво3 1 1Н Тзг 1ьоз Ыз й й 12. Уравнение Гамильтона-Якоби 12.2. Очевидно, что траектория — плоская кривая. Переменные в уравнении Гамнлыона--Якоби разделяются, если воспользоваться полярными координатами, направив полярную ось е вдоль а. Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в в.:а~,~в ъ ..нвнв)' вв в- вв,'в,.
(ц 312 Ответы и решения 112.2 Для уточнения знаков я 11) воспользуемся соотношениями е„= '= —.=Е 5 Š— —, де . е д1 рв = егнг 0 = —, = ='  — 2втеасоаО. г)В дО (2) (3) 0 Рнс. 165 В ОО / еЬ Н вЂ” Р Н ~ 2 Е 6~ о Нижние пределы ннтсгралоа можно выбрать произвольно, пока не определена постоянная В.
При нашем выборе нз условия Π— н О при г — е со следует В --. О. Постоянная В есть интеграл движения нашей задачи и из 13) ,3 = рв + 2гаа сот О. Она выражается через параметры частицы при г — сс е з и 0 -и О, т, е, до столкновения, когда рв = шор (р — прицельный параметр), 13 = 2нз(Ер -~- а). При изменении г от сс до П„= н1 = (рз+ а, определяемого у 2нзЕ 11 Е' условием р„= О, 0 изменяется от пуля до Он, такого, что в е ЫО Й. (5) 3 — наг Би о ее На начальном участке траектории Р < О, 0 > О (мы предполагаем, что траектория расположена над осью -, рис. 165). Поэтому перед первым радикалом и (1) нужно сохранить нижний знак, а перед аторым — верхний.
Раяепстяо — = В -- это уравнение траекюрин дВ д;3 8 12. У)эпененгге Ггьнктьгпона-Якоби ! 2.2) Дальнейший рост 0 сопровождается ростом г. При этом рг меняет знак. Уравнение участка траектории! Ы / ) -ь. с(0 / т(г з — 2 яе Г 2 к — дГ о„, (б) Удобнее переписать, сложив (5) и (6): — -а(~ '3 г г т '~т я- с)з э ~,/%я,эти о г„, При г --г эо траектория асимптотически приближается к прямой, парал- лельной ОК, Угол О „, можно найти из равенства' /, г(0 2 пг — т (я) я 2 .
е .г к2 л — Зг о г =,чь.*„Г= 1, +- " Е Интеграл по г в (4) н (7) вычисляется элементарно, а по 0 сводится к эллиптическому. М При Ерз» а можно разложить подынтегральное выражение в (4) и (7) по степеням ",. С точностью до первого порядка 0 Ерз' г' агп О = гго (1 —, сов О) (10) 2Еоз Рис. 166 (рис. 166). ' Обратим вним анис на еле чующий прием, позвол линли й обойти вычисление ин ге грела по т в (8). Этот интеграл нс зависит от о и, слеловагельно, равен левой части 18) также и прн о —..
О. А в этом случае очевидно, что д„, = тг, интеграл пО О вычисляется тривиазьно. Равенство —, = А определяет зависимость г(1). Выбирая 1 так, чтобы до дЕ г(0) = г, получаем 314 Оягаещаг и решения [12.3 В этом приближении угол отклонения скорости частицы после рассеяния равен нулю. Объясняется это тем, что действие силы па разных участках траектории (в нулевом приближении это прямая Л'ЛХ') частично, а в первом приближении полностью компенсируется.
пта ([щах ',' аттт 0мах + 1 1 ' ) 1 0гаах + 2 згп 20с~ах) = тг. Д' 2 Решая его с точностью до ( ™вЂ” "1, находим' угол отклонения (0) Э =. т--0ща = — Я(™а) =Зг( ) . (2) Сечение рассеяния угбпа г)о (3) [бЕЭбУ2' Зависимость от э получается такой же, как при рассеянии на малые углы в поле у,ггс, убывающем гораздо быстрее, чем Г(г). б) г(а ЯЬгго оЕ в' в) При условии Ерз » Ь(0) ~ для всех 0 имеем вместо (10) задачи 12.2 с точностью до второго порядка т, / Ь(0) а0+ 3 тз / Ьз(0) 10 г3 ./ ~2 ) о о агсэттт —, при б < 0 < 0ам и — агсв1п — „при О, < 0 < 0 а.
° ! Ищемд, ввидсд =до-;дт, д -'-...,гдсдг 1 — )Оо.урависиис(!)виулсвом гтат (0) гтат ириближсиии Оо = т; впервом приближении От Ь ( — ) яд до = О, откуда От = О; во втором ириближсиии 0 Ов+ — 'От совдо, — ( — ) [до -1- — щи2до) = О, та, 3 ггаат г 1 Л '' ' ст В) Г 2' откуда следует 121 12.3. а) Для определения угла отклонения частицы нужно провести разложение по а,герз в (8) задачи 12.2 до второго порядка, получаем уравнение 316 Отеетьг и решения [125 лгг яла а= Е 4Ев О при О < о < оя, = агсеов 4аЕ при ге, <а <я. п24 яЛз б4а) в бЕз в) п1зи О < а < о~ = я — атосов при ога < а < х.
а,, Г7 37 4Е ~/Е а' — сова — 2л4,г— та,, 5' Е )1Е лЬ(я — и) Е при условии, что Ь(я — о) < О. 12.5. (яег + — сова, агава ) — ЕЛе, О, а совет < — ЕЛ-', где а — угол между ъ, и а. 12.б. а) Используем те же обозначения, что и в задаче 12.2. Уравнение начального участка траектории (г — ос, 0 — е л) г)й / 41г 'Э вЂ” у В 4 Ее е--~/ о 3 — -- 2т(Ерв — а). причем (2) н . + " . (3) 'В 2 В 2ЕЕ 4 ' Ев Е ЕГ в Очевидно, что при Ерв» а уравнение траектории 11) и 13) совпадает с уравнением (11) задачи 12.2. В случае 3 > О угол О убывает при изменении г от со до г,„и дальней- шем возрастании до оо. Уравнение участка траектории после прохождения минимального расстояния до центра З17 з 12.
Уравнение Гани~гапона — Якоби Рис. 167 ь ( ,)н д0 + 2„ д0 нт .е ~ ' 'й2 . В ! ' — Р В в в', (м=О. 1,2, ...) (5) Одному значению 0 (Ог < 0 < 2к — Оз) соответствует бесконечно много значений г (и может принимать любое целое неотрицательное значение, так как интеграл в левой части (5) при г — в О неограниченно возрастает). Таким образом, частица совершает бесконечно много колебаний между прямыми ВВ и СЕ прежде, чем упасть в центр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
