Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Адиабатический инвариант для радиального движения — Г2е- с с 1 Т, .=- — ~ 2тЕВЯ вЂ” ' с(х — -- 1,„(ЕВ~ 2еТ) (2) Зависимость Е(В) можно выяснись, не вычисляя интеграла (1). Замена г — -- Вх дает 334 Ожаеты я ременяя ПЗдб откуда ЕЛЯ = сопят.
Поэтому для угла падения а з)п и —...— —... сонэк гшш ЛХ ъ~2шЕВ. 13.1б. а) Е;х 7 з "; б) Е х 7 13.17. Приравнивая значения адиабатического инвариаита до и после включения поля — — =~/ з ~ ) 2 2гпгз У 2птгз 1' получаем 60 Й. 13.18. Е =- Тгйг -~- 1 йк (обозначения задачи 6.5 а). Траектория заполняет прямоугольник ~~(,)~ < Тй~й ~, ~Я») <,(Еэй Условия применимости теории адиабатических инвариантов: й, « й, (й,) «й,)й,! (г =1, 2).
13Л9. В отсутствие связи пар система распадается на два независимых осциллятора с координатами т и д. Соответствующие адиабатические инварианты Т, =- — *, Е = — ', где Е„, и Ек — энергии этих осцилляторов. При учете связи система состоит из двух независимых осцилляторов с координатами Щ и Я .
Если частота изменяется досшточно медленно, то сохраняются Ез зз = —. й„' Ег Тг йг' Вне области вырождения зти условия сводятся к таким же условиям, наложенным на ьь(1). В области вырождения (~юга — шзз~ а) второе условие оказывается более жестким и дает ьп « и (область вырождения проходится за время, гораздо большее периода биений).
335 13.20) 3 13. Адиабаеиичееиие инварианты Вне области вырождения нормальные колебания сильно локализованы, а именно при юз < ия оказывается Я» = х, Щ = д, а при юз ) юя Яз =+у, Яз = — х. Таким образом, при ыз < ~з оказывается 1 = 1ы 1у — 1з при и з < и у наоборох 1, ==. 1з, 1„.=.—. 1з (рис. 1 77). еа, Рве. 178 Рис. 177 Проиллюстрируем это следуюшим примером. Два маятника, длина одного из которых может медленно изменяться, связаны пружинкой малой жесткости 1рис. ! 78).
При значительной разнице длин мазпннков 1 и Л нормальные колебания почти совпадают с колебаниями одного или другого маятника Пусть вначале маятник АР колеблется с амплитудой;ро, а маятник СР "- с очень малой. При уменьшении 1 амплитуда колебаний маятника СО остается малой, пока длина его не станет по пи равна Е При Ь = 1 амплитуда его возрастает 1а при 7 = Ь оба маятника будут колебаться с амплнтулами, равными ~ в противофазе). С дальнейшим убыванием 1 почти й2 вся энергия перейдет к маятнику СР, и амплитуда его станет равной 1у~ .= х 314 —. ',по 1 — ), как для отдельного маятника.
' Ы При сравнительно быстром прохождении области вырождения и~ >) и подобной перекачки энергии между осцилляторами не происходит. Если, кроме того, ии « ыэ, и3~ << ы~йэы то сохраняются 1 и 1у. 13.20. Из уравнений движения х -1- иуззх + 2,3хд = О, д-г зз11+дх'=б, (2) легко обнаружить, что связь осцилляторов приводит к большой передаче энергии при 2ил юя. 336 (13.21 Ответы и решения Пусть х = а(1) сов(ш>1+ >р), р = Ь(1) соз(шве+ сн). Если а » Ь, то член Дхз = — За + — Заз соз(2ш> + 2>р) в (2) играет роль вынуждающей 2 2 силы, приводящей к резонансному рос>у р. Если жс а « Ь, то член 2>9ху = —" 2ВЬх соз(ш>Ь Ь Е ) в (1) приводит к параметрической раскачке колебаний т.
Полробное исслелование системы (1) и (2) можно найти в задаче 8.10. Область резонансно>о взаимодействия: ~2а>> — ш>~ < >3Ь >> >. Сильное резонансное взаимодействие осцилляторов имеет место, вообще говоря, при условиях пш» = пшз, где и, и гп, целые числа. Однако ширины областей частот, в которых осуществляк>тся эти резонансы, при не очень малых и и и> чрезвычайно малы (см. (1), 9 29). х Поэтому их влиянием на движение осциллято- ров можно пренебречь при >Ь> нс слишком маРис.
179 лых (хотя и достаточно малых для того, чтобы можно было использовать теорию адиабатических инвариантов). 13.21. Пусть частица, движущаяся в плоскости хд под малым углом к оси р (:х «,:д~), отражается от оси х и от кривой до(т) (рис. 179). Если считать закон движения в направлении оси х известным, то можно исследовать движение в направлении оси д, рассматривая х(г) как медленно изменяющийся параметр.
Сохраняется адиабатический инвариант у р, е)р = —.—. 2 ~ру ~ ро(х) —.— 2и1, и это равенство определяег зависимость р„(>.). Для определения же х(1) можно использовать закон сохранения энергии тзхз —, р-'(х) —.. 2>пЕ. Минимальное расстояние х >в определяется условием ра(х„,м) = 2тЕ. Подставляя Е' у ' ш>е ро(х) = хна, 2>>1 = 2»2тЕ1 Ьяасов>ро С --- получаем хшы =1сов ро.
1> В Решение задачи методом отражений Я очевидно из рис. 130. Этот метод дает а х точное решение, применимое при лк>бых углах а и э>о, но не может быть обоб>пен Рис. 180 на случаи, когда уо(х) не является прямой. 13.22. 1й —. Ьб Р, т .—.. ау,'сов йр 337 б 13. Адиабагиические инвирианмы 13.23) 13.23. а) Задача о движении частицы в магнитном поле при указанном вьгборе векторного потенциала сводится к задаче о движении гармонического осциллятора (см. задачу 10.7). Адиабатический инвариант Š—. р-'/2пг о~ 1=, х — х то-ус, где а, = ' ' ", —. ралнус орбиты частицы 1см. 12], 3 21). с,ус' Соотношение у х лаз,ус' допускает простую интерпретацию: радиус орбиты изменяется так, что поток магнигного поля через шюшадку, охватываемую ею, остается постоянным.
Расстояние центра орбиты от плоскосрл сти уя, равное яо — с ростом М' уменьшается. Возникновение дрейфа орбит связано с появлением электрического поля е = — — —, = 110, — лд:Ж. О) при изменении магнитного поля (ср. [2), 1дА 1 1 сйб ~,' с'* й 22). Векторы электрического поля е' и скорости ткр для различных положений орби- у ты частицы показаны на рис. 181. б) Функция Гамильтона в цилиндрических координатах Интегралами движения являются р, и р„. Адиабатическнй инвариант для радиального движения Рве. 181 после замены г =,Ус' гузб принимает вид г)~ = лЕ„(рр, =).' 1 О1 Интересно, что 1„фактически не зависит от р при р > О Действительно, —, преде е др„ ставллет собой изменение угла Лр за время одного радиального колебании, а при ре > О начкто координат лелгнт впе траектории 1см.
рис. 98, ог, и потому та р = О. ЗЗ(( Олзнеты и решения ((З.24 13.24. Выбрав векторный потенциал в виде А, —. — лб'(г), получаем адиабатические инварианты А,.—.. А, — Π— я'Ос' р',. 'с' — — х.(р„с), (2) 'Изменения электрическою ноля, связанною с изменением выбора зя, не было бы, если бы одновременно был изменен скалярный иотенииал на величину — эсер (грачнентное 2с преобразованной Поэтому Ег(,Уг' = созга(, т.е.
энергия поперечного движения изменяется так же, как в пункте а). Расстояние центра орбиты от начала координат гшах з Гнпп (шах с (шы 1 2 гЖ ь/Ж С ростом,Уб' центр орбиты приближается к началу координат (рис. 182). При изменении,Уб' появляется электрическое Еп = — — "М', ез'„= Е, = О, "' '2с н силовые линии которого представляют собой замкнутые окружности. яв В реальных условиях однородное магнитное Рис.
! 82 поле может существовать только в ограниченной области пространства. Электрическое поле, пояюи- ющееся при изменении магнитного, очень сильно зависит от формы этой области и условий на се границе (см. 12), З 21). Например, поле, рассмот- ренное в случае а), осуществляется вблизи проводящей плоскости с током, в случае б). †. в соленоиде'.
Сильная зависимость характера движения частицы от слабого поля 8 даже в случае предельно малых яс обт ясняется наличием вырождения (при .ясз = сопз( периоды движения по двум координатам к, у или г, с совпада- ют). Заметим, что величина Е: (Я' оказалась адиабатическим инвариантом в обоих случаях. Можно показать, что этот результат не зависит от выбора А (см. (2], ~21; [8), б25). 339 13.25) а 13. Адиабагиичеение инаа12иан~и и где с —. 2тЕ~ -, 'еЖр !с Таким образом, Векторный потенциал (1) задает магнитное поле, симметричное относительно оси =, проходящей через центр осциллятора. При другом выборе А А, — — А, =- О, Аи --- хЖ(1) получаем фактически другую физическую задачу.
Функции Лагранжа в этих двух задачах отличаются на (б) бЬ = — ' ~ — ',М'ху) — —,Ф'ху, г)1 ~ 2с' ) 2с' т. е. отличие их, если отбросить в (5) несущественную полную производную по времени, очень малб. В предыдущей задаче, где движение было вырождено, именно появление этой добавки приводило к полному изменению направления и скорости дрейфа орбиты.
В нашем же случае движение осциллятора при ах = сопзг невырожденное, и добавка может быть отброшена (ср. с задачей 13.19). Поэтому соотношения 13) справедливы и при дру4ом выборе А. При прохождении области вырождения (Ж = О) соотношения (3) сохраняются только для аксиально-симметричного поля (1), Поведение же осциллятора, например, в поле (4) при прохождении М' через нуль требует дополнительного исследования. 13.25. а) С помощью канонического преобразования можно привести функцию Гамильтона к сумме двух независимых осцилляторов 1для Х, У; см.
задачу 11.9). Адиабатическими инвариантами являются отношения энергии каждого из этих осцишгяторов к его частоте. Папомним, что колебания каждого из них представляют собой движение по эллипсу (см. задачу 6.36). Вырагкенные, например, через амплитуду аь колебаний вдоль оси х, адиабатические инварианты равны 2 4,2 2, '2,2 таь йь — ш,шг —: Йтги ~Па е)г, г 340 113.27 Отеегпы и решения При изменении параметров системы к новой функции Гамильтона добавляется также частная производная производящей функции по времени, равная' Л(гпсозЛ)' —, РхРУ/тгшгз), Эта добавка мала (Л « Пй), и се можно не учитывать, если только собственные частоты не совпадают (ср. с задачей!3.19). Случай вырождения при шз = озз и лгагнитном поле, проходящем через нуль, требует отдельного рассмотрения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
